2024届福建省龙岩市上杭县才溪中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省龙岩市上杭县才溪中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则的真子集有（ ）个
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】联立方程求出中元素个数，进而可得真子集个数.
【详解】解：联立方程，解得或，
即，有2个元素
故的真子集有个.
故选：A.
2．已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数的虚部即可.
【详解】

的共轭复数为
虚部为.
故选：D.
3．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
4．设，，，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性以及幂函数的单调性，结合中间值进行判断，即可比较出的大小关系.
【详解】因为在上递减，
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
由，
所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以.
故选：D.
5．已知函数在处有极小值，则的值为（ ）
A．2B．6C．2或6D．或6
【答案】A
【分析】根据函数在处有极小值，得到，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可．
【详解】函数，
，
又在处有极值，
，
解得或6，
又由函数在处有极小值，故，
时，，
所以函数在处有极大值，不符合题意.
故选：A
6．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
故选：C.
7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincs的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求出直角三角形的两条直角边，即可求出答案.
【详解】设直角三角形的短边为，一个直角三角形的面积为，
小正方形的面积为20，则边长为.大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为.
则直角三角形的长边为.
故.
即.
故选：B.
8．已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数，因为，
所以，因此函数是增函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递减函数，
于是有，
故选：D
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题可得，即可得出，再根据的单调性可得.
【详解】，，，故A错误，B正确；
令，易得是单调递增函数，，即，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在内有2个极值点
D．的图象在点处的切线斜率小于0
【答案】AC
【分析】由的图象可判断的单调性，进而可比较函数值的大小，可判断A和B；由单调性可得函数的极值可判断C；由图可知的符号可判断D；
【详解】由的图象可知：当或时，，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
对于选项A和B：在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，故选项A正确，选项B不正确；
对于选项C：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以在内有2个极值点，故选项C正确；
对于选项D：由图知，根据导数的几何意义可知的图象在点处的切线斜率大于0，故选项D不正确；
故选：AC.
11．已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．当时，
D．方程有且只有两个实根
【答案】ABD
【分析】A．利用奇偶性定义进行判断；
B．利用导数分析的正负并进行判断；
C．根据条件分析在上的单调性，由此确定出最小值并判断；
D．利用在上的单调性结合零点的存在性定理分析在上的零点数，由此确定出的实数根个数.
【详解】A．的定义域为关于原点对称，，所以为偶函数，故正确；
B．当时，，，，
所以，所以在上单调递增，故正确；
C．因为为偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，，故错误；
D．因为在上单调递增，且，
所以在上有唯一零点，
又因为为偶函数，所以方程有且仅有两根，故正确；
故选：ABD．
12．已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A．点（0，0）是函数f（x）的零点
B．∈（1，3），使f（）>f（）
C．函数f（x）的值域为[
D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
【答案】BC
【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.
【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，；
当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，．
综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；
所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
极小值．
综上可得，或，
解得的取值范围是，
故D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分离参数可得，利用二次函数求出的最大值即可求解.
【详解】由恒成立，
可得，对恒成立，
令，则，，
当时，，
所以，
故答案为：
14．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】函数的导数为，
所以切线的斜率，切点为，则切线方程为．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题.
15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约 年（参考数据：，，）
【答案】6876
【解析】由题意可得，，求解指数方程得，则答案可求．
【详解】样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足，
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，
，
即，两边同时取以2为底的对数，得：
．
年．
推测良渚古城存在的时期距今约在6876年．
故答案为：6876．
【点睛】本题主要考查指数型函数的应用，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、双空题
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点”为 ；
（2）如果函数与的“新驻点”分别为､，那么和的大小关系是 .
【答案】
【分析】（1）根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；
（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系.
【详解】（1），，
根据“新驻点”的定义得，即，可得，
，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；
（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.
，则，由“新驻点”的定义得，即，
构造函数，则函数在定义域上为增函数，
，，
，由零点存在定理可知，，
.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义.
五、解答题
17．已知函数，f(x)的极值点分别为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）求出函数的导数，根据韦达定理求出a，b的值即可.
（2）由（1）已知参数a，b的值，对函数求导并据此求得导函数零点及原函数单调性，最终求出极值点.
【详解】（1），
因为的极值点分别为，
所以-1，3是方程的根，
所以，
解得，.
（2）由（1）知，
，
令得或3，
所以在或时，，单调递增，
在时，，单调递减，
所以，
18．在递增的等比数列中，前n项和为，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】小问1：由得，化为，从而求得公比，即可求通项公式；
小问2：利用的通项公式求得，根据等差求和公式即可求解．
【详解】（1）设等比数列的公比为q，由得．
∴，即，∴.依题意，可知．
∴．
（2）由（1）可得，∴，
故．
19．在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，时.
(1)若，求c；
(2)记，是直角三角形，求k的值.
【答案】(1)8
(2)或
【分析】（1）利用余弦定理即得；
（2）分和讨论，结合条件即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
∴
即，，
所以.
（2）是直角三角形，
若，则，，
若，则，.
故或.
20．已知是函数的一个极值点.
(1)求的值；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)结合已知条件，利用即可求解；(2)对求导可得，再通过对求导以确定在的符号，从而可得到的单调性，然后利用的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意，，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得.
又因为，所以.
（2）证明：由(1)可知的定义域为，
则，
令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而对于，，
所以当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
故对于，.
六、应用题
21．北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交元（）的税收，预计当每件产品的售价为元时，一年的销售量为件.
(1)求该商店一年的利润（万元）与每件品的售价的函数关系式；
(2)求出的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据题意，结合利润的算法，即可求出商店一年的利润（万元）与售价的函数关系式；
（2）可知，，求导得，令求出极值点，结合导数分类讨论求出函数的单调性和最值，即可求出的最大值.
【详解】（1）解：由题可知，预计当每件产品的售价为元，
而每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交元（），
所以商店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
，.
（2）解：，，
，
令，解得：或，
，∴.，
所以①当，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
；
②当，即时，
则恒成立，所以在单调递增，
，
所以.
七、解答题
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
0
+
0
0
+
增
极大值
减
极小值
增
1
2
0
+
e
减
极小值
增