高中数学3.2独立性检验的基本思想及其初步课时练习

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系

B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系

C．没有充分理由认为X与Y有关系

D．不能确定

【解析】　∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．

【答案】　C

2．下列关于等高条形图的叙述正确的是(　　)

A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系

B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小

C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系

D．以上说法都不对

【解析】　在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．

【答案】　C

3．分类变量X和Y的列联表如下：

则下列说法正确的是(　　)

A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱

C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强

D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强

【解析】　对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．

【答案】　C

4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　)

A．k≥6.635　　　　　　B．k<6.635

C．k≥7.879  D．k<7.879

【解析】　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.

【答案】　C

5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：

由K2＝算得，

k＝≈7.8.

附表：

参照附表，得到的正确结论是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

【解析】　由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

【答案】　C

二、填空题

6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：

根据上述数据分析，我们得出的K2的观测值k约为________. 【导学号：97270063】

【解析】　由公式可计算得k＝≈2.334.

【答案】　2.334

7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：

进行统计分析时的统计假设是________．

【解析】　根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．

【答案】　小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关

8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．

其中说法正确的是________．(填序号)

【解析】　K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．

【答案】　③

三、解答题

9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．

附：

(1)利用图形判断采用荧光抗体法与检验结果呈阳性是否有关系；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？

【解】　(1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．

(2)通过计算可知K2＝≈113.184 6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184 6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．

10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．

(1)根据以上数据建立2×2列联表；

(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？

【解】　(1)2×2的列联表：

(2)假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”．

由表中数据得k＝≈6.201.

因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名称里与是否含有数字有关”．

[能力提升]

1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为(　　)

①A与B无关，即A与B互不影响；

②A与B关系越密切，则K2的值就越大；

③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0

【解析】　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.

【答案】　A

2．(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是(　　)

A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒

C．这种血清预防感冒的有效率为95%

D．这种血清预防感冒的有效率为5%

【解析】　K2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.

【答案】　A

3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：

设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．

【解析】　由公式计算得K2的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．

【答案】　4.9　5%

4．(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：

(1)现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；

(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？

【解】　(1)依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D，从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD.

其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，则所求概率为P＝.

(2)根据已知列联表，

得k＝≈3.860>3.841，即有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．