2023年中考复习数学最值问题第52讲旋转相似求最值

第52讲：旋转相似求最值

【例题精讲】

例1、如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作Rt△DBE，其中∠DBE＝30°，连接AE.随着点D从点C运动到点A的过程中，AE的最小值为       。

          解析提示：

总结

【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，

∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，

∴AH＝2＝CH，

∵∠BED＝∠BHD＝90°，

∴点B，点D，点H，点E四点共圆，

∴∠BHE＝∠BDE＝45°，

∴点E在∠AHB的角平分线上运动，

∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，

∵∠AHE＝45°，

∴AH＝AE＝2，

∴AE的最小值为，

例2、如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA＝，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是       。

            解析提示：

总结：

【解答】解：如图，作直线AO交⊙O于P1，P2．

∵点P在⊙O上运动，

∴PA的最小值就是AP1的长，PA的最大值就是PA2的长，

∵∠AP1M1＝∠AP2M2，∴P1M1∥P2M2，

∵∠AM1P1＝∠AM2P2＝90°，

∴A、M1、M2共线，

∵OA＝＝2，

∴AP1＝2﹣2，AP2＝2+2，

∵cos∠AP1M1＝，

∴sin∠AP1M1＝，

∴AM1＝PA1•＝（2﹣2），AM2＝（2+2），

∴M1M2＝，

由图象可知M1M2就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径，

∴该圆的半径是．

例3、如图，在△ABC中，AB=5,BC=10,以AC为斜边构造RT△ADC,使∠ADC=90°。且cos∠ACD=,连接BD，则BD的最小值为       。

          解析提示：

【解答】解：作Rt△BCE，使∠BEC＝90°，且∠BCE＝∠ACD，连接DE，

∵cos∠ACD＝，

∴cos∠BCE＝＝，

∵BC＝10，

∴CE＝6，BE＝8，

∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∠BCE＝∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴，

∵∠ACB＝∠ECD，

∴△ACB∽△DCE，

∴，

∴，DE＝3，

△BDE中，BD≥BE﹣DE＝8﹣3＝5，

∴当B、D、E三点共线时，BD有最小值是5，

针对训练

1、正△ABC变成为4，D在边AC上运动，等腰RT△BDP，∠BDP=90°，则AP的最小值为       。

2、已知如图，点B的坐标为（1，0）A点的坐标为（﹣2，0），P为平面线段AB外一动点，满足PA＝1，

（1）问题发现

填空：如图1当点A、P、B三点共线时，线段PB的最大值为　　，

（2）扩展探究如图2，若以PB为斜边向上构造等腰直角三角形PBC，且∠PCB＝90°，以A为圆心，PA为半径旋转过程中，当A、P、C三点共线时，求PB的长度？

（3）解决问题

如图3，连接AC，在（2）的条件下以A为圆心，PA为半径旋转过程中，试求AC的最大值和最小值？