人教版新课标A选修2-32.4正态分布复习练习题

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这是一份人教版新课标A选修2-32.4正态分布复习练习题，共6页。试卷主要包含了9973,，已知当X~N时,P=0等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( )
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件
D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件
解析∵P(μ-3σ∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
答案D
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),则P(ξ>4)=( )

A.15B.14
C.13D.12
解析由正态分布图象,可知μ=4是该图象的对称轴,∴P(ξ<4)=P(ξ>4)=12.
答案D
3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为( )
5
5
3
75
解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,
所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-12×0.9545=0.02275.
答案D
4.一批电阻的电阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,可以认为( )
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂
解析∵X~N(1000,52),
∴μ=1000,σ=5,∴μ-3σ=1000-3×5=985,
μ+3σ=1000+3×5=1015.
∵1011∈(985,1015),982∉(985,1015),
∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
答案C
5.若随机变量X~N(1,22),则D12X等于( )
A.4B.2
C.12D.1
解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,
所以D12X=14D(X)=1.
答案D
6.若随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为 .
解析∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2.
又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2,
D(Y)=9D(X)=62.
∴Y~N(2,62).
答案Y~N(2,62)
7.已知当X~N(μ,σ2)时,P(μ-σ解析由题意,μ=1,σ=1,P(3答案0.021 5
8.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .
解析由题意知,P(ξ>110)=1-2P(90≤ξ≤100)2=0.2,∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
答案10
9.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其密度函数图象如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式;
(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比.
解设此地农民工年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的密度函数表达式为
φμ,σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2
=15002πe-(x-8000)22×5002,x∈(-∞,+∞).
(2)∵P(7500=P(8000-500∴P(8000故此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数所占的百分比为34.135%.
10.设X~N(4,1),证明P(2证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,
所以P(2又因为P(2所以P(2能力提升
1.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=12πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2
B.p1C.p1=p2
D.不确定
解析由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
答案C
2.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=( )
A.12+p
B.1-p
C.1-2p
D.12-p
解析P(-1<ξ<0)=12P(-1<ξ<1)
=12[1-2P(ξ>1)]=12-P(ξ>1)=12-p.
答案D
3.设随机变量X~N(μ,σ2),且X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等,若P(X≥2)=p,则P(0A.12+p
B.1-p
C.1-2p
D.12-p
解析由X落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得μ=0.又∵P(X≥2)=p,∴P(-2答案D
4.已知X~N(4,σ2),且P(2解析∵X~N(4,σ2),
∴μ=4.
∵P(2∴μ+σ=6,μ-σ=2,
∴σ=2.
∴P(|X-2|<4)=P(-2=P(-2=12[P(-2=12P(-2答案2 0.84
5.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?
解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,
P(X>5)=1+P(5对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,
P(X>5)=1+P(7-2显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.
6.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).
附:150≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,
依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.
7.(选做题)已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在[80,+∞)上是减函数,且f(80)=182π.
(1)求概率密度函数;
(2)估计尺寸在72 ~88 mm间的零件大约占总数的百分之几?
解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在[80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得μ=80,
12π·σ=182π,
所以σ=8.
故概率密度函数解析式是
φμ,σ(x)=182πe-(x-80)2128.
(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,
μ+σ=80+8=88,
∴零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.6826,因此尺寸在72~88mm间的零件大约占总数的68.26%.

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