高二新课程数学第二章《推理与证明》章《末质量评估（新人教A版）选修1-2 试卷

章末质量评估(二)

(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法中正确的是

(　　)．

A．合情推理就是正确的推理

B．合情推理就是归纳推理

C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程

答案　D

2．有以下结论：

①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.

下列说法中正确的是

(　　)．

A．①与②的假设都错误

B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；②的假设错误

D．①的假设错误；②的假设正确

解析　用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p＋q＞2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.

答案　D

3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理

(　　)．

A．正确

B．推理形式不正确

C．两个“自然数”概念不一致

D．“两个整数”概念不一致

解析　三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．

答案　A

4．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是

(　　)．

A.＝   B.<

C.＝，且<   D.＝或<

答案　D

5．下面几种推理是合情推理的是

(　　)．

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.

A．①②   B．①③④

C．①②④   D．②④

解析　①是类比，②④是归纳推理．

答案　C

6．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：

第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为

(　　)．

A．等于n2   B．等于n3

C．等于n4   D．等于n(n＋1)

解析　前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n组数的和为n3.

答案　B

7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中的白色地面砖有

(　　)．

A．4n－2块   B．4n＋2块

C．3n＋3块   D．3n－3块

解析　法一　第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．

法二　验n＝1时，A、D选项不为6，排除．验n＝2时，C选项不为10，排除．故选B.

答案　B

8．函数f(x)是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则

   下列不等式中正确的是

(　　)．

A．f(sin α)＞f(cos β)   B．f(cos α)＜f(cos β)

C．f(cos α)＞f(sin β)   D．f(sin α)＜f(sin β)

解析　因为α、β是锐角三角形的两个内角，

所以α＋β＞，所以＞α＞－β＞0，

所以cos α＜cos＝sin β.

而cos α∈(0,1)，sin β∈(0,1)，

f(x)在[－1,1]上是减函数，

故f(cos α)＞f(sin β)．

答案　C

9．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体

   的下列性质，你认为比较恰当的是

(　　)．

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；

②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；

④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．

A．①④   B．①② 

C．①②③   D．③

解析　类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．

答案　B

10．设P＝＋＋＋，则

(　　)．

 A．0<P<1   B．1<P<2

C．2<P<3   D．3<P<4

解析　P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120，

1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.

答案　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)

11．观察下列式子：

1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可以猜想：当n≥2时，有________．

解析　左边为n项和：1＋＋＋…＋，右边为分式，易知n≥2时为.

答案　1＋＋＋…＋<

12．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝r(a

   ＋b＋c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，其四个面的面积分别为

    S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V＝________.

解析　由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．

答案　R(S1＋S2＋S3＋S4)

13．在△ABC中，D为BC的中点，则A＝(A＋A)，将命题类比到三棱

   锥中去得到一个类比的命题为_______________________________．

答案　在三棱锥A­BCD中，G为△BCD的重心，则A＝·(A＋A＋A)

14．在数列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2、S3、S4分别为__________，由此猜想Sn＝________.

解析　由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，

得2Sn＋1＝Sn＋2S1，

∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.

令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3⇒S2＝，

同理分别令n＝2，n＝3，

可求得S3＝，S4＝.

由S1＝1＝，S2＝＝，

S3＝＝，S4＝＝，

猜想Sn＝.

答案　，，　

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A<60°.

证明　假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，

∵B>A≥60°，C>A≥60°，

∴A＋B＋C>180°，与三角形内角和等于180°矛盾，

∴假设错误，原结论成立，即A<60°.

16．(10分)设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，

    归纳并猜想出结果．

解　当n＝1,2,3,4时，

计算得原式的值分别为：

S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.

观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.

归纳猜想：Sn＝.

证明　∵＝1－，＝－，…，

＝－.

∴Sn＝1－＋－＋－＋…＋－

＝1－＝.

17．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．

(1)求证：tan＝；

(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．

(1)证明　tan＝

＝；

(2)解　f(x)是以4为一个周期的周期函数．证明如下：

∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝

＝＝－，

∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，

∴f(x)是周期函数．

18．(12分)若a1>0、a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…，)

(1)求证：an＋1≠an；

(2)令a1＝，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；

(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值．

(1)证明　(采用反证法)．假设an＋1＝an，即＝an，解得an＝0,1.

从而an＝an－1＝……＝a1＝0,1，

与题设a1>0，a1≠1相矛盾，

∴假设错误．

故an＋1≠an成立．

(2)解　a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，

an＝.

(3)证明　因为＝，

又＝·q，

所以(2＋p－2q)an＋p(1－2q)＝0，

因为上式是关于变量an的恒等式，

故可解得q＝、p＝－1.

19．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.

(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

(1)证明　∵an＋1＝2an＋2n，

∴＝＋1，

∵bn＝，

∴bn＋1＝bn＋1，

即bn＋1－bn＝1，b1＝1，

故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)解　由(1)知，bn＝n，an＝n2n－1，

则Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，

2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，

两式相减，得

Sn＝n·2n－1·20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1.