2024届福建省龙岩市上杭县第一中学高三第一次月考数学试题含答案

2024届福建省龙岩市上杭县第一中学高三第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知为实数集，全集，集合，则（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】根据交集和补集的定义运算可得结果.

【详解】，，

或.

故选：D

2．已知函数（且）的反函数是，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】写出函数的解析式，利用可求得的值.

【详解】函数（且）的反函数是（且），

由题意可得，即，解得.

故选：D.

3．已知 是任意实数，则p：是q：且的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由题意p：等价于,由此判断命题间的逻辑推理关系，可得答案.

【详解】由可得 ，

取满足，但并不能得出q：且，

当且时，一定成立，

故p：是q：且的必要不充分条件，

故选：C

4．方程的实数解所在的一个区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数零点存在定理即可求解.

【详解】设，

，，

，，

，

所以，所以存在，使，

所以方程的实数解所在的一个区间是.

故选：C.

5．已知函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先分别判断函数在各段的单调性，依题意可得在处取得最大值，即可得到在左侧函数值不大于处的函数值，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为，当时函数单调递增，

当时函数单调递减，

要使函数存在最大值，则最大值一定是在处取得，

即，此时，解得，

即实数的取值范围是.

故选：B

6．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.

【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；

B：，

在上，在上，在上，

所以在、上递减，上递增，符合；

C：由且定义域为，为偶函数，

所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；

D：由且定义域为R，为奇函数，

研究上性质：，故在递增，

所以在R上递增，不符合；

故选：B

7．已知函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，可得出，，利用导数分析函数在上的单调性，再比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为，

，

故函数的图象关于直线对称，则，，

对任意的，，则，

故函数在上为增函数，接下来比较、、的大小关系，

令，其中，则对任意的恒成立，

故函数在上为增函数，所以，，故，

又因为，故，所以，，故.

故选：B.

8．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究和的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用和f(x)的单调性即可判断．

【详解】函数的定义域为，导函数为，

令，解得，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以当时，取最大值，，

当时，，当时，，，

当时，，当时，，

由，得，

令，解得，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以当时，函数取最大值，.

当时，，当时，，，

当时，，当时，，

根据以上信息，画出函数和函数的大致图象如下：

所以若存在直线，其与两条曲线和的图象共有三个不同的交点，

结合图象可得是直线与图象的两个交点的横坐标，

是直线与图象的两个交点的横坐标，

则

因为，，

所以，

则，，

所以，又，

又在上单调递增，在上单调递减，

所以，，故，，

所以，

又因为，所以，

所以.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用导数分析函数的单调性，最值，由此确定函数的图象，结合图象和条件确定的关系.

二、多选题

9．下列四个结论中，正确的结论是（    ）

A．已知奇函数在上是减函数，则它在上是减函数

B．已知函数在上具有单调性，则的取值范围是

C．在区间上，函数、、、中有个函数是增函数

D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用奇函数的性质结合函数单调性的定义可判断A选项；利用二次函数的单调性可判断B选项；利用幂函数的单调性可判断C选项；利用对数函数和反比例函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，任取、，即，则，

因为函数奇函数在上是减函数，则，即，

故，因此，函数在上是减函数，A对；

对于B选项，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

若函数在上为增函数，则，解得，

若函数在上为减函数，则，解得，

因此，若函数在上具有单调性，则的取值范围是，B错；

对于C选项，在区间上，函数、、均为增函数，C对；

对于D选项，因为，则，

因为函数在上为增函数，故，因此，，D对.

故选：ACD.

10．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点

C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点

【答案】ABC

【分析】由题意，画出和的图象，数形结合可判断A，分析和相切时的临界条件可判断BCD.

【详解】由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象.

对A，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确；

对B，设直线与曲线相切于点，

则，故切线斜率，

所以当，直线与有3个不同的交点，

即有3个零点，故B正确；

对C，设直线与曲线相切于点，

则，故切线斜率，

所以当时，恰有1个零点，故C正确；

对D，当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误；

故选：ABC.

11．已知且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为2

C．的最小值为6 D．的最小值为4

【答案】BC

【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；

对于B，因为，所以，

即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，由得，所以，

因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.

故选：BC.

12．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则为奇函数

B．若，则为偶函数

C．若具备奇偶性，则或

D．若在上单调递增，则a的取值范围为

【答案】BCD

【分析】根据奇偶函数的性质依次判断ABC选项，根据，结合复合函数单调性得在上单调递增，再根据导数求解即可.

【详解】若，，则，解得，故的定义域为，不关于原点对称，即A错误；

若，，定义域为，满足，故为偶函数，即B正确；

当时，由B可知为偶函数，

当时，易知为奇函数，即C正确；

由题知， ，若在上单调递增，则函数在上单调递增，则在恒成立，即在恒成立，解得，即D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．函数的图象在点处的切线的倾斜角为         

【答案】

【详解】因为，

所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为

14．已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为        .

【答案】、

【分析】利用函数的对称性可得出方程另外两根.

【详解】因为定义在上的函数满足，

则函数的图象关于直线对称，

因为方程有且仅有三个根，且为其一个根，则为该方程的一根，

在等式中，令，可得，

因此，方程的另外两根为、.

故答案为：、.

15．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为          .

【答案】

【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案.

【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，

乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，

则，，

两式相减得，

甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．

故答案为：.

16．已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】由可变形为，令（，且），通过二次求导判断在上是单调递减函数，从而有，即，从而可得无解，令（，且），求导判断单调性，结合图象即可求解.

【详解】，令（，且），

，

又，

令，则，

当时，单调递增，当时，单调递减，

, 即.

在上是单调递减函数.

（，且），

（，且），

令（，且），则，

当或时，单调递减，

当时，单调递增，

又因为当时，，则，当时，，则，

画出的图象，如图所示：

由图可知，当时，关于的方程无解.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】方法点睛:

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．已知全集，集合，______．

在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答：

①

②

③

(1)当时，求；

(2)当时，“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）解不等式求得集合，选择条件后求得集合，由此求得.

（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，或．

选①，，解得，

∴，∴．

选②，,解得，

，∴．

选③，，，

，∴．

（2）当时，，

∵“”是“的充分不必要条件，∴，

解得．

故的范围为．

18．已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)若在上单调递减，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的极值；

（2）利用导数，将不等式恒成立，转化为在上恒成立，即可求解.

【详解】（1）当时，，

，

得或，

当时，解得：或，当时，解得：，

所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，

当变换时，，的变化情况如下表所示，

所以函数的的极大值为，极小值为

（2），，，

因为在上单调递减，可得在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，，

所以，即的取值范围是.

19．《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数定义域为，且满足

(1)若是“1”型弱对称函数，求的值；

(2)若恰有99个零点分别记作，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据“1”型弱对称函数的定义，取，求得的值，再将的值代回中，验证其是否满足条件即可；

（2）结合（1）1是函数的零点，再根据若是的零点，则也是的零点，则可令，再根据基本不等式即可求取值范围．

【详解】（1）若在上恒成立，

则时，，得，

则，即，则，

当时，，，

则函数定义域为，且满足，

所以成立．

（2）不妨设，

，由（1）得，是函数的零点，

若是的零点，则，

又，，则也是的零点，

不妨令，

则，

由于，（由，即等号取不到），

，

故的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：小问（2）由且，得到若是的零点，则也是的零点，再结合基本不等式求的范围．

20．第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到如下的频率分布直方图．

(1)现从该样本中随机抽取2人的成绩，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率；

(2)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：

①若这次竞赛共有万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过分的人数（结果精确到个位）；

②现从所有参赛的大学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩不低于分的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

（2）①首先求出，即可得到，根据正态分布的性质求出，即可估计人数；②依题意可得，根据二项分布的期望公式计算可得.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩不低于分的有人，

则随机抽取人至少有人成绩不低于分的概率.

（2）①依题意，

所以，则，

所以，

所以估计竞赛成绩超过分的大学生约为人；

②由，所以，

所以随机变量，所以.

21．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为棱上的动点，设.

（1）若 ，求证：平面：

（2）若二面角为 ，求的值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）先设上的中点为,连接,，用线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先设上的中点为,则平面,过点作,垂足为,得到为二面角的平面角，即，再由代入数据，即可求出结果.

【详解】解析：（1），为棱上的中点

设上的中点为,连接,

则,,

为等边三角形，,平面,

平面,,又四边形为正方形，

平面,平面

平面平面；

(2)设上的中点为,则平面,过点作,垂足为,

则为二面角的平面角，即，

在中，,

在正方形中，,

，

,解得：.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定、以及已知二面角求其它量的问题，熟记线面垂直的判定定理、会找二面角的平面角即可，属于常考题型.

22．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)设有两个极值点、，且.

（i）求实数的取值范围；

（ii）求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）（i）令可得，可知直线与函数的图象有两个公共点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围；

（ii）由（i）可知，分析函数的单调性，令，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，再由以及不等式的基本性质可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，且.

①当时，对任意的，，则函数的增区间为；

②当时，由可得，由可得或，

此时，函数的减区间为，增区间为、.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的减区间为，增区间为、.

（2）解：（i）有两个极值点、，

则，令，可得，

由题意可知，直线与函数的图象有两个公共点（非切点），

令，则，

令，则，

所以，函数在上为增函数，

当时，；当时，.

所以，函数的减区间为，增区间为.

所以，函数在取得最小值，即，如下图所示：

由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个公共点（非切点），

且当或时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

故当时，函数有两个极值点.

因此，实数的取值范围是；

证明：（ii）因为，由（i）可知，

且函数的增区间为、，减区间为，

令，其中，

则，令，

则，

所以，函数在上为增函数，故当时，，

因为，则，

又当时，，

因为、，则，

所以，.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.