第二章　章末检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1                  B.＋＝1

C.＋＝1                  D.＋＝1

2．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为(　　)

A.（，0）                    B．(0, )

C. （，0）                   D．(0, )

4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)

A．x2＋y2＝2                  B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±2)            D．x2＋y2＝4(x≠±2)

5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是(　　)

A．(±，0)                  B．(0，±)

C．(±，0)                  D．(0，±)

6．设椭圆＋＝1 (m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为(　　)

A.          B.         C.        D.

7．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)

A．2a＋2m                B．4a＋2m

C．a＋m                  D．2a＋4m

8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)

A.         B.       C．2          D.

9．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为(　　)

A．－2                     B．0

C．－2或0                 D．－2或2

10．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为(　　)

A．5            B．6             C．10          D．5

11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)

A．2或－1                B．－1

C．2                      D．1±

12．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左右焦点。若P点在双曲线上，且·＝0，|＋|等于(　　)

A．3          B．6          C．1        D．2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．

14．已知抛物线C，y2＝2Px（P>0），过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.

15．已知抛物线y2＝2Px（P>0），过点M（p，0）的直线与抛物线于A、B两点，·＝________.

16．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．

18．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．

19.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．

20.（12分）已知点A（0，－2），B（0，4），动点P（x，y）满足·＝y2－8.

（1）求动点P的轨迹方程；

(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．

21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．

第二章　圆锥曲线与方程(B)  答案

1．A　[2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，

∴2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，

b2＝a2－c2＝72，

故椭圆的方程为＋＝1.]

2．B　[点P在线段AB上时|PA|＋|PB|是定值，但点P轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]

3．D

4．D　[P在以MN为直径的圆上．]

5．A

6．B　[2a＝3＋1＝4.∴a＝2，

又∵c＝＝1，

∴离心率e＝＝.]

7．B　[∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.]

8．A

　[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.]

9．B　[由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]

10．A

11．C　[由消去y得，

k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0，

解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，

解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]

12．B　[因为·＝0，所以⊥，

则 ||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝36，

故|＋|2＝||2＋2·＋||2＝36，所以|＋|＝6.故选B.]

13.或－1

解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，

设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，

所以，离心率e＝＝＝＝－1.

14.

解析  设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，由＝3，∴cos∠BAE＝＝，

∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝.

即k＝.

15．－p2

16．2

解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，

x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.

17．解　由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半

c1＝＝，

∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，

得，解得，

故所求双曲线的方程为－y2＝1.

18．解　设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(，0)．

直线l的方程为y＝x－.                   ①

将①代入＋y2＝1，化简整理得

5x2－8x＋8＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝

＝＝.

19．解　设动点M的坐标为(x，y)．

设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，

∴tan α＝tan 2β，则tan α＝.          ①

(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan β＝，tan α＝，

将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y>0)；

(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，

tan β＝，tan α＝，

将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y<0)；

(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，

只能有α＝β＝0.

综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0 (－1<x<2)．

20．(1)解　∵A(0，－2)，B(0,4)，

∴ ＝(－x，－2－y)，＝(－x，4－y)．

则 ·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)

＝x2＋y2－2y－8.

∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y.

(2)证明　将y＝x＋2代入x2＝2y，

得x2＝2(x＋2)，

即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0，

设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.

而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，

∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)

＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，

∴kOC·kOD＝·＝＝－1，

∴OC⊥OD.

21．解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，

所以p＝2.

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，

其准线方程为x＝－1.

(2)假设存在符合题意的直线l，

其方程为y＝－2x＋t.

由得y2＋2y－2t＝0.

因为直线l与抛物线C有公共点，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

另一方面，由直线OA到l的距离d＝

可得＝，解得t＝±1.

因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

22．解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．

抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，

则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.

由e＝＝＝.

得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为

y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，

得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

又 ＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，

＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．

∵ ＝m＝m， ＝n，

∴m＝，n＝，

∴m＋n＝，

又2x1x2－2(x1＋x2)＝

＝－，

4－2(x1＋x2)＋x1x2

＝4－＋＝，

∴m＋n＝10.