2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第五次月考数学（理）试卷

2020届宁夏银川市宁夏大学附中高三上学期第五次月考数学（理）试卷

第Ⅰ卷  (选择题  共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合，则中元素的个数为

A．9              B．8              C．5              D．4

2、已知复数满足:（为虚数单位），则为（   ）

A．           B．            C．           D．1 

3、下列叙述中正确的是(　　)

A．若a，b，c∈R，且a＞c，则“ab2＞cb2”

B．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≤0”

C．“φ＝”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

4、已知函数，则下列结论正确的是（）

A．是偶函数               B．在上是增函数

C．是周期函数             D．的值域为

5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是

A．f(x)＝3x      B．     C．        D．

6、如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－y＋＝0平行，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C． D．

7、已知函数f(x)＝2sin(π－x)·cosx＋2cos2x－1，其中x∈R，则下列结论中正确的是

A．f(x)是最小正周期为π的奇函数;    

B．f(x)的一条对称轴是x＝

C．f(x)在上单调递增 

D．将函数y＝2sin 2x的图象左移个单位得到函数f(x)的图象

8、已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为

A．4              B．3                 C． D．2

9、在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是

A．A1O∥D1C B．A1O⊥BC C．A1O∥平面B1CD1 D．A1O⊥平面AB1D1

10、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；  ②a1－c1＝a2－c2；  ③c1a2>a1c2.   ④<

其中正确式子的序号是

A．①③ B．②③ C．①④      D．②④

11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若

,,则球的半径为

A．             B．           C．D．

12、设 ，若函数 在区间(0，4)上有三个零点，则实数的取值范围是

A．           B．       C．         D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.

13、已知函数f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0且a≠1)，其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝________.

14、等差数列中，，是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则的前9项和等于       .

15、已知向量a＝(x，1)，b＝(y，x2+4)且ab，，则实数y的取值范围是            .

16、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为          .

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.

17、(本题满分12分)已知锐角中，内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）求函数的值域.

18.（本小题满分12分）已知正项等比数列的前项和为，且, ，

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（1）证明：CD⊥平面A1OC；

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

20、（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求 的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值.

22、（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为,直线的参数方程为  

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)求曲线C上的点M到直线的最大距离。

数学试卷理参考答案

一、选择题（单项选择，每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．10      14．18      15.       16．

17．(本题满分12分)

已知锐角中，内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；（2）求函数的值域.

【答案】（1）；（2）.

解析：（1）由，利用正弦定理可得，

可化为：，

.

（2）

18.已知正项等比数列的前项和为，且, ，

（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.

【解析】：

（1）因为，，所以或（舍去）.

又，故，所以数列的通项公式为.

（2）由（Ⅰ）知，∴，①

∴，②

②①得，∴.

19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，

∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

(2)

由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1­BE­C的平面角，所以∠A1OC＝.

设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，

平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

20. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，

求的面积的最大值．

20．（12分）

解：（I）椭圆的方程为：．·········4分

（2）由题意知（为点到直线的距离），

设的方程为，联立方程得，

消去得，

设，，则，，·········6分

则，·········8分

又，·········9分

，·········10分

令，由，得，

，，易证在递增，，

，面积的最大值．·········12分

21．（12分）.已知函数.

（1）讨论函数的定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值.

解：（I）的定义域为，.

当时，在上恒成立，函数f(x)在上单调递减.

在(0，＋∞)上没有极值点.

当时，由得，

所以，在上递减，在上递增，即在处有极小值.

综上，当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点.

(Ⅱ) ∵函数在处取得极值，

，则，从而

因此即，

令，则，由得

则在上递减，在上递增，

，故实数b的最大值是

22.已知曲线的极坐标方程为.

（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.

22.【解析】：(Ⅰ)由ρ2＝，得,即，

故曲线C的直角坐标方程

(Ⅱ)∵P(x，y)是曲线C上的一个动点，∴可设，则

，其中.

∵，∴当时，