数学选修2-33.2独立性检验的基本思想及其初步课时练习

这是一份数学选修2-33.2独立性检验的基本思想及其初步课时练习，共12页。试卷主要包含了下面是一个2×2列联表等内容，欢迎下载使用。


题组一 两个分类变量之间的关联关系
1.(2019河南安阳高二期末)下面是一个2×2列联表:
则表中a,b的值分别为( )
A.94,96B.52,50C.52,54D.54,52
2.(2019山东潍坊普通高中高二下模块检测)在研究打鼾与患心脏病之间的关系时,通过收集、整理、分析数据得到了“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法中正确的是( )
A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B.1个人患心脏病,那么这个人有99%的概率打鼾
C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
3.(2020吉林高二下期末)为了搞好某次国际会议的对外宣传工作,会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作,在如下“性别与是否会外语”的列联表中,a+b+d= .
题组二 独立性检验的基本思想
4.(2019广东深圳高二期末)下列关于回归分析与独立性检验的说法中正确的是( )
A.回归分析和独立性检验没有什么区别
B.回归分析是对两个变量准确关系的分析,而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系
C.独立性检验可以完全确定两个变量之间是否具有某种关系
D.回归分析研究的是两个变量之间的相关关系,独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验
5.(2019河南南阳第一中学高二月考)对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是( )
A.判断模型的拟合效果
B.对两个变量进行相关分析
C.明确两个分类变量有关系的可靠程度
D.估计预报变量的平均值
6.(2020广东中山高二下期末)某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200位学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:
下列叙述一定正确的是( )
A.甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前
D.乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后
7.(2020山西运城高二下期末)分类变量x与y的2×2列联表如下:
对于同一样本,下列数据中能说明x与y有关系的可能性最大的一组为( )
A.a=2,b=3,c=4,d=5
B.a=5,b=3,c=3,d=4
C.a=3,b=6,c=2,d=5
D.a=5,b=3,c=4,d=3
题组三 独立性检验的应用
8.(2020北京丰台高二下期末)在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量K2的观测值k≈56.632.则下列说法正确的是( )
附:
A.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
B.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
C.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
D.由于随机变量K2的观测值k>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
9.(2020辽宁葫芦岛高二下期末)2020年以来,为了抗击新冠肺炎疫情,教育部出台了“停课不停学”政策,全国各地纷纷采取措施,通过网络进行教学,为莘莘学子搭建学习的平台.近几年,在线教育蓬勃发展,为学生及家长带来了便利,节省了时间,提供了多样化选择,满足了不同需求,有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时,网课也存在以下现象:自觉性不强的孩子学习网课的效果大打折扣,授课教师教学管理的难度增大.基于以上现象,某学校在开学后对本校的网课学习情况进行抽样调查,抽取25名女生,25名男生进行测试和问卷调查,调查结果形成如下2×2列联表,通过数据分析,认为认真上网课与学生性别之间( )
参考数据:
A.有关的可靠性不足95%
B.有关的可靠性为99%
C.有关的可靠性为99.9%
D.无关的可靠性为5%
10.(2020广西钦州高二下期末教学质量监测)在“数学文化大讲堂”活动中,某老师对“学生性别和喜欢数学文化是否有关”做了一次调查,其中被调查的女生人数是男生人数的12,男生喜欢数学文化的人数占男生人数的16,女生喜欢数学文化的人数占女生人数的23,若有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关,则男生至少有( )
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
A.24人B.22人C.20人D.18人
11.第十二届全国人民代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议(简称两会)分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕,某高校学生会为了解该校学生对两会的关注情况,随机调查了该校200名学生,并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类.已知这200名学生中男生比女生多20人,对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数的比值为43,对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人.
(1)根据题意建立2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异;
(2)该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样,从中抽取7人,再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动,求这2人全是男生的概率.
附:
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
能力提升练

一、选择题
1.(2020广东广州执信中学高三上10月月考,)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了一个容量为100的样本进行调查,其中城镇户籍与农村户籍各50人,男性60人,女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
2.(2019山东临沂高二下期中,)某中学共有5000人,其中男生有3500人,女生有1500人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关,现在用分层抽样的方法从中收集了300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位:小时),并绘制了如图所示的频率分布直方图.
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
已知在样本数据中,有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理,我们可知( )
A.没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D.有99.5%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
二、解答题
3.(2020辽宁多校联盟高二下期末,)2018年8月16日,中共中央政治局常务委员会召开会议,听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报,中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调,疫苗关系人民群众健康,关系公共卫生安全和国家安全.因此,疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定,疫苗在上市前必须经过严格的检测,并通过临床试验获得相关数据,以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验,得到统计数据如下:
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35.
(1)求2×2列联表中的p,q,x,y的值;
(2)是否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效?
(3)在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析,然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗的情况进行核实,求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
4.(2020河南陈州高级中学高二下期中,)2018年至2020年,第六届全国文明城市创建工作开始.在2017年9月7日召开的攀枝花市创文工作推进会上,攀枝花市委明确提出“力保新一轮提名城市资格、确保2020年创建成功”的目标.为了确保创文工作的顺利进行,2020年年初某市交警大队在辖区开展“机动车不礼让行人整治行动” .下表是该市一主干路口监控设备抓拍的5个月内 “驾驶员不礼让斑马线”行为的统计数据:
(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程y^=b^x+a^;
(2)估计该路口2020年7月份“不礼让斑马线”的违章驾驶员的人数;
(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查“驾驶员不礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下2×2列联表:
据此判断是否有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.
参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nx-y-∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x;
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
参考数据:
5.(2020山东临沂高二下期中联考,)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照[0,0.2),[0.2,0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1.0]分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若0≤x<0.6,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当0≤x<0.2时,认定该户为“亟待帮助户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平分为“良好”与“不好”两种.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关;
(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于[0,0.4)的贫困户中,随机选取两户,用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X的分布列和数学期望E(X).
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
基础过关练
1.C 由题意得,a=73-21=52,b=a+2=54,故选C.
2.D 有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”的结论成立,与多少个人打鼾没有关系,只有D选项正确,故选D.
3.答案 44
解析 由题意得a+b+d+6=50,所以a+b+d=50-6=44.
4.D 回归分析是指将具有相关关系的两个变量之间的数量关系进行测定,通过建立数学表达式进行统计估计和预测的统计研究方法.独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析,并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系,但不能完全肯定这种关系.根据以上定义,可知A、B、C均错误,故选D.
5.C 对两个分类变量进行独立性检验的目的是明确两个分类变量有关系的可靠程度,故选C.
6.C 根据题图可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前,故选C.
7.B 由观测值求解的公式可知,当ad与bc差距越大时,两个变量有关系的可能性就越大.检验四个选项中所给的ad与bc的差距:选项A中,ad-bc=10-12=-2;选项B中,ad-bc=20-9=11;选项C中,ad-bc=15-12=3;选项D中,ad-bc=15-12=3.
显然选项B中|ad-bc|的值最大,故选B.
8.A 由题意知,k≈56.632>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”,故选A.
9.答案 B
信息提取 ①抽取25名女生,25名男生进行测试和问卷调查;②相关数据如2×2列联表所示.
数学建模 为了抗击新冠肺炎疫情,教育部出台了“停课不停学”政策,本题贴近学生生活实际,并以此为出发点调查男、女学生在家进行网课学习是否认真与性别的关系,从题目中很容易得到相关数据,并根据这些数据算出K2的观测值k.
解析 k=50×(5×10-20×15)225×25×20×30=253,又6.635<253<10.828,故有99%的把握认为两者有关,故选B.
10.D 设男生有x人,根据题意,可列出如下2×2列联表:
则k=32x·16x·16x-56x·13x2x·12x·12x·x=38x,若有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关,则k≥6.635,即38x≥6.635,解得x≥17.693,由于x∈Z,所以x=18,即男生至少有18人.故选D.
11.解析 (1)设男生中对两会“比较关注”和“不太关注”的人数分别为x,y,则女生中对两会“比较关注”和“不太关注”的人数分别为34x,y+5,由题意可得(x+y)+34x+y+5=200,x+y=34x+y+5+20,解得x=100,y=10,由此可得2×2列联表如下:
k=200×(100×15-75×10)2110×90×175×25≈2.597<6.635,所以没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异.
(2)由题意得男生抽取4人,女生抽取3人,
故从这7人中随机选出的2人全是男生的概率为C42C72=27.
能力提升练
一、选择题
1.C 在A中,城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%,∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关,故A中叙述正确;在B中,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,∴是否倾向选择生育二胎与性别无关,故B中叙述正确;在C中,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为60×60%=36,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为40×60%=24,倾向选择生育二胎的人员中,男性人数比女性人数多,故C中叙述错误;在D中,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10,城镇户籍人数为50×(1-40%)=30,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D中叙述正确.故选C.
2.B 由题意得,男生、女生各抽取的人数为300×35005000=210,300×15005000=90,又由频率分布直方图可知,每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75,所以在300人中每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为300×0.75=225,又有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,所以男生中每周平均体育锻炼时间超过4小时的有225-60=165(位),可得如下2×2列联表:
结合列联表可得k=300×(45×60-30×165)275×225×210×90≈4.762>3.841,所以有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”,故选B.
二、解答题
3.解析 (1)由题意,易得p=60,q=40,x=100,y=100,
(2)由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),得K2的观测值k=200×(40×40-60×60)2100×100×100×100=8<10.828,
所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效.
(3)由于在感染病毒的小白鼠中,未注射疫苗和注射疫苗的比例为3∶2,故抽取的5只小白鼠中有3只未注射疫苗,分别用a,b,c表示,有2只已注射疫苗,分别用D,E表示,从这5只小白鼠中随机抽取3只,可能的情况共有以下10种:(a,b,c),(a,b,D),(a,b,E),(a,c,D),(a,c,E),(a,D,E),(b,c,D),(b,c,E),(b,D,E),(c,D,E).其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种:(a,b,c),(a,b,D),(a,b,E),(a,c,D),(a,c,E),(b,c,D),(b,c,E),所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为710.
4.信息提取 ①分析5个月内 “驾驶员不礼让斑马线”行为的统计数据;②分析“驾驶员不礼让斑马线”行为与驾龄的2×2列联表.
数学建模 文明交通涉及生活中的每一个人,礼让行人更是每一个驾驶员必备的素质,本题以此为背景命题,符合当下各个城市的实际情况.
解析 (1)由表中数据可得x=3,y=100,
∴b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x2=1415-150055-45=-8.5,
a^=y-b^x=125.5,∴所求回归直线方程为y^=-8.5x+125.5.
(2)由(1)知,令x=7,则y^=-8.5×7+125.5=66.
(3)由表中数据得k=50×(22×12-8×8)230×20×30×20=509≈5.556>5.024,故有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.
5.解析 (1)由题意可知,绝对贫困户有(0.25+0.50+0.75)×0.2×100=30(户),可得出如下列联表:
计算可得k=100×(2×52-18×28)230×70×20×80≈4.762>3.841.
故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关.
(2)贫困指标在[0,0.4)的贫困户共有(0.25+0.5)×0.2×100=15(户),
“亟待帮助户”共有0.25×0.2×100=5(户),
依题意X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C102C152=37,P(X=1)=C101C51C152=1021,P(X=2)=C52C152=221,
则X的分布列为
故E(X)=0×37+1×1021+2×221=23.
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
会外语
不会外语
总计
男
a
b
20
女
6
d
总计
18
50
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
认真上网课
不认真上网课
总计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
总计
20
30
50
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
P(K2≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
总计
100
100
200
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
90
85
不礼让斑马线
礼让斑马线
总计
驾龄不超过1年
22
8
30
驾龄1年以上
8
12
20
总计
30
20
50
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
受教育水平良好
受教育水平不好
总计
绝对贫困户
2
相对贫困户
52
总计
100
P(K2≥k0)
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
1.C
2.D
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.B
10.D
喜欢数学
文化
不喜欢数
学文化
总计
男生
16x
56x
x
女生
13x
16x
12x
总计
12x
x
32x
比较关注
不太关注
总计
男生
100
10
110
女生
75
15
90
总计
175
25
200
1.C
2.B
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育锻炼时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
受教育水平
良好
受教育水平
不好
总计
绝对贫困户
2
28
30
相对贫困户
18
52
70
总计
20
80
100
X
0
1
2
P
37
1021
221