2020届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考数学（理）试题（解析版）

2020届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由已知求得，再由，即可求得的范围，得到答案．

【详解】

由题意，集合，，可得，

又由，所以．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

2．下列说法中，正确的是（　 　）

A．命题“若，则”的逆命题是真命题

B．命题“，”的否定是“，”

C．为真命题，则命题和命题均为真命题

D．向量，，，则“”是“”的充分不必要条件

【答案】B

【解析】对每一个选项依次进行判断，得到正确答案.

【详解】

命题“若，则”的逆命题是：若，则，当时不成立，错误

B. 命题“，”的否定是“，”，正确

C. 为真命题，则命题或者命题为真命题，错误

D.向量，，，等价于：

则“”是“”的充分必要条件.错误

故答案选B

【点睛】

本题考查了命题的真假判断，逆命题，，充分必要条件，综合性较强.

3．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出可行域，平移基准直线到点的位置，根据目标函数仅在点处取得最大值，求得实数的取值范围.

【详解】

画出可行域如下图所示，基准直线为，平移基准直线到点的位置，由于目标函数仅在点处取得最大值.当时，直线符合题意，当时，，，仅在点处取得最大值，符合题意.

当时，，要使，仅在点处取得最大值，则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查根据目标函数的最值情况求参数的取值范围，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

4．函数的部分图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.

【详解】

对于函数，，解得且，

该函数的定义域为，排除B、D选项.

当时，，，则，此时，，

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

5． （  ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】根据定积分的计算公式进行计算，得到答案.

【详解】

，

是半径为的圆的面积的四分之一，为，

所以，，故选C项.

【点睛】

本题考查定积分的计算，属于简单题.

6．将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到的表示并计算出的结果.

【详解】

因为变换平移后得到函数，由条件可知为奇函数，

所以，.

故选：C．

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数为奇函数时，为偶函数时.

7．如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为.玻璃杯内水深为，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】画出球和圆柱的轴截面，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，进而求得球的体积.

【详解】

画出球和圆柱的轴截面如下图所示，设球的半径为，在直角三角形中，，由勾股定理得，解得.所以球的表面积为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查球和圆柱截面有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

8．已知等比数列中，，，则的值为（  ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【解析】由等比数列的性质得到

又因为

故得到原式等于

代入上式得到

故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

9．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.

【详解】

如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,

，

根据向量的数量积的定义可得,

设，则，

，

当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.

综上可得的最小值是.

本题选择C选项.

【点睛】

本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式。

【详解】

令，则，

可设，

，

 所以

解不等式，即，所以

解得，所以不等式的解集为

 故选：A

【点睛】

本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强。

11．已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，取的中点，则，由勾股定理可得，所以①，在中，，所以②，①②结合，可得．故选A．

【考点】双曲线的简单性质.

12．设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用函数的定义即可得到结果.

【详解】

由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．

我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，

故选B．

【点睛】

本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).

二、填空题

13．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于______.

【答案】

【解析】化简，根据为纯虚数求得的值，进而求得的模.

【详解】

依题意为纯虚数，所以，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查复数模的计算，属于基础题.

14．已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，若点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的焦点F到其准线的距离为__________________.

【答案】4

【解析】求得抛物线的焦点，可得p＝2c，再由焦点到渐近线的距离为1可得b值，结合，得到c，从而得到答案.

【详解】

抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则，又，

点F到双曲线渐近线的距离为1，即，又，解得,即c=2,所以p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．

15．已知函数满足下列两个条件：①函数是奇函数；②，且.若函数在上存在最小值，则实数的最小值为______.

【答案】

【解析】根据题目所给两个条件求得的解析式，画出的图像，结合图像求得的最小值.

【详解】

由于且，所以，，所以.为奇函数，且，所以，所以.画出图像如下图所示，其中.由图可知，要使函数在上存在最小值，则实数的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查三角函数最值、周期等知识的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

16．定义在实数集上的偶函数满足，则________.

【答案】

【解析】先由已知可得，再构造，然后可得函数的周期性和奇偶性，再利用函数的性质得，再求解即可.

【详解】

解：因为，所以，

即，即，

令，则，可得函数的周期为2，

所以，

又为偶函数，则为偶函数，

又因为，所以，

即，即，

解得，

又，

即，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型.

三、解答题

17．函数的部分图像如图所示．

（1）求的解析式及其单调递增区间；

（2）若在有5个零点，求a的取值范围．

【答案】（1），单调递增区间为，；（2）.

【解析】（1）先根据图中数据计算出周期即可计算出的值，再根据最值点即可计算出的值，根据正弦函数的单调增区间公式求解出的单调增区间；

（2）分析的取值范围，借助的函数图象分析当有个零点的时候，的取值范围.

【详解】

（1）由图可得，∴，

∵过点，∴，

∵，∴，∴，∴，

由得，

∴的单调递增区间为．

（2）∵，∴，

由题意结合函数的图像可得，∴．

【点睛】

（1）由三角函数图像确定三角函数解析式时，第一步先通过图像的最值确定的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及的取值范围确定的值；

（2）已知三角函数的零点个数求解参数范围，可通过图像写出对应零点个数时参数满足的不等式，从而求解出参数范围.

18．已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，且数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证

试题解析：（1）依题意，得，即，得．

，．∴数列的通项公式．

（2），

．

，，故，又为单调递增，所以当时，取最小值，故

【考点】等差数列及数列的求和

19．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

20．如图，平行四边形中，，，为边的中点，沿将折起使得平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）求折后直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】（1）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得平面平面.

（2）的中点，根据等比三角形的性质得到由面面垂直的性质定理得平面，也即是四棱锥的高.进而求得四棱锥的体积.

（3）以为空间坐标系原点建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成的角的正弦值.

【详解】

（1）证明：∵平面平面，平面平面，

由题易知，且平面.

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）由已知有是正三角形，取的中点，则，又平面平面于，

则平面，且，

易求得，

∴.

（3）作，由（1）知可如图建系，

则，，，

，

又，得，

，.

设平面的法向量，则

，不妨取.

设折后直线与平面所成的角为，则.

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查四棱锥的体积计算，考查线面角正弦值的计算，属于中档题.

21．已知函数，又函数的两个极值点为，且满足，恰为的零点．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，求证：．

【答案】（Ⅰ）函数的单调递减区间是和，单调递增区间是（Ⅱ）证明略．

【解析】（Ⅰ）求出，解导不等式可得的单调区间；（Ⅱ）先确定0＜≤，再利用y==﹣2lnt（0＜t≤），即可求y=的最小值，从而得证．

【详解】

（Ⅰ）∵

∴

又

令，解得，

令，解得0＜x＜或x＞

∴函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；

（Ⅱ），,

由题意，∴≥，解得0＜≤，

当时，即证：

，,

两式相减得：2ln﹣（x1﹣x2）（x1+x2）+（x1﹣x2）=0，

∴（0＜t≤），

记，则，

∴在（0，]递减，

∴的最小值为

即，得证.

【点睛】

本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（是参数，是大于0的常数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；

（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的交点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长.

【答案】（1）圆的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2），

【解析】（1）利用消去参数，求得圆的普通方程，进而转化为极坐标方程.利用，以及两角差的余弦公式，将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.

（2）先求得两个圆的圆心和半径，利用两圆外切，圆心距等于两圆半径之和列方程，解方程求得的值.将分别代入的极坐标方程，利用的几何意义，求得线段的长.

【详解】

（1）圆：（是参数）消去参数，

得其普通方程为，

将，代入上式并化简，

得圆的极坐标方程为.

由圆的极坐标方程，得.

将，，代入上式，

得圆的直角坐标方程为.

（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，

，

∵圆与圆外切，

∴，解得，

即圆的极坐标方程为，

将代入，得，

得，

将代入，得，得，

故.

【点睛】

本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程互化，考查圆与圆的位置关系，考查利用极坐标方程计算两点间的距离，属于中档题.

23．设函数.

（1）求证：恒成立；

（2）求使得不等式成立的正实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【解析】（1）

，

当且仅当时取等号，所以.

（2）由得，

当时，由，解得或；

当时，由，解得，

综上，实数的取值范围是.