第二章　章末检测(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)

A.          B.          C．2         D．4

2．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1               B.＋＝1

C.＋＝1               D.＋＝1

3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1              B.－＝1

C.－＝1              D.－＝1

4．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是(　　)

A．1         B．a2         C．b2         D．c2

5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1                 B.－＝1

C.－＝1                 D.－＝1

6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)

A．(，2)                B．(，)

C．(2,5)                   D．(2，)

7．过点M(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线的条数是(　　)

A．1           B．2           C．3           D．0

8．设F为抛物线y2＝4x的焦距，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则|＋||＋||等于(　　)

A．9            B．6          C．4           D．3

9．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．(1,2]                         B．(1,2)

C．[2，＋∞)                    D．(2，＋∞)

10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(　　)

A．(4,0)                        B．(2,0)

C．(0,2)                        D．(0，－2)

11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　　)

A.（，）                    B．(1,1)

C. （，）                   D．(2,4)

12．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是(　　)

A.（，π）                  B.（ ，π）

C.（ ，π）                  D.（ ，）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

15．设椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．

16．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：

①曲线C不可能表示椭圆；

②当1<k<4时，曲线C表示椭圆；

③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<.

其中所有正确命题的序号为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．

18．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．

20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

(1)椭圆的方程；

(2)△PF1F2的面积．

21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．

22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．

(1)写出C的方程；

（2）若⊥，求k的值．

第二章　圆锥曲线与方程(A)  答案

1．A　[由题意可得2＝2×2，解得m＝.]

2．B　[∵y2＝8x的焦点为(2,0)，

∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.

又e＝＝，∴m＝4.

∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.

∴椭圆方程为＋＝1.]

3．B　[抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，

故双曲线中c＝6.                                            ①

由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝，      ②

且c2＝a2＋b2.③

由①②③解得a2＝9，b2＝27.

故双曲线的方程为－＝1，故选B.]

4．D　[由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]，

|PF1|＋|PF2|＝2a，

所以|PF1|·|PF2|≤2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．

|PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)

＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2

≥－c2＋a2＝b2，

所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.]

5．B　[由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，

且双曲线的标准方程为－＝1.

根据题意2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c.

又a2＋b2＝c2，且a＝2，

∴解上述两个方程，得b2＝4.

∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]

6．B　[∵双曲线方程为－＝1，

∴c＝ .

∴e＝＝ ＝ .

又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.

∴1<2<4.∴<e<.]

7．B

8．B　[设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，

∵ ＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.

又由抛物线定义知||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]

9．C　[

如图所示，要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2＝＝≥4，∴e≥2.]

10．B　[根据抛物线的定义可得．]

11．B　[设与直线2x－y＝4平行且与抛物线相切的直线为2x－y＋c＝0 (c≠－4)，

     2x－y＋c＝0

由

    y＝x2

得x2－2x－c＝0.                          ①

由Δ＝4＋4c＝0得c＝－1，代入①式得x＝1.

∴y＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]

12．D　[椭圆方程化为＋＝1.

∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.

又∵0≤α<2π，∴<α<.]

13.

解析　由已知得∠AF1F2＝30°，故cos 30°＝，从而e＝.

14．2x－y－15＝0

解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x－4y＝4，x－4y＝4，

两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

因为线段AB的中点为P(8,1)，

所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.

所以＝＝2.

所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，

代入x2－4y2＝4满足Δ>0.

即2x－y－15＝0.

15.

解析　由题意，得＝3⇒＋c＝3c－b⇒b＝c，

因此e＝＝ ＝ ＝ ＝.

16．③④

解析　①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证可得③④正确．

17．解　设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．

∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.

∵M是线段PP′的中点，

     x0＝x，            x0＝x，

∴  y0＝，        把  y0＝，

代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.

∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.

18．解　设双曲线方程为－＝1.

由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

∴对于双曲线C：c＝2.

又y＝x为双曲线C的一条渐近线，

∴＝，解得a2＝1，b2＝3，

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

19．解　将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，

由，得k>－1且k≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意得：x1＋x2＝＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.

解得：k＝2或k＝－1(舍去)

由弦长公式得：

|AB|＝·＝×＝2.

20．解　(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，

则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，

解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.

因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.

解得a2＝45或a2＝5.

又因为a>c，所以a2＝5舍去．

故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，       ①

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，           ②

①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，

所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.

21．解　焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

若AB⊥Ox，则|AB|＝2p<p，不合题意．

所以直线AB的斜率存在，设为k，

则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.

由消去x，

整理得ky2－2py－kp2＝0.

由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.

∴|AB|＝

＝

＝ ·

＝2p(1＋)＝p.

解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

22．解　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，

故曲线C的方程为x2＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.

其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．

故x1＋x2＝－，x1x2＝－.

⊥，即x1x2＋y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，

化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.