2020届辽宁省沈阳市高三上学期五校协作体期中联考试题 数学理

2019—2020学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考

高三年级理科数学试卷

试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择

题，13—23题，共90分）。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

命题人：关锋              校对人：张燕

考试时间 ：120 分钟       考试分数：150分       

第Ⅰ卷（选择题  满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合，，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 (   )                          

A．     B． 

C．      D．

2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点的坐标为(   )

A．      B．         C．       D．

3.已知都是实数,直线与圆相切;  ,则p是q的(   )

A.充分不必要条件                      B.必要不充分条件
C.充要条件                              D.既不充分也不必要条件

4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg   ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(   )

A.1010.1                  B.10.1             C.lg10.1             D.10-10.1

5.已知，则的大小关系为

A．         B．    C．         D．

6.根据如下样本数据

得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)

A．a>0，b>0       B．a>0，b<0      C．a<0，b>0      D．a<0，b<0

7.已知，则的值是（   ）

A．         B．         C．        D．

8.函数（其中）的图像不可能是（   ）

A．                 B．             C．  D．

9.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 

A．336            B．340          C．352      D．472

10.已知，则不可能满足的关系是（   ）

A．    B．    C．    D．

11.已知向量、满足,点在内，且, 设（），若,则

 A.         B.      C.        D. 

12.已知是奇函数f(x)(x)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，,

则使得f(x)>0成立的x的取值范围为(    )

A.   B.   C. D.

第Ⅱ卷  （非选择题  满分90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.若实数满足条件则的最大值是__________．

14.由曲线与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为        ．

15.三棱锥中，平面，，，，是

边上的一个动点，且直线与平面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．   

16.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.

（1）下列函数中具有性质P的有          ；

①  ②  ③，

（2）若函数           具有性质P，则实数的取值范围是         . （本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

已知数列满足，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）

如图，在四边形中，，，△的面积为．

（1）求；

（2）若，，求．

19．（本小题满分12分）

为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．

（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；

（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形， 平面， ， ， ， 分别是， 的中点.

（1）证明： ；

（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角 的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知，.

（1）当时，求证：；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）

设函数．

   （1）若，解不等式；

   （2）求证：．

高三五校联考理科数学答案

1—5   D C B A B    6—10  B B C A D     11—12  C A

13.      14．    15、     16.（1）①②，（2）

17. （本小题满分12分）

(1)证明：因为an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，

即－＝1………..3分

所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，

解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1                 ……………………6分

(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n

＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.

所以Sn＝(2n－3)2n＋3                            ………… …………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）由，，得．…3分

因为，所以由余弦定理．

            …………………… 6分

（2）由（1）知，因为，所以．

在△中，由正弦定理得，所以．……………………12分

19.（本小题满分12分）

 （1）当时，

           当时，.

得：                       …………………… 6分

（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 ……7分

可取，，，.                          ………………………8分

，

， 

的分布列为

………………..10分

或依题意，                    ……………………  12分

20．（本小题满分12分）

 解析：（1）证明：∵四边形为菱形， ，

∴为正三角形.又为的中点，

∴.又，因此.

∵平面， 平面，

∴.而平面， 平面且，

∴平面.又平面，

∴.                                            …………………… 4分

（2）如图， 为上任意一点，连接， .

当线段长的最小时， ，由（1）知，

∴平面， 平面，故.

在中， ， ， ，∴，

由中， ， ，∴.…………6分

由（1）知， ， 两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 分别是， 的中点，可得， ， ， ，， ， ，所以， .设平面的一法向量为，则因此，取，则，……………8分

因为， ， ，所以平面，

故为平面的一法向量.又，……………10分

所以 .二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为      …………………… 12分

21．（本小题满分12分）

（1）设，

，

由故增且，所以，在上递增，

所以                                        …………………… 4分

（2）即<0，在上有解

则，，

所以在上单调递增，………………………6分

（ⅰ）当时，在上为单调递增函数，故，

所以：………………………………………………….8分

（ⅱ）当时，  设

所以：在上为单调递增函数，所以：

当时，恒成立，不合题意

综上所述：                                         …………………… 12分

22．（本小题满分10分）

解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为    

又，                 

曲线的极坐标方程为，即   …….3分

曲线的极坐标方程可化为，

故曲线的直角方程为       ……………………5分

（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中

则，     

于是       

由，得

故的取值范围是      ……………………10分

23．（本小题满分12分）

解：（1）因为，所以，     

即或                   

   故不等式的解集为    …………4分

（2）由已知得：

  所以在上递减，在递增       

  即

      所以        ……………………10分