选修2-32.4正态分布课时练习

 www.ks5u.com第二章  随机变量及其分布

2.4  正态分布

A级　基础巩固

一、选择题

1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　)

A．4　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．1

解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.

所以D＝D(X)＝1.

答案：D

2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2  B．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C．μ1＞μ2，σ1＜σ2  D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.

答案：A

3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)

附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]

A．4.56%   B．13.59%

C．27.18%   D．31.74%

解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%.

答案：B

4．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2则p1，p2的关系为(　　)

A．p1＞p2   B．p1＜p2

C．p1＝p2   D．不确定

解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.

答案：C

5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为(　　)

A．0.997 3   B．0.682 6

C．0.841 3   D．0.815 9

解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，

由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B.

答案：B

二、填空题

6．设X～N，则P(－1＜X＜1)的值为________．

解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954 4.

答案：0.954 4

7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.

答案：1

8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．

解析：因为P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1 000×(1－0.997 4)＝2.6≈3(个)．

答案：3

三、解答题

9．设X～N(1，22)，试求：

(1)P(－1＜X≤3)；

(2)P(3＜X≤5)．

解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6.

(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，

所以P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.

10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：

(1)ξ在(0，2]内取值的概率；

(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；

(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．

解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.

(2)又因正态分布图象的对称轴为x＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.

(3) ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.

B级　能力提升

1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于(　　)

A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)   B．Φ(1)－Φ(－1)

C．Φ   D．2Φ(μ＋σ)

解析：设η＝，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．

答案：B

2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．

解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.954 4，P(X＞80)＝(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．

所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．

答案：229

3．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．

解：因为X～N(110，202)，

所以μ＝110，σ＝20.

P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 6.

所以X＞130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7.

所以X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.

所以及格的人数为54×0.841 3≈45 (人)，

130分以上的人数为54×0.158 7＝9 (人)．