人教版新课标A选修2-33.1回归分析的基本思想及其初步应用第2课时课时训练

 www.ks5u.com第三章  统计案例

3.1  回归分析的基本思想及其初步应用

第2课时  残差分析

A级　基础巩固

一、选择题

1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：

则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(　　)

A．甲　　　　　　 B．乙

C．丙   D．丁

解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．

答案：D

2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为(　　)

解析：由回归直线方程可知，为一个量的估计值，而yi为它的实际值，在最小二乘估计中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2.

答案：C

3.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表所示：

哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高（　　）

A.甲   B.乙

C.丙   D.丁

解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2的表达式中为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．

答案：D

4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是(　　)

A．第四个   B．第五个

C．第六个   D．第八个

解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．

答案：C

5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是(　　)

A．相关系数r变大

B．残差平方和变大

C．相关指数R2变大

D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．

答案：B

二、填空题

6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…， n)，且ei恒为0，则R2为________．

解析：由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，

答案：1

7．x，y满足如下表的关系：

则x，y之间符合的函数模型为________．

解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.

答案：y＝x2

8．关于x与y，有如下数据：

有如下的两个模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R________R，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．

解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R＞R，Q1＜Q2.

答案：＞　＜

三、解答题

9．在实验中得到变量y与x的数据如下表所示：

由经验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测x0＝0.038时，y0的值．

解：令u＝，由题目所给数据可得下表所示的数据：

计算得＝0.29，＝34.32.

所以＝34.32＋0.29u.

所以试求回归曲线方程为＝34.32＋.

当x0＝0.038时，y0＝34.32＋ ≈41.95.

10．关于x与y有以下数据：

已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5.

(1)求y与x的线性回归方程；

(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．

解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.

＝＝5，＝＝50，因为＝6.5x＋经过(，)，所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 .所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.

(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－的关系如下表所示：

由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．

B级　能力提升

1．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多”，则求得的相关指数R2≈(　　)

A．0.36   B．0.64

C．0.32   D．0.18

解析：根据相关指数的意义知R2≈0.64.

答案：B

2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．

解析：因为R2＝1－，

0．95＝1－，所以总偏差平方和为1 780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.

答案：1 780　1 691

3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：

(1)作出散点图；

(2)求出回归方程；

(3)作出残差图；

(4)计算相关指数R2；

(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．

(2)＝39.25，＝40.875, ＝13 180，

＝－＝－0.003 88.

所以回归方程为＝1.0415x－0.003 88.

(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．

(4)计算得相关指数R2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．

(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．

将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.

故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.