2021学年第二章 圆锥曲线与方程2.3抛物线一课一练

§2.3  抛物线

2.3.1　抛物线及其标准方程

课时目标　1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．

2．抛物线的标准方程

(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．

(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．

(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．

(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．

(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．

一、选择题

1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)

A.          B.              C．|a|          D．－

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为(　　)

A．y2＝8x              B．y2＝4x

C．y2＝2x              D．y2＝±8x

3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)

A．a＋               B．a－

C．a＋p               D．a－p

4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有(　　)

A．0条        B．1条          C．2条         D．3条

5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1              B．x＝－1

C．x＝2              D．x＝－2

6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)

A．           B．           C．               D．

二、填空题

7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．

8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．

9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．

三、解答题

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．

11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．

能力提升

12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)

A．          B．1          C．2          D．4

13．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．

1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．

2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．

§2.3　抛物线

2．3.1　抛物线及其标准方程

答案

知识梳理

1．相等　焦点　准线

2．(1)标准　(2)(，0)　x＝－　向右

(3)(－，0)　x＝　向左

(4)(0，)　y＝－　向上

(5)(0，－)　y＝　向下

作业设计

1．B　[因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.]

2．D　[由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]

3．B　[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]

4．C　[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]

5．B　[∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得

y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]

6．A　[如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，

得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，

则x1＋x2＝.

因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.

不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，

可得k2＝，

所以x1＝2.

＝＝＝

＝＝.]

7．y＝3

解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.

8．y＝4x2

9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析　由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，

又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，·＝0，

即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，

也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.

∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，

由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.

10．解　设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，

则焦点F，由题意，

得

解得或

故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.

抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.

11．解　设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)．               ①

直线方程变形为y＝2x＋1，                              ②

设抛物线截直线所得弦为AB.

②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，

则|AB|＝ ＝.

解得a＝12或a＝－4.

∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.

12．C　[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．

方法一　由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.

∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，

∴3＋＝4，∴p＝2.

方法二　作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，

所以－＝－1，p＝2.]

13．解　设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式

，

∴|PM|＝|x|＋3.

当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，

∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，

∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x.

当x<0时，|PM|＝3－x，

动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，

当x＝0时，不符合题意，舍去．

∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．