2020届福建省龙岩市高三下学期3月教学质量检查 数学（理）
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数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则=
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，，则
A. B. C. D.
4．的展开式中常数项为
A. B. C. D.
5．赵爽弦图（图1）是取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.图2是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成．现随机向图2中大正方形的内部投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为2和3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为
A. B. C. D.
6．已知函数满足，则
A. B. C. D.
7．函数的图象大致为
A B C D
8．已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若是直角三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
9．关于函数有下述四个结论：
①函数的图象把圆的面积两等分
②是周期为的函数
③函数在区间上有3个零点
④函数在区间上单调递减
其中所有正确结论的编号是
A．①③④ B．②④ C．①④ D．①③
10．已知是坐标原点，是双曲线:（）的左焦点，过作斜率为（）的直线与双曲线渐近线相交于点，在第一象限且，则等于
A． B． C． D．
11．已知在中，，其外接圆的圆心为，则（ ）
A. B. C. D.
12．已知正三棱柱的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱分别交于，若为直角三角形，则面积的最小值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在处的切线方程为__________________.
14．的内角的对边分别为.若的面积为，则____________.
15．记为数列的前项和，若，，则_____________.
16．波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有,，则当的面积最大时，边上的高为_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
已知等差数列的公差，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 | 幼年期 | 成长期 | 成年期 |
重量（Kg） |
根据以往经验，两个养猪场猪的体重均近似服从正态分布~.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.
已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据: 若，，
，）
20.（本小题满分12分）
已知抛物线:上一点，为焦点，面积为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一个交点分别为、,求直线斜率的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.
请考生在22、23两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若，解不等式；
（2）对任意的实数，若总存在实数，使得，求实数的取值范围.
龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | C | D | D | A | A | B | B | D | C | B | C | B |
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13． 14．（或） 15．3 16．
12．略解一：把画到处，在上，在上，设不妨设，
,此时
由，得
，
，当且仅当时取等号，.
略解二：以中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，设，，不妨设为直角，
，所以，
,
16．解：，为非零常数，故点的轨迹是圆.
以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
则，设，
，整理得
因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（1），① …………………………2分
成等比数列，，
化简得，，② …………………………4分
由①②可得，
所以数列的通项公式是 ……………………………6分
（2）由（1）得 ……………………9分
……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）证明：如图，连接，则平面，
平面, ………………2分
在等腰梯形中，连接，过点作于点，
，,，
则，
因此满足， …………………………5分
又，
平面 …………………………6分
（2）由（1）知两两垂直，
∵平面，，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系， …………………………7分
则，，，，
，
设平面的法向量，由得
可得平面的一个法向量， ……………………………9分
又为平面的一个法向量， ………………………10分
设平面与平面所成锐二面角为
则
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 …………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）由于猪的体重近似服从正态分布,
设各阶段猪的数量分别为
（头）；
同理，
（头）
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头.
………………………………6分（每个2分）
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，
随机变量可能取值为.
，，
所以的分布列为：
1100 | 400 | ||
P |
所以（元） ………………10分
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为（元）. ………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得，，即，解得，
所以的方程为 …………………………4分
（2）由（1）得，设直线斜率为，则方程为，
即,直线与圆相切，，
…………………………6分
设直线斜率为，同理得
是方程的两个根
， ………………………………8分
设
由得，由韦达定理得
，同理……………………………9分
所以………10分
，
直线AB斜率的取值范围是 ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1） ……………………………1分
令得，记则
令，得；令，得
在上是增函数，在上是减函数，且
当即时，无解，无极值点
当即时，有一解，，即
恒成立，无极值点
当，即时，有两解，有2个极值点
当即时，有一解，有一个极值点.
综上所述：当,无极值点；时，有2个极值点；
当，有1个极值点. …………………………5分
（2），
令，则，
记，则
由得，由，得，
在上是增函数，在上是减函数
当时，
当即时
有2个极值点 ………………………………7分
由
得
………………………8分
不妨设则， ……………………9分
又在上是减函数
………………………11分
……………………12分
22．（本小题满分10分）
解：（1）因为，所以，
所以，即曲线的直角坐标方程为：，
……………………………………2分
直线的参数方程(为参数)，即(为参数)，
………………………………………5分[
（2）设点，对应的参数分别为，，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，整理，得，所以， ……………………7分
所以= , =4,
所以= …………………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）当时，，
化为或或 ………………………………3分
解得或或，
.即不等式的解集为. ………………………5分
（2）根据题意，得的取值范围是值域的子集.
又由于，的值域为
……………………………………4分
故，.即实数的取值范围为. …………………10分
