2020届百校联盟TOP300八月尖子生联考（全国Ⅰ卷）数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先化简集合A，B，再求.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
2．已知，，若点满足，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设，由得，再由坐标求解.
【详解】
设，由得，
即，
所以，
解得，
所以点坐标为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
3．已知命题：，使得，命题：对，，若为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据为真命题，判断出均为真命题，分别求得为真命题时，各自的的取值范围，取这两个取值范围的交集求得的取值范围.
【详解】
由于为真命题，所以均为真命题.
对于命题，时，，所以.
对于命题，由于，所以，所以.
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问题的求解策略，属于基础题.
4．已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据点是角终边上一点，利用三角函数的定义求解.
【详解】
由点是角终边上一点，
可得.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.
5．已知是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据是奇函数，得，，当时，求导得，然后写出切线方程.
【详解】
由是奇函数，可得，，
当时，，，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到，则，然后求得其单调增区间，再根据在上是增函数，由是增区间的子集求解.
【详解】
因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，
所以，，
由，得，
所以在上是增函数，
由，
解得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
7．已知定义在上的偶函数满足，且时，则方程的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据为偶函数，，可推出是周期为4的周期函数，再根据时，得到一个周期时，的解集为，然后加上周期即可.
【详解】
因为为偶函数
所以
又因为，
所以
所以
所以是周期为4的周期函数，
因为时，
如图所示：
所以当时，的解集为，
所以方程的解集为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．在平行四边形中，点在对角线上（包含端点），且，则有（ ）.
A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值
C．最小值为，最大值为4 D．最小值为，最大值为
【答案】C
【解析】画出图形,通过平面向量的线性运算可将转化为两个共线向量的数量积,分类讨论的位置,利用不等式即可求出最值.
【详解】
如图：
所以,
（1）当点在上,设,,当时,有最小值;
（2）当点在上,设,,当时,有最大值4;综上有最小值为,最大值为4.
故选:
【点睛】
本题考查了向量的数量积最值问题,在解答过程中需要注意分类讨论,运用数量积的及算法方法结合不等式求出最值,本题属于中档题.
10．已知，，满足，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，，可得，构造函数，利用导数研究其单调性，比较的大小.
【详解】
由，，可得，
构造函数，则，
所以在上是减函数，
所以，解得.
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查对数，指数比较大小，还考查了构造函数用导数法研究单调性问题，属于中档题.
11．已知函数满足， 且在上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：
①；
②若，则；
③的最小正周期为3；
④在上的零点个数最少为1346个．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可．
【详解】
区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,①正确.
若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故②错误.
不妨令，，两式相减得,
即函数的周期，故③正确.
区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故④错误.
故正确的是①③，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
12．已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用导数法，明确在，上是增函数，在上是减函数，结合的图象，得，构造函数，再利用导数法求其取值范围.
【详解】
由得，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
结合的图象
可得，又，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
由，，，
可得的取值范围是
故选：A
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解问题的能力，属于难题.
二、填空题
13．若，且，则__________．
【答案】或6
【解析】根据分段函数的定义域，分，，两种情况讨论求解.
【详解】
若，由，得，所以（舍去）或，
若，由，得.
故答案为：或6
【点睛】
本题主要考查分段函数求函数值，还考查了分类讨论的思想和运算求解问题的能力，属于基础题.
14．若，则__________．
【答案】
【解析】根据，利用商数关系，化简为，再利用平方关系求解.
【详解】
由得，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．已知中，，，，若点满足，则__________．
【答案】
【解析】根据，以为一组基底，由，得到，再由求解.
【详解】
因为
又因为，，
所以，
所以
.
故答案为：-12
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为__________．
【答案】3
【解析】根据，利用正弦定理得，再利用两角和的正弦，有，再根据，表示：，，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.
【详解】
由得，
所以，
由可得，
所以，，
所以
当时，面积取得最大值3.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知的部分图象如图所示
写出A，，的值直接写出结果；
若，求在上的值域．
【答案】（1），，；（2）
【解析】（1）由的部分图象直接可求得，，和的值；
（2）由求得的解析式，化为正弦型函数，再求在上的值域．
【详解】
解：（1）由的部分图象知，
，解得；
；
令，
解得；
（2）由（1）知，；
所以；
当时，，
所以，
所以，
即函数在上的值域为．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．
18．已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且时，，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②.
【解析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义求解.
（2）①根据及，得是偶函数且，再利用单调性的定义证明.②由是偶函数且在上是减函数，将不等式，转化为求解.
【详解】
（1）取，得，
取，得，
取，，得，
所以是奇函数.
（2）①由及，
可得是偶函数且，
设，则，
由时，得，
所以，
所以在上是减函数.
②由是偶函数且在上是减函数，
可得
或或，
所以不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题.
19．如图，在中，，在中，，，，三点共线，于点，.
（1）若，求；
（2）求的最小值.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）根据，及，求得，然后在中，由余弦定理求解.
（2）设，则，在中，，，，然后由正弦定理得到，再化简转化为求解.
【详解】
（1）由，及得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
（2）设，则，
在中，，，，
由正弦定理得，
所以
.
当，即时取等号.
所以的最小值为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了辅助角法以及运算求解的能力，属于中档题.
20．已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求证：.
【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）详见解析.
【解析】（1）当时，，求导，由得增区间，，得减区间.
（2）由得，在是减函数，易知且时，当且时，，所以存在，得，有，即 ，代入，构造函数设，研究其最大值即可.
【详解】
（1）当时，，所以，
显然在上是减函数，且，
所以时，，是增函数，
时，，是减函数，
故在上是增函数，在上是减函数.
（2）由得，在是减函数，
且时，
当且时，，
所以存在，使得，
所以在上是增函数，在上是减函数，，
由得，，，
由得，
因为，
设，则在上是增函数，
所以，即，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求，扎实推进社会主义新农村建设，2018年4月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界以及对角线均为绿化区小路（不考虑宽度），，,.
（1）求四边形的面积；
（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.
【答案】（1）（m2）（2）900（m）
【解析】（1）连接，分别求和的面积，即可求解；
（2）由（1）知边长为定值，则在中，可知，根据余弦定理和基本不等式，求解的范围，即可求解.
【详解】
（1）连接的面积.
在中，由余弦定理得，
.又，，，
又，，的面积.
四边形的面积；
（2）由已知及（1）可知，，
，
可知要使绿化区所有小路长度之和取最大值，应使最大，
在中，由余弦定理得，
即.
，
，当且仅当时取等号.
此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形的应用，以及三角形面积公式，考查计算能力，属于中等题型.
22．已知函数.
（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由得，根据有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根，转化为直线与的图象有两个不同的交点求解.
（2）由（1）知，设，则，由得，，要证，将 代入整理为，再令，转化为，再构造函数，研究其最大值即可.
【详解】
（1）由得，
有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，
即方程有两个不同的实根，
即直线与的图象有两个不同的交点，
设，则，
时，单调递增，且的取值范围是；
时，单调递减，且的取值范围是，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，
有两个不同的极值点，，
故实数的取值范围是.
（2）由（1）知，设，则，
由得，
所以要证，只需证，
即证，即证，
设，即证，即证，
设，则，
所以在是增函数，，
所以，从而有.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值，导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
