2020届福建省南安第一中学高三上学期第二次月考数学（理）试题

南安一中2019—2020学年高三年第二次阶段考

数学（理科）试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分）

1.设集合，，是实数集，则（    ）

A． B．     C．  D．

2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则（   ）

    A． B． C． D．

3.已知表示两条不同直线，表示两个不同平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，则              B．若∥，∥，则∥

C．若∥，∥，则∥          D．若∥，，则

4.朱载堉（）,是我国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则（    ）

A． B．          C．         D．

5.在平行四边形中，，，点在上，，则（    ）   A．           B．        C．       D．

6.数列满足，，则（     ）

A．3          B．          C．            D．

7.设正项等比数列的前项和为,若，则的最小值为（    ）

A．5           B．10            C．15          D．20

8.某地2019年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（     ）

A．计算机行业好于化工行业   B．建筑行业好于物流行业

C．机械行业就业最困难 D．营销行业比贸易行业就业困难

9.右图是某三棱锥的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（    ）

A． B． C．4             D．

10.已知数列满足…，数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为（     ）

A．      B．    C．     D．

11.已知球是正三棱锥的外接球，底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

12.如图，四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ） A．       B．      C．     D．1

二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）

13.已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则   .

14.若向量、满足，且，，则向量在方向上的投影为       .

15.如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，为侧面上的动点，且∥面，则在侧面上的轨迹的长度是        .

16.已知函数，函数有3个不同的零点，，，且，则的取值范围是             .

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（12分）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中， 垂直于底面，，为棱的中点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

18.（12分）设．

（1）求的单调递增区间；

（2）在中，的对边分别为，若（），且，求面积的最大值．

19.（12分）给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．

1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；

2若数列满足：，；

①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

②若数列的前项和为，证明：.

20.（12分）在五面体中，∥∥, ,

，，平面平面.

（1）证明: 平面；

（2）棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，设的两个极值点为，，证明:.

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．

23.（选修4-5：不等式选讲）（10分）已知，．

（1）求证：；  （2）求证：．

南安一中2019—2020学年高三年第二次阶段考

数学（理科）试卷解答

一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）

13. 4；          14.；         15.；          16. 

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17. 解：（1）连结，平面，平面，∴ ，

为边长为1的菱形，且，

∴ ，， ∴ .

∵ ；

∵；

∴ .………………6分

（2）解法一：取中点，连结、，

∴ 且，

∴ 为异面直线与所成的角；…………8分

又∵ 在中，，∴ ，同时，，

∴ 为等边三角形，∴ ，

即异面直线与所成角的余弦值为.………………………12分

解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，

其中，设与交于点，则，

∴ ，又，∴ ，即，

∵ ，∴，

∴，

即异面直线与所成角的余弦值为.………………………12分

18. 解：（1）．

∴ ；……3分

由．

可得：，

函数的单调递增区间是：……………………6分

（2）由，即，可得，

．由余弦定理：，可得．

．…………………………9分

面积的最大值，当且仅当时，取等号．

故得三角形面积最大值为．………………………………12分

19. 1解：对于数列，任意，，

所以是指数型数列．………………………………………3分

2①数列是“指数型数列”， 证明如下：

，，

所以数列是等比数列，，………………………6分

，故数列是“指数型数列”． …8分

    ②由①可得，；……………………………10分

故.………………12分

20. （1）∵, ∴

∴四边形为菱形,∴

∵面面，面面,

∵∴平面

∴,又∵

∴直线平面；………………4分

（2）∵,

∴为正三角形，取的中点,连接,则

∴,

∵平面平面,平面，平面平面,

∴平面；

∵∴两两垂直，

以为原点，的方向为轴， 建立空间直角坐标系；

∵, ,

∴

由（1）知是平面的法向量……………………6分

∵,

设，

则．

设平面的法向量为

∵, ∴，………………………8分

令，则

∴…………………………………………9分

∵二面角为,

∴，

解得，即：.…………………………………………12分

21. 解：（1），，……………1分

对于一元二次方程， ，

①当时，即时，无解或一个解，

有时，，此时 在上单调递增；……………………2分

②当时，即时，有两个解，，

（ⅰ）当时，，

在 ,时，；

          在时，，

即在，单调递增，

在单调递减；……………………4分

（ⅱ）当时，一个实根小于0，一个实根大于0，

在时，，在，，

即在上单调递增，

在上单调递减。…………5分

综上所述：①时， 在上单调递增；

②当时，在，上单调递增，

在上单调递减；

③当时，在上单调递增，

在上单调递减。……6分

（2）当时，，，

又因为的两个极值点为，，

则，是方程的两实数根，设。

又因为，

故要证，只需证，

只需证，……………………9分

只需证，

下面证明不等式，

不妨设，要证，即证，

即证，

令，设，……………………10分

则，所以，函数在上递减，而，

因此当 时，恒成立，即成立，即成立，所以，得证。…12分

22.解：（1）由得：即的普通方程为：

由，得：直线：，即.…5分

（2）直线的参数方程可以写为：（为参数）,设两点对应的参数分别为

将直线的参数方程代入曲线的普通方程可得：，

即：；

，解得：或或.…………10分

23.解：（1）

，取等号．…………5分

（2）

，

所以，取等号．…………10分