2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版） (2)

上杭县第一中学2022-2023学年度第一学期第二次月考

高一数学

一、单选题

1. 将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将分针拨快10分钟，则分针顺时针旋转即为负角，且角度为圆周的，即可求得弧度.

【详解】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的，

分针转过的弧度为．

故选：B

2. 设，，，则，，的大小关系为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数函数特征可知，由对数函数特征可得，进而比大小.

【详解】，所以，即，，所以，所以.

故选：D

3. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.

【详解】解：因为幂函数的图像过点，

所以，所以，所以，

由于函数在上单调递增，

所以，解得：．

故的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.

4.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．

【详解】

，故选A．

【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．

5. 设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令得，由复合函数单调性即可求解.

【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当时，单减，，，故，要使在区间内有零点，即.

故选：C

6. 已知函数，则其图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断.

【详解】函数的定义域为，其定义域关于原点对称，

由函数的解析式可得：，

则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D错误；

而，选项A错误，C正确；

故选：C.

7. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ）.

A.  B. 9 C. 5 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.

【详解】定点为,

，

当且仅当时等号成立，

即时取得最小值.

故选A

【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

8. 流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（    ）

A. 1.2 B. 1.7 C. 2.0 D. 2.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据所给模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案

【详解】解：把代入，得，解得，

所以，

由，得，则，

两边取对数得，，得，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题

二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9. 下列计算正确的有（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用指数的运算性质可判断A；利用对数的运算性质可判断B、C；由根式的性质可判断D.

【详解】，正确；

，B正确；

，C不正确；

，D不正确.

故选：AB.

10. 已知，且，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可判断A；

根据，由结合二次函数的性质即可判断B；

由和结合基本不等式即可判断CD.

【详解】由题意知，

A：，

当且仅当时等号成立，故A正确；

B：，

当且仅当时，等号成立，故B正确；

C：，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

D：因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：ABD.

11. 设函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称

C. 的一个零点为 D. 在上单调递减

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.

【详解】对于A项，函数的周期为，，当时，周期，故A项正确；

对于B项，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B项正确；

对于C项，，，所以的一个零点为，故C项正确；

对于D项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D项错误.

故选：ABC.

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的单调递增区间是

B. 函数的值域是R

C. 函数的图象关于对称

D. 不等式的解集是

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.

【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；

对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；

对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；

对于D: ,即，解得：，故D正确；

故选：BCD.

二、填空题

13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

14. 已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.

【详解】当时，，，.

故答案为：.

15. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________.

【答案】(－1，0)∪(0，1)

【解析】

【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.

【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上增函数，f(1)＝0，

所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.

因为＝2·<0，

即或

解得x∈(－1，0)∪(0，1).

故答案为：(－1，0)∪(0，1).

【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.

16. 已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】令，结合的图象将问题转化为“方程在上有两不等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出的取值范围.

【详解】作出的图象如下图所示，

令，因为关于x的方程有8个不等的实数根，

结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且，

因为，，所以，

又因为，，即，

所以的取值范围是，

所以的取值范围是，

故答案为：.

三、解答题

17. 从①；②；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.

已知集合___________，集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）选①②③结果均为.   

（2）选①②③时答案一致，均为实数的取值范围为

【解析】

【分析】（1）先解不等式，求出集合与，进而求出；（2）得到，利用包含关系，分类讨论，得到实数的取值范围.

【小问1详解】

选①时：，解得：，即，又因为，故，综上：

选②时：，解得：，所以

选③时：，解得：，所以

当时，

当选①时，；当选②时，；当选③时，.

【小问2详解】

因为，所以，由第一问可知：选①时，

当时，，解得：，

当时，要满足，解得：，

综上：实数的取值范围为

选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为

18. 已知角的终边有一点.

（1）求值；

（2）求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据终边上的点及正切函数的定义求即可.

（2）利用诱导公式及商数关系，将目标式化为，结合（1）的结果求值即可.

【小问1详解】

由题设及正切函数的定义，.

【小问2详解】

.

19. 已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可求出答案；

（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值．

【详解】解：（1）设，则，

∵，

∴，

∴，解得，

又

∴，

∴；

（2）由（1）得，

①当时，函数在上单调递减，

∴；

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴；

∴．

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档题．

20. 已知函数.

（1）当时，求在上的值域；

（2）当时，已知，若有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将方程整理为关于的二次函数，令，利用二次函数的图象与性质求函数的值域；

（2）利用换元法及二次函数的性质求出函数在上的值域A，根据对数函数的单调性求出函数在区间上的值域B，根据题意有，根据集合的包含关系列出不等式进行求解.

【详解】（1）当，

令，设，，

函数在上单调递增，，

的值域为.

（2）设值域为集合的值域为集合根据题意可得，

，

令，，，

函数在上单调递增，且，

，

又，所以在上单调递增，

，，

由得，

的取值范围是.

【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．

21. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.

（1）试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

（2）问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

【答案】（1），   

（2）或时，L取得最大值为米．

【解析】

【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值．

【小问1详解】

由题意可得，，，

由于 ，，

所以，，

，

即，

【小问2详解】

设，则，

由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．

22. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）.（2）（2，+∞）.

【解析】

【分析】

（1）使对数式有意义，即得定义域；

（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．

【详解】（1）由题可知且，

所以.

所以的定义域为.

（2）由题易知在其定义域上单调递增.

所以在上的最大值为，

对任意的恒成立等价于恒成立.

由题得.

令，则恒成立.

当时，，不满足题意.

当时，，

解得，因，所以舍去.

当时，对称轴为，

当，即时，，所以；

当，即时，，无解，舍去；

当，即时，，所以，舍去.

综上所述，实数a的取值范围为（2，+∞）.

【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．