高中数学人教版新课标A选修2-32.4正态分布当堂检测题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D＝(　　)

A．1　　　　　 B．2　　　　　

C.　　　　　 D．4

【解析】　∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.

∴D＝D(ξ)＝×2＝.

【答案】　C

2．下列函数是正态密度函数的是(　　)

A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数

B．f(x)＝e－

C．f(x)＝e－

D．f(x)＝e

【解析】　对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．

【答案】　B

3．(2015·湖北高考)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图2­4­6所示，下列结论中正确的是(　　)

图2­4­6

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

【解析】　由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝，

P(Y≥μ1)＞，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；

因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；

对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；

对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D.

【答案】　D

4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为(　　)

A．上、下午生产情况均为正常

B．上、下午生产情况均为异常

C．上午生产情况正常，下午生产情况异常

D．上午生产情况异常，下午生产情况正常

【解析】　根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．

【答案】　C

5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)

A．4.56%  B．13.59%

C．27.18%  D．31.74%

【解析】　由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝

＝0.135 9＝13.59%，故选  B.

【答案】　B

二、填空题

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】

【解析】　由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.

【答案】　0.2

7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

【解析】　正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.

【答案】　1

8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是

f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：

①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；

②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；

③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；

④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.

其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

【解析】　画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：

由图可得：

①图象关于x＝μ对称，故①正确；

②随着x的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；

③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；

④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.

【答案】　①②④

三、解答题

9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：

(1)X在(0,4]内取值的概率；

(2)P(X>4)．

【解】　

(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．

因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.

(2)P(X>4)＝[1－P(0<X≤4)]＝(1－0.4)＝0.3.

10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？

【解】　由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．

[能力提升]

1．(2015·湖南高考)

图2­4­7

在如图2­4­7所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

A．2 386　　　　　B．2 718

C．3 413  D．4 772

附：若X～N(μ，σ2)，

则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.

【解析】　由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×＝3 413，故选C.

【答案】　C

2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　　)

A．(90,110]  B．(95,125]

C．(100,120]  D．(105,115]

【解析】　由＝0.95，符合P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，

所以在(100,120]内．故选C.

【答案】　C

3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)

①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；

②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；

③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)；

④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．

【解析】　因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确；

因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<

－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；

因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，

所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确．

【答案】　②④

4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

图2­4­8

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

【解】　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.