2023届江西省百校联盟高三上学期10月联考数学（理）试题含答案

  2023届高三联合测评卷·数学（理科）

一、选择题

1. 已知命题：,,则（    ）

A. , B. ,

C. , D. ,

答案：

D

解析：

【分析】

由特称命题的否定可直接得到结果.

【详解】

由特称命题的否定知：,.

故选：D.

2. 已知,则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

答案：

A

解析：

【分析】

根据对数函数的单调性可得充分性成立,举出反例推出必要性不成立,得到答案.

【详解】

因为单调递增,且定义域为,

由“”成立可推出,继而可得到；

当时,比如,,此时无意义,故推不出,

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 设集合,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据对数可求得,再根据题意求得,进而根据交集集运算求解.

【详解】

由解得,则,

∵,则,

∴,则,

．

故选：B．

4. 在中,点满足．记,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据平面向量的基底运算即可得到结果.

【详解】

如图所示,由图易得,,故．

故选:C．

5. 若,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

利用商数关系式和二倍角公式化简题设中的三角函数式可得,再根据二倍角的余弦公式可求的值.

【详解】

因为,故,

故,

因为,故,所以,

所以即,

故,

故选：D.

6. 函数的导函数在区间上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

首先对函数进行求导,然后判断导函数的奇偶性,最后根据图像特征,通过赋值法判断的符号即可求解.

【详解】

∵,∴,

∴,∴为奇函数,

从而的图像在区间上关于原点对称,由此可排除选项A、B,

又∵,排除D,从而答案为C.

故选：C.

7. 已知函数在上单调递增,满足对任意,都有,若在区间上单调递减,则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

由题知函数图像的对称轴是直线,进而得函数在上单调递减,再根据单调区间求解即可.

【详解】

由,得函数图像的对称轴是直线,

因为函数在上单调递增

所以,函数在上单调递减,

因为在区间上单调递减,则,解得．

所以,实数的取值范围为.

故选：C．

8. 已知函数的部分图像如图所示,则下列说法正确的是（    ）

A. 直线是图像的一条对称轴

B. 图像的一个对称中心为

C. 在区间上单调递增

D. 将的图像向左平移个单位长度后,可得到一个偶函数的图像

答案：

B

解析：

【分析】

根据图像最高点得到,由周期得到,再将点代入函数解析式中求得,再根据正弦型函数图像性质,对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】

由函数图像可知,,最小正周期为,,将点代入函数解析式中,得：,结合,,故．

A选项．当时,,故直线不是图像的一条对称轴,A错误；

B选项．令,则,,当时,,即图像的一个对称中心为,故B正确；

C选项,当时,,由于正弦函数在上递增,故在区间不是单调递增,故C错误；

D选项,将的图像向左平移个单位长度后,得到的图像,该函数不是偶函数,故D错误．

故选:B．

9. 设,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

构造且、,利用导数研究其单调性,即可判断的大小关系.

【详解】

由,

令且,则,

所以在上递增,故,

所以,即,故；

由,

设,则,

,,

在上单调递增,故,

,即．

综上,.

故选：A.

10. 奔驰定理：已知点是内的一点,若的面积分别记为,则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似,故形象地称其为“奔驰定理”．如图,已知是的垂心,且,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

延长交于点,则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得,再利用和可得,不妨设,利用可求出的值,从而可求出的值.

【详解】

延长交于点,

是的垂心,,

．

同理可得,．

又,

．

又,

．

不妨设,其中．

,

,解得．

当时,此时,则都是钝角,不合题意,舍掉．

故,则,故为锐角,

∴,解得,

故选：B．

11. 已知函数,以下结论正确的是（    ）

A. 是的一个周期 B. 在区间单调递减

C. 是偶函数 D. 在区间只有个零点

答案：

C

解析：

【分析】

根据周期性的定义判断A,利用导数求出函数在上的单调性,即可判断B,根据偶函数的定义判断C,根据函数的单调性及零点存在性定理判断D；

【详解】

对于A：

,故A错误；

对于B：当时,,

,

则在上,,,,单调递减；

在上,,,,单调递增,

故在上不单调,B错误；

对于C：定义域为,且

,

,

,故是偶函数,故C正确；

当,,,所以,则在区间无零点,

在上单调递减,,,

由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点,

同理：可证在上有且仅有一个零点．

综上,在区间上恰有两个零点,D错误．

故选：C．

12. 已知,,其中,若恒成立,则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

设,可知与有两个不同的交点,利用导数可得的图象,数形结合可知,则令,结合已知等式可用表示出,得到；令,利用导数可求得,从而推导得到,由此可得的取值范围.

【详解】

由得：,

设,则与有两个不同的交点,

,

当时,；当时,；

在上单调递增,在上单调递减,

又,可作出大致图象如下图所示,

由图象可知：,,设；

由得：,

则,,,

,

令,则,

令,则,

令,则,在上单调递减,

,即,在上单调递减,

,即,在上单调递减,

,即,,则,

,又恒成立,的取值范围为.

故选：D.

二、填空题

13. 已知曲线在处的切线与直线垂直,则实数__________．

答案：

解析：

【分析】

求导,得到曲线在的导数值,即斜率。然后根据与直线垂直,得到斜率乘积为,即可得到结果.

【详解】

,,曲线在处的切线斜率为,直线的斜率为,曲线在处的切线与直线垂直,,．

故答案为：.

14. 已知为上的奇函数,当时,,则___________．

答案：

解析：

【分析】

先利用奇函数的性质可得,然后根据已知的解析式可求出的值,从而可求得答案.

【详解】

因为为上奇函数,

所以,

因为在上为增函数,且,

所以,即

因为当时,,

所以,

所以．

故答案为：.

15. 在中,内角所对的边分别为,已知,若为的面积,则的最小值为__________.

答案：

解析：

【分析】

应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得,根据三角形性质有,再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值,注意取最小值的条件.

•        详解】
•        由题设及正弦定理边角关系,,

即,而,故,

又,则,故,

而,,

所以,当且仅当时等号成立,

故的最小值为.

故答案为：.

16. 已知函数是定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程恰好有个不同的实数根,那么的值为___________.

答案：

解析：

【分析】

先依题意画函数图象,令,判断方程有两个不同根,分别与图象有和个交点,即得、,再利用韦达定理去求参数即得的值.

【详解】

根据已知部分的函数解析式和偶函数对称性,画图象如图,令,则原方程可化为,

根据图象可知,要使原方程恰好有个不同的实数根,

只需有两个不等的实数根、,

由韦达定理可知,,,解得,,

故.

故答案为：.

三、解答题

17. 设命题对任意,不等式恒成立,命题存在,使得不等式成立．

（1）若为真命题,求实数的取值范围；

（2）若为假命题,为真命题,求实数的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由题知,恒成立,进而求函数在上的最小值,并解二次不等式即可得答案；

（2）若为真,则,进而得,再结合题意,分若为假命题,为真命题和若为假命题,为真命题两种情况讨论求解即可.

【详解】

（1）若为真,恒成立,

因,函数在为单调递增函数,

所以函数在为单调递增函数,

所以,

所以,,解得：．

所以实数的取值范围是

（2）若为真,存在,使得不等式成立,所以,只需,

因为,,当且仅当时等号成立,

所以,,

所以,,即；

若为假命题,为真命题,则一真一假．

若为假命题,为真命题,则,即；

若为假命题,为真命题,则,即．

综上,实数的取值范围为．

18. 在中,角的对边分别为,且满足．

（1）求角的大小；

（2）若,求的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由向量的数量积公式整理等式为,利用正弦定理化边为角,结合正弦的和角公式,整理即可求解；

（2）由切化弦公式整理等式为,利用正弦定理化角为边,结合（1）中可得,再根据余弦定理表示可得,,等式两边同时除以,可求得的值,即可求解.

【详解】

（1）由题意得,所以,

则由正弦定理得,

因为,所以,

因为,

所以,所以．

（2）,则,

又,可得,

因为,所以,

则,所以,

所以,则．

19. 函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.

（1）求的值及函数的值域；

（2）若,且,求的值.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)将函数化简整理,根据正三角形的高为,可求出,进而可得其值域；

(2)由得到,再由求出,进而可求出结果.

【详解】

(1)由已知可得

,

又正三角形的高为,则,

所以函数的最小正周期,即,得,

函数的值域为．

(2)因为,由(1)得

,

即,

由,得,

即,

故

.

20. 已知函数．

（1）若是函数的极小值点,求实数的值；

（2）若在上是增函数,求实数的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）是函数的极小值点,则直接由得出答案,后多次求导检验即可；

（2）在上是增函数,转化为恒成立问题,再通过参变分离得,构建新函数利用导数求出的最小值即可得出答案.

【详解】

（1）由题意得：,

是函数的极小值点,

,故．

检验：

当时,,令,则,

所以,得,则在上递增,

,则时,,时,,

则在上递减,在上递增,

故是函数的极小值点．

（2）,

,

若在上是增函数,即恒成立,得,

设,则,

令得,令得,

即在上单调递减,在上单调递增,

则,

故．

21. 江西某中学校园内有块扇形空地,经测量其半径为,圆心角为,学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场,初步设计方案如图所示．

（1）取弧的中点,连接,设,试用表示方案中矩形的面积,并求其最大值；

（2）你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有,在图中画出来,并证明你的结论．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）用表示表示、,结合三角恒等变换化简矩形面积的表达式,利用三角函数的基本性质可求得矩形面积的最大值；

（2）在半径上截取线段为矩形的一边,作得矩形,设,,化简矩形面积关于的表达式,利用三角函数的基本性质可求得矩形面积的最大值,比较两个方案中矩形面积的大小,即可得解.

【详解】

（1）如图所示,设交于点,交于点,显然矩形关于对称,

而点、分别为、的中点,,．

在中,,,

,

,即,

而,故矩形的面积

．

,,．

故当,即时,取得最大值,此时,

矩形面积的最大值为．

（2）如图所示,在半径上截取线段为矩形的一边,作得矩形,

设,,可得,,

则,

所以矩形的面积为

,

,可得,

当时,即时,有最大值为,

即矩形面积的最大值为,现将两种方案的最大值进行比较大小：,方案更合算．

22. 已知函数．

（1）若时,试讨论的单调性；

（2）若有两个零点时,求的取值范围．

答案：

见解析   

解析：

【分析】

（1）由题意,明确函数解析式,求导,根据二次函数的性质,讨论导数零点的取值范围,可得答案；

（2）先研究时,函数的零点个数,再根据零点的定义,验证不是零点,整理函数,化简研究存在两个不同的零点,利用导数研究其单调性,结合零点存在性定理,可得答案.

【详解】

（1）,,,

若,则令,解得,,解得,

故在上单调递增,在上单调递减；

若,令,得,

①当,即时,,解得或,在和上单调递减,,解得,在上单调递增；

②当,即时,,解得或,在和上单调递减,,解得,在上单调递增；

③当,即时,恒成立,故在单调递减．

综上所述,

当时,在和上单调递减,在上单调递增；

当时,在单调递减；

当时,在和上单调递减,在上单调递增；

当时,在上单调递增,在上单调递减．

（2）.

当时,,,令,则,

当时,,则在上单调递减；当时,,则在上单调递增.

由且,

当时,,,故恒成立,

,由在上单调递增,

则只有一个零点；

当时,,此时不是的零点,时,,

令,由题意可知,有两个零点等价于在且时有两个零点,

,若,则,单调递增,最多有一个零点,不符合题意；

若,令,解得或,

当或时,,单调递增；

当或时,,单调递减,

而,,

当时,此时,而,故有且只有一个零点,不合题意；

当即,此时在上无零点,故在上需有两个不同的零点,故,即,

此时当时,,故当时,．

而当时,,,故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

当,即,此时,故在上不存在零点．此时当时,,当时,,由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

综上,或．