高中数学人教版新课标A选修4-52.基本不等式精练

学业分层测评（二）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数f(x)＝的最大值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1

【解析】　显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；

当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，

当且仅当x＝1时，等号成立，

∴f(x)max＝.

【答案】　B

2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a＜b＜＜

B．a＜＜＜b

C．a＜＜b＜

D.＜a＜＜b

【解析】　取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.

【答案】　B

3．已知x≥，则f(x)＝有(　　)

A．最大值为   B．最小值为

C．最大值为1 D.最小值为1

【解析】　∵x≥，∴x－2≥，

∴f(x)＝＝(x－2)＋≥

2＝1，当且仅当＝，

即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.

【答案】　D

4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)

A．0 B．1

C．2 D.4

【解析】　由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，

∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，

∴≥4，当且仅当x＝y时，取等号．

【答案】　D

5．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是(　　)

A．x>y   B．y>x

C．x>y D.y>x

【解析】　因为a，b是不相等的正数，所以x2＝＋<＋＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.

【答案】　B

二、填空题

6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.

【导学号：32750010】

【解析】　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为.

【答案】　

7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

【解析】　因为x＞0，y＞0，

所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.

【答案】　3

8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

【解析】　∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，

∴(am＋bn)(bm＋an)

＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2

＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)

≥2ab·mn＋2(a2＋b2)

＝4ab＋2(a2＋b2)

＝2(a2＋b2＋2ab)

＝2(a＋b)2＝2，

当且仅当m＝n＝时，取“＝”，

∴所求最小值为2.

【答案】　2

三、解答题

9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.

【解】　∵x＋y＝(x＋y)

＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

当且仅当＝时取等号．

又(x＋y)min＝(＋)2＝18，

即a＋b＋2＝18. ①

又a＋b＝10， ②

由①②可得或

10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.

【证明】　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，

∴＋＋≥1.

[能力提升]

1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)

A．40   B．10

C．4 D.2

【解析】　因为x，y∈R＋，∴≤，

∴≤＝10，∴xy≤100.

∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.

【答案】　D

2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)

A．5千米处   B．4千米处

C．3千米处 D.2千米处

【解析】　由已知：y1＝，

y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．

费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋

≥2＝8.

当且仅当0.8x＝，

即x＝5时等号成立．

【答案】　A

3．y＝(x＞0)的最小值是________．

【解析】　∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.

当且仅当x＋1＝时取等号．

【答案】　2－1

4．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围.

【导学号：32750011】

【解】　由x>0，知原不等式等价于

0<≤＝x＋＋3恒成立．

又x>0时，x＋≥2＝2，

∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．

因此min＝5，

从而0<≤5，解得a≥.

故实数a的取值范围为.