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数学人教版新课标A第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课时练习
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这是一份数学人教版新课标A第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课时练习，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教新课标A版选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1.（2021高三上·洛南月考）椭圆 x2m2+y2m2−1=1 （ m>1 ）的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A ， B 两点，且 S△ABO=83 ，求椭圆的离心率为（ ）
A. 13 B. 12 C. 22 D. 16
2.（2019高二下·嘉兴期中）双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为是( )
A. y=±3x B. y=±32x C. y=±33x D. y=±32x
3.（2020高二上·黄陵期末）已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点 F1 ，过点 F1 作倾斜角为 300 的直线与圆 x2+y2=b2 相交的弦长为 3b ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 34 D. 32
4.（2020·厦门模拟）已知双曲线 x2a2−y2b2=1 的右支与抛物线 x2=2py 相交于 A,B 两点，记点 A 到抛物线焦点的距离为 d1 ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 d2 ，点 B 到抛物线焦点的距离为 d3 ，且 d1,d2,d3 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±22x B. y=±2x C. y=±3x D. y=±33x
5.（2021·湖北模拟）设椭圆 x24+y23=1 的一个焦点为 F ，则对于椭圆上两动点 A ， B ， △ABF 周长的最大值为（ ）
A. 4+5 B. 6 C. 25+2 D. 8
6.（2021·雅安模拟）函数 y=a3−x(a>0,a≠1) 的图象恒过定点A，若点A在双曲线 x2m−y2n=1(m>0,n>0) 上，则m-n的最大值为 （ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
7.（2020·晋城模拟）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的两个顶点分别为 A1(−a,0) ， A2(a,0) ， P,Q 的坐标分别为 (0,b) ， (0,−b) ，且四边形 A1PA2Q 的面积为 22 ，四边形 A1PA2Q 内切圆的周长为 263π ，则 C 的方程为（ ）
A. x22−y2=1 B. x2−y22=1 或 x22−y2=1
C. x24−y22=1 D. x2−y22=1 或 x24−y22=1
8.（2019高二下·大庆期末）“ a=3, b=23 ”是双曲线 x2a2−y2b2=−1(a>0,b>0) 的离心率为 72 （ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 即不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
9.（2019高三上·静海月考）过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线与双曲线 x2−y2m=1(m>0) 的一条渐近线平行，并交抛物线于 A,B 两点，若 |AF|>BF| 且 |AF|=3 ，则 m 的值为（ ）
A. 8 B. 22 C. 2 D. 4
10.（2019高二上·大庆月考）下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3 ， 则（ ）
A. e1＞e2＞e3 B. e1＜e2＜e3 C. e1=e3＜e2 D. e1=e3＞e2
11.（2020高三上·泸县期末）椭圆与双曲线共焦点 F1 、 F2 ，它们的交点 P 对两公共焦点 F1 、 F2 的张角为 ∠F1PF2=2θ ，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 、 e2 ，则（ ）
A. cos2θe12+sin2θe22=1 B. sin2θe12+cos2θe22=1
C. e12cos2θ+e22sin2θ=1 D. e12sin2θ+e22cos2θ=1
二、填空题
12.（2020高二下·宣城期末）双曲线 C:x2a2−y23=1(a>0) 的一条渐近线的倾斜角为60°， F1 、 F2 为左、右焦点，若直线 x=2 与双曲线 C 交于点 P ，则 △PF1F2 的周长为 .
13.（2019高二上·漳平月考）已知离心率为 e1 的椭圆 C1 ： x2a12+y2b12=1(a1>b1>0) 和离心率为 e2 的双曲线 C2 ： x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0) 有公共的焦点 F1 , F2 ,P是它们在第一象限的交点,且 ∠F1PF2=60° ,则 e12+e22 的最小值为________.
14.（2020高三上·浙江月考）抛物线 y=−4x2 的焦点在直线 l ： 2x+my+1=0 上，则 m= ________，若焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 l 平行，则双曲线的离心率为________.
15.（2021·辽宁模拟）汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线 C .在平面直角坐标系中，设抛物线 C:y2=4x ，抛物线的准线记为 l ，点 M(m,4) ，动点P在抛物线上运动，若点P到准线 l 的距离等于 |PM| ，且满足此条件的点P有且只有一个，则 m=
16.（2019高二上·大兴期中）椭圆 x2+4y2=16 上点的纵坐标的取值范围是 .
17.（2019高二上·大庆月考）已知双曲线过点 (23,2) ，且渐近线方程为 y=±22x ，则该双曲线的标准方程为________．
18.（2021高二下·普宁期末）已知点P是地物线 y=14x2 上的一个动点，则点P到直线 l1:4x−3y−12=0 和 l2:y+1=0 的距离之和的最小值为 .
19.（2020高二上·常德月考）长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2 ， BC=1 ， AA1=2 ， P 为该长方体侧面 CC1D1D 内(含边界)的动点，且满足 tan∠PAD+tan∠PBC=22 ，则四棱锥 P−ABCD 体积的取值范围是 .
20.（2019高二下·上海月考）双曲线 x2−y2=2 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 Pn(xn,yn) （ n∈N∗ ）在双曲线右支上，且满足 |Pn+1F2|=|PnF1| ， P1F2⊥F1F2 ，则 |P2019F1| 的值为________
三、解答题
21.（2021高二下·资阳期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线 E ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 离心率为 2 ，且点 (2,2) 在双曲线 E 上，求 E 的方程；
（2）双曲线 C 实轴长为2，且双曲线 C 与椭圆 x28+y24=1 的焦点相同，求双曲线 C 的标准方程．
22.（2019高二上·长春月考）已知双曲线 x2−y22=1 ，问：过点 B(1,1) 能否作直线 l ，使 l 与双曲线交于 M,N 两点，并且点 B 为线段 MN 的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
23.（2019高二下·金山月考）已知抛物线 y2=4x ， A(a,0) 是 x 轴上一点， P(x,y) 是抛物线上任意一点.
（1）若 a=1 ，求 |PA| 的最小值；
（2）已知 O 为坐标原点，若 |PA| 的最小值为 |OA| ，求实数 a 的取值范围.
24.（2019·南昌模拟）已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，点 M 在 C 的长轴上运动，过点 M 且斜率大于0的直线 l 与 C 交于 P,Q 两点，与 y 轴交于 N 点.当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 π6 时， N,P 重合， |PM|=2 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）当 N,P,Q,M 均不重合时，记 NP=λNQ ， MP=μMQ ，若 λμ=1 ，求证：直线 l 的斜率为定值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】由椭圆方程，可知： a2=m2,b2=m2−1,c2=a2−b2=1
∴F1(−1,0),F2(1,0)过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A ， B 两点，
因此将 x=1 代入椭圆，可得 y2=(m2−1)2m2，m>1∴y=±m2−1m
∴A(1,m2−1m),B(1,−m2−1m)∴S△ABO=12|OF2||AB|=12×1×2×m2−1m=83
∴3m2−8m−3=0∴(3m+1)(m−3）=0∴m=3 （舍负）
∴a=3,c=1,e=ca=13
故答案为：A
2.【答案】 A
【解析】 x2−y23=1 ⇒a=1,b=3 ，所以双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为 y=±3x ，
故答案为：A。
3.【答案】 B
【解析】过点 F1 倾斜角为 300 的直线方程为： y=33(x+c) ，即 x−3y+c=0 ，
则圆心 (0,0) 到直线的距离： d=|c|1+3=c2 ，
由弦长公式可得： 2b2−c24=3b ，
整理可得： b2=c2,∴a2−c2=c2,a2=2c2
则： e2=12,e=22 .
故答案为：B.
4.【答案】 A
【解析】解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，抛物线焦点为 F ，
由已知有 AF+BF=2p ，即 y1+y2=p ，
由 {x12a2=1+y12b2x22a2=1+y22b2 ，两式相减得 x12−x22a2=(y1−y2)(y1+y2)b2 ，
即 2py1−2py2a2=(y1−y2)(y1+y2)b2 ，故 b2a2=12 ，
∴渐近线方程为 y=±22x ，
故答案为：A ．
5.【答案】 D
【解析】设 F1 为椭圆的另外一个焦点
则由椭圆的定义可得 AF+BF+AB=2a−AF1+2a−BF1+AB=4a+AB−BF1−AF1=8+AB−BF1−AF1 当 A,B,F1 三点共线时， AB−BF1−AF1=0
当 A,B,F1 三点不共线时， AB−BF1−AF1<0
所以当 A,B,F1 三点共线时， △ABF 的周长取得最大值8
故答案为：D
6.【答案】 B
【解析】由y=a3-x.a>0,且a≠1,图象恒过定点A（3,1), 又点A在曲线上，所以有9m−1n=1,又因为
m>0,n>0,则m−n=(m−n)(9m−1n)=10−2(9nm+mn)≤10−29=4
当且仅当9nm=mn，m=6,n=2时，等号成立，故选B。
7.【答案】 B
【解析】解：因为 A1(−a,0) ， A2(a,0) ， P,Q 的坐标分别为 (0,b) ， (0,−b) ，
∴A1A2=2a ， PQ=2b ， ∴A1P=A2Q=A1Q=A2P=a2+b2=c
又因为四边形 A1PA2Q 的面积为 22 ，所以 4×12×a×b=22 ，得 ab=2 ，
记四边形 A1PA2Q 内切圆半径为 r ，则 2πr=263π ，得 r=63 ，
所以 2cr=22 ，所以 c=3 ，
又因为 c2=a2+b2=3 ，得 {a=2b=1 或 {a=1b=2 ，
所以 C 的方程为 x22−y2=1 或 x2−y22=1 .
故答案为： B
8.【答案】 D
【解析】将双曲线 x2a2−y2b2=−1(a>0,b>0) 标准化 y2b2−x2a2=1(a>0,b>0) ，
则根据离心率的定义可知本题中应有 e=cb=72,a2+b2=c2 ,
则可解得 a2b2=34 ,
因为 a=3, b=23 可以推出 a2b2=34 ;
反之 a2b2=34 成立不能得出 a=3, b=23 .
故答案为： D .
9.【答案】 A
【解析】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（ 1 ，0），准线方程为x =−1 ，
双曲线x2 −y2m= 1的一条渐近线方程为y＝ m x，
不妨设直线AB为y＝ m （x −1 ），设A（x0 ， y0），则|AF|＝x0 +1=3 ，
∴x0＝ 2 ，又∵ y02=4x0 且|AF|＞|BF|，∴y0>0，∴y0＝2 x0=22 ，
代入y＝ m （x −1 ），
解得m＝8，
故答案为：A．
10.【答案】 D
【解析】在①中，连接 MF2 ，设 F1F2=2MF1=2c
∵∠MF1F2=π3 ∴MF2=3c ∴MF2−MF1=2a=3c−c=(3−1)c
∴e1=ca=23−1=3+1
在②中，连接 MF2 ， F1F2 ，设 F1F2=2c
∴(2MF1)2+(2MF1)2=F1F22=4c2 ，解得： MF1=22c
又 ∵∠MF1F2=π4
∴MF22=MF12+F1F22−2MF1⋅F1F2cos∠MF1F2 ，解得： MF2=102c
∴MF2−MF1=2a=102c−22c=10−22c
∴e2=ca=410−2=10+22
在③中，连接 MF2 ， F1F2 ，设 F1F2=2MF1=2c
∵∠MF1F2=π3 ∴MF2=3c ∴MF2−MF1=2a=3c−c=(3−1)c
∴e3=ca=23−1=3+1
∴e1=e3>e2
故答案为： D
11.【答案】 B
【解析】设椭圆的长轴长为 2a1 ，双曲线的实轴长为 2a2 ，并设 |PF1|=m ， |PF2|=n ，焦距为 2c ，在 ΔPF1F2 中，由余弦定理得 m2+n2−2mncos2θ=(2c)2 ，
由椭圆和双曲线的定义得 {m+n=2a1m−n=2a2 ，解得 {m=a1+a2n=a1−a2 .
代入 m2+n2−2mncos2θ=(2c)2 ，
得 (a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos2θ=4c2 ，
即 a12+a22+(a22−a12)cos2θ=2c2 ， ∴a12(1−cos2θ)+a22(1+cos2θ)=2c2 ，
即 2a12sin2θ+2a22cos2θ=2c2 ， ∴a12sin2θc2+a22cos2θc2=1 ，因此， sin2θe12+cos2θe22=1 .
故答案为：B.
二、填空题
12.【答案】 12
【解析】由于双曲线 C:x2a2−y23=1(a>0) 的一条渐近线的倾斜角为 60∘ ，则 3a=tan60∘=3 ，
可得 a=1 ，所以，双曲线 C 的焦距为 |F1F2|=2a2+3=4 ，
设点 P 为第一象限内的点，联立 {x=2x2−y23=1 ， ∵y>0 ，解得 {x=2y=3 ，
易知 F1(−2,0) 、 F2(2,0) ， ∴|PF1|=(2+2)2+32=5 ， |PF2|=(2−2)2+32=3 ，
因此， △PF1F2 的周长为 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=5+3+4=12 .
故答案为：12.
13.【答案】 2+32
【解析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a1 ，双曲线实轴长为 2a2 ，
P 在双曲线的右支上，
由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|=2a1 ，
由双曲线的定义 |PF1|−|PF2|=2a2 ，
所以有 |PF1|=a1+a2 ， |PF2|=a1−a2 ，
因为 ∠F1PF2=60∘ ，
由余弦定理可得 (a1+a2)2+(a1−a2)2−(a1+a2)(a1−a2)=4c2 ，
整理得 a12+3a22=4c2 ，
所以
e12+e22=c2a12+c2a22=a12+3a224a12+a12+3a224a22=1+34⋅a22a12+14⋅a12a22≥1+23a224a12⋅a124a22=1+32=2+32 ，当且仅当 3a22a12=a12a22 时取等号，
故答案是： 2+32 .
14.【答案】 16；65
【解析】解：①：抛物线方程为 x2=−14y ，焦点坐标为 (0,−116) ，在直线 2x+my+1=0 上，则有 m=16 ；
②：直线 l 为 2x+16y+1=0 ，斜率为 k=−18 ，因为双曲线焦点在 y 轴上，所以双曲线渐近线方程为： y=±abx ，即 ab=18 ，则有 ba=8 ，所以离心率为： e=1+(ba)2=65 .
故答案为：16； 65 .
15.【答案】 -1
【解析】抛物线 C:y2=4x ，则准线 l 的方程为 x=−1 ,焦点 F(1,0) ，设 P(y024,y0) ，
由点 P 到准线 l 的距离等于 |PM| ，则 y024+1=(y024−m)2+(y0−4)2 ，
所以 (y024)2+y022+1=(y024)2−2m×y024+m2+y02−8y0+16 ，
化简可得： 1−m2y02−8y0+15+m2=0 ，
由满足此条件的点P有且只有一个，所以 Δ=(−8)2−4×1−m2×(15+m2)=0 ，
即 m3−m2+15m+17=0 ，则 (m+1)(m2−2m+17)=0,
由 m2−2m+17=(m−1)2+16>0 ，所以 m=−1。
故答案为：-1。
16.【答案】 [-2,2]
【解析】椭圆 x2+4y2=16 的标准方程为 x216+y24=1 ，
从而得到点的纵坐标的取值范围是[-2,2].
故答案为：[-2,2].
17.【答案】 x24−y22=1
【解析】当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 x2a2−y2b2=1 ， ∴12a2−4b2=1 ，此时渐近线方程为 y=±bax=±22x ， ∴a2=4 ， b2=2 ， ∴ 双曲线方程为 x24−y22=1
当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 y2a2−x2b2=1 ， ∴4a2−12b2=1 ，此时渐近线方程为 y=±abx=±22x ， ∴a2<0 ，舍去
故双曲线的标准方程为 x24−y22=1
18.【答案】 3
【解析】抛物线 y=14x2 ,即x2=4y的焦点坐标为 (0,1),准线方程l2:y+1=0.
由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,
所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值, d=|0−3−12|16+9=3 .
故答案为:3.
19.【答案】 [23,23]
【解析】如图，画出长方体 ABCD−A1B1C1D1 ，
因为 P 为该长方体侧面 CC1D1D 内(含边界)的动点，
所以 AD⊥PD ， BC⊥PC ，
因为 tan∠PAD+tan∠PBC=22 ， BC=AD=1
所以 PDAD+PCCB=22 ， PD+PC=22 ，
故点 P 的轨迹为在侧面 CC1D1D 内（含边界）、以 D 点和 C 点为焦点的椭圆，
则 2a=22 ， c=1 ， b=a2−c2=1 ，椭圆方程为 x22+y2=1 ，
以 DC 为 x 轴、 DC 中点为原点构建直角坐标系，并绘出椭圆图像，如图：
当点 P 在椭圆上顶点时，点 P 到底面 ABCD 的距离 ℎ 最大， ℎmax=1 ；
当点 P 在椭圆与棱 DD1 或棱 CC1 交点时，点 P 到底面 ABCD 的距离 ℎ 最小，
令 x=1 ，解得 y=22 ， ℎmin=22 ，
故四棱锥 P−ABCD 体积的最大值 Vmax=13×2×1×1=23 ，
四棱锥 P−ABCD 体积的最小值 Vmin=13×2×1×22=23 ，
四棱锥 P−ABCD 体积的取值范围是 [23,23] ，
故答案为: [23,23] .
20.【答案】 40392
【解析】由双曲线 x2−y2=2 可得, x22−y22=1 ,
所以 a2=b2=2 ,所以 c2=a2+b2=2+2=4, 所以 c=2 .
所以 F2(2,0) ,因为 P1F2⊥F1F2 ,所以 P1(2,2) ,
所以 |P1F1|=42+2=32 ,
因为点 Pn(xn,yn) （ n∈N∗ ）在双曲线右支上,
所以根据双曲线的定义可得, |Pn+1F1|−|Pn+1F2|=2a=22 .
又 |Pn+1F2|=|PnF1| ,所以 |Pn+1F1|−|PnF1|=22 ,
所以数列 {|PnF1|} 是首项为 |P1F1|=32 ,公差为 22 的等差数列,
所以 |P2019F1| =|P1F1|+(2019−1)×22 =32+40362=40392 .
故答案为: 40392 .
三、解答题
21.【答案】 （1）由 e=2 ，得 ca=2 ，即 c=2a ，
又 b2=c2−a2=(2a)2−a2=a2 ，即 a=b ，
双曲线 E 的方程即为 x2a2−y2a2=1 ，点 (2,2) 坐标代入得 4a2−2a2=1 ，解得 a2=2 ．
所以，双曲线 E 的方程为 x22−y22=1 ．
（2）椭圆 x28+y24=1 的焦点为 (±2,0) ，
设双曲线 C 的方程为 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) ，
所以 2a=2 ，且 a2+b2=4 ，
所以 a=1 ， b2=3
所以，双曲线 C 的方程为 x2−y23=1 ．
22.【答案】 解：设过点 B(1,1) 的直线方程为 y=k(x−1)+1 或 x=1
①设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
当 k 存在时联立 {y=k(x−1)+1x2−y22=1 ，得 (2−k2)x2+(2k2−2k)x−k2+2k−3=0
因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 Δ=(2k2−2k)2−4(2−k2)(−k2+2k−3)>0 ，
∴k<32 ，且 x1+x2=2(k−k2)2−k2
又 B(1,1) 为线段 MN 的中点， ∴x1+x2=2 即 k−k22−k2=1
解得 k=2 ，与 k<32 矛盾，
故过点 B(1,1) 与双曲线交于两点 M,N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在.
②当 x=1 时，直线经过点 B 但不与双曲线交于 M,N 两点．
综上，符合条件的直线 l 不存在
23.【答案】 （1）解：当a=1时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时 |PA| =P到准线的距离，
∴当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离最小为1，即 |PA| 的最小值为1
（2）解： |PA|=(x−a)2+y2=x2−2ax+1+4x =(x+2−a)2+4a−a2−3
|PA| 的最小值为 |OA| ，
即当 x=0 时 |PA| 取得最小值，
所以 a−2≤0 ，即 a≤2 .
24.【答案】 （1）解：因为当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 π6 时， N ， P 重合， |PM|=2 ，
所以 a=|PM|=2
故 bc=tanπ6=33 ，
因为 a2=b2+c2 ，
因此 c=3 ， b=1 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 .
（2）解：设 l:x=ty+m(m≠0) ，
所以 M(m,0) ， N(0,−mt) ，所以 kl=1t .
因为斜率大于0，
所以 t>0 ，
设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ，
则 NP=(x1,y1+mt) ， NQ=(x2,y2+mt) ，
由 NP=λNQ 得， x1=λx2 ，①
同理可得 y1=μy2 ，②
①②两式相乘得， x1y1=λμx2y2 ，
又 λμ=1 ，所以 x1y1=x2y2 ，
所以 (ty1+m)y1=(ty2+m)y2 ，
即 t(y12−y22)=m(y2−y1) ，
即 (y2−y1)[m+t(y1+y2)]=0
由题意 kl>0 ，知 y1−y2≠0 ，
所以 m+t(y1+y2)=0 .
联立方程组 {x=ty+mx24+y2=1 ，
得 (t2+4)y2+2tmy+m2−4=0 ，
依题意， y1+y2=−2tmt2+4
所以 m−2t2mt2+4=0 ，又 m≠0 ，
所以 t2=4 ，
因为 t>0 ，
故得 t=2 ，
所以 kl=1t=12 ，即直线 l 的斜率为 12 .
人教新课标A版选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1.（2021高三上·洛南月考）椭圆 x2m2+y2m2−1=1 （ m>1 ）的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A ， B 两点，且 S△ABO=83 ，求椭圆的离心率为（ ）
A. 13 B. 12 C. 22 D. 16
2.（2019高二下·嘉兴期中）双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为是( )
A. y=±3x B. y=±32x C. y=±33x D. y=±32x
3.（2020高二上·黄陵期末）已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点 F1 ，过点 F1 作倾斜角为 300 的直线与圆 x2+y2=b2 相交的弦长为 3b ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 34 D. 32
4.（2020·厦门模拟）已知双曲线 x2a2−y2b2=1 的右支与抛物线 x2=2py 相交于 A,B 两点，记点 A 到抛物线焦点的距离为 d1 ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 d2 ，点 B 到抛物线焦点的距离为 d3 ，且 d1,d2,d3 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±22x B. y=±2x C. y=±3x D. y=±33x
5.（2021·湖北模拟）设椭圆 x24+y23=1 的一个焦点为 F ，则对于椭圆上两动点 A ， B ， △ABF 周长的最大值为（ ）
A. 4+5 B. 6 C. 25+2 D. 8
6.（2021·雅安模拟）函数 y=a3−x(a>0,a≠1) 的图象恒过定点A，若点A在双曲线 x2m−y2n=1(m>0,n>0) 上，则m-n的最大值为 （ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
7.（2020·晋城模拟）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的两个顶点分别为 A1(−a,0) ， A2(a,0) ， P,Q 的坐标分别为 (0,b) ， (0,−b) ，且四边形 A1PA2Q 的面积为 22 ，四边形 A1PA2Q 内切圆的周长为 263π ，则 C 的方程为（ ）
A. x22−y2=1 B. x2−y22=1 或 x22−y2=1
C. x24−y22=1 D. x2−y22=1 或 x24−y22=1
8.（2019高二下·大庆期末）“ a=3, b=23 ”是双曲线 x2a2−y2b2=−1(a>0,b>0) 的离心率为 72 （ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 即不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
9.（2019高三上·静海月考）过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线与双曲线 x2−y2m=1(m>0) 的一条渐近线平行，并交抛物线于 A,B 两点，若 |AF|>BF| 且 |AF|=3 ，则 m 的值为（ ）
A. 8 B. 22 C. 2 D. 4
10.（2019高二上·大庆月考）下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3 ， 则（ ）
A. e1＞e2＞e3 B. e1＜e2＜e3 C. e1=e3＜e2 D. e1=e3＞e2
11.（2020高三上·泸县期末）椭圆与双曲线共焦点 F1 、 F2 ，它们的交点 P 对两公共焦点 F1 、 F2 的张角为 ∠F1PF2=2θ ，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 、 e2 ，则（ ）
A. cos2θe12+sin2θe22=1 B. sin2θe12+cos2θe22=1
C. e12cos2θ+e22sin2θ=1 D. e12sin2θ+e22cos2θ=1
二、填空题
12.（2020高二下·宣城期末）双曲线 C:x2a2−y23=1(a>0) 的一条渐近线的倾斜角为60°， F1 、 F2 为左、右焦点，若直线 x=2 与双曲线 C 交于点 P ，则 △PF1F2 的周长为 .
13.（2019高二上·漳平月考）已知离心率为 e1 的椭圆 C1 ： x2a12+y2b12=1(a1>b1>0) 和离心率为 e2 的双曲线 C2 ： x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0) 有公共的焦点 F1 , F2 ,P是它们在第一象限的交点,且 ∠F1PF2=60° ,则 e12+e22 的最小值为________.
14.（2020高三上·浙江月考）抛物线 y=−4x2 的焦点在直线 l ： 2x+my+1=0 上，则 m= ________，若焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 l 平行，则双曲线的离心率为________.
15.（2021·辽宁模拟）汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线 C .在平面直角坐标系中，设抛物线 C:y2=4x ，抛物线的准线记为 l ，点 M(m,4) ，动点P在抛物线上运动，若点P到准线 l 的距离等于 |PM| ，且满足此条件的点P有且只有一个，则 m=
16.（2019高二上·大兴期中）椭圆 x2+4y2=16 上点的纵坐标的取值范围是 .
17.（2019高二上·大庆月考）已知双曲线过点 (23,2) ，且渐近线方程为 y=±22x ，则该双曲线的标准方程为________．
18.（2021高二下·普宁期末）已知点P是地物线 y=14x2 上的一个动点，则点P到直线 l1:4x−3y−12=0 和 l2:y+1=0 的距离之和的最小值为 .
19.（2020高二上·常德月考）长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2 ， BC=1 ， AA1=2 ， P 为该长方体侧面 CC1D1D 内(含边界)的动点，且满足 tan∠PAD+tan∠PBC=22 ，则四棱锥 P−ABCD 体积的取值范围是 .
20.（2019高二下·上海月考）双曲线 x2−y2=2 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 Pn(xn,yn) （ n∈N∗ ）在双曲线右支上，且满足 |Pn+1F2|=|PnF1| ， P1F2⊥F1F2 ，则 |P2019F1| 的值为________
三、解答题
21.（2021高二下·资阳期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线 E ： x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 离心率为 2 ，且点 (2,2) 在双曲线 E 上，求 E 的方程；
（2）双曲线 C 实轴长为2，且双曲线 C 与椭圆 x28+y24=1 的焦点相同，求双曲线 C 的标准方程．
22.（2019高二上·长春月考）已知双曲线 x2−y22=1 ，问：过点 B(1,1) 能否作直线 l ，使 l 与双曲线交于 M,N 两点，并且点 B 为线段 MN 的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
23.（2019高二下·金山月考）已知抛物线 y2=4x ， A(a,0) 是 x 轴上一点， P(x,y) 是抛物线上任意一点.
（1）若 a=1 ，求 |PA| 的最小值；
（2）已知 O 为坐标原点，若 |PA| 的最小值为 |OA| ，求实数 a 的取值范围.
24.（2019·南昌模拟）已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，点 M 在 C 的长轴上运动，过点 M 且斜率大于0的直线 l 与 C 交于 P,Q 两点，与 y 轴交于 N 点.当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 π6 时， N,P 重合， |PM|=2 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）当 N,P,Q,M 均不重合时，记 NP=λNQ ， MP=μMQ ，若 λμ=1 ，求证：直线 l 的斜率为定值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】由椭圆方程，可知： a2=m2,b2=m2−1,c2=a2−b2=1
∴F1(−1,0),F2(1,0)过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A ， B 两点，
因此将 x=1 代入椭圆，可得 y2=(m2−1)2m2，m>1∴y=±m2−1m
∴A(1,m2−1m),B(1,−m2−1m)∴S△ABO=12|OF2||AB|=12×1×2×m2−1m=83
∴3m2−8m−3=0∴(3m+1)(m−3）=0∴m=3 （舍负）
∴a=3,c=1,e=ca=13
故答案为：A
2.【答案】 A
【解析】 x2−y23=1 ⇒a=1,b=3 ，所以双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为 y=±3x ，
故答案为：A。
3.【答案】 B
【解析】过点 F1 倾斜角为 300 的直线方程为： y=33(x+c) ，即 x−3y+c=0 ，
则圆心 (0,0) 到直线的距离： d=|c|1+3=c2 ，
由弦长公式可得： 2b2−c24=3b ，
整理可得： b2=c2,∴a2−c2=c2,a2=2c2
则： e2=12,e=22 .
故答案为：B.
4.【答案】 A
【解析】解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，抛物线焦点为 F ，
由已知有 AF+BF=2p ，即 y1+y2=p ，
由 {x12a2=1+y12b2x22a2=1+y22b2 ，两式相减得 x12−x22a2=(y1−y2)(y1+y2)b2 ，
即 2py1−2py2a2=(y1−y2)(y1+y2)b2 ，故 b2a2=12 ，
∴渐近线方程为 y=±22x ，
故答案为：A ．
5.【答案】 D
【解析】设 F1 为椭圆的另外一个焦点
则由椭圆的定义可得 AF+BF+AB=2a−AF1+2a−BF1+AB=4a+AB−BF1−AF1=8+AB−BF1−AF1 当 A,B,F1 三点共线时， AB−BF1−AF1=0
当 A,B,F1 三点不共线时， AB−BF1−AF1<0
所以当 A,B,F1 三点共线时， △ABF 的周长取得最大值8
故答案为：D
6.【答案】 B
【解析】由y=a3-x.a>0,且a≠1,图象恒过定点A（3,1), 又点A在曲线上，所以有9m−1n=1,又因为
m>0,n>0,则m−n=(m−n)(9m−1n)=10−2(9nm+mn)≤10−29=4
当且仅当9nm=mn，m=6,n=2时，等号成立，故选B。
7.【答案】 B
【解析】解：因为 A1(−a,0) ， A2(a,0) ， P,Q 的坐标分别为 (0,b) ， (0,−b) ，
∴A1A2=2a ， PQ=2b ， ∴A1P=A2Q=A1Q=A2P=a2+b2=c
又因为四边形 A1PA2Q 的面积为 22 ，所以 4×12×a×b=22 ，得 ab=2 ，
记四边形 A1PA2Q 内切圆半径为 r ，则 2πr=263π ，得 r=63 ，
所以 2cr=22 ，所以 c=3 ，
又因为 c2=a2+b2=3 ，得 {a=2b=1 或 {a=1b=2 ，
所以 C 的方程为 x22−y2=1 或 x2−y22=1 .
故答案为： B
8.【答案】 D
【解析】将双曲线 x2a2−y2b2=−1(a>0,b>0) 标准化 y2b2−x2a2=1(a>0,b>0) ，
则根据离心率的定义可知本题中应有 e=cb=72,a2+b2=c2 ,
则可解得 a2b2=34 ,
因为 a=3, b=23 可以推出 a2b2=34 ;
反之 a2b2=34 成立不能得出 a=3, b=23 .
故答案为： D .
9.【答案】 A
【解析】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（ 1 ，0），准线方程为x =−1 ，
双曲线x2 −y2m= 1的一条渐近线方程为y＝ m x，
不妨设直线AB为y＝ m （x −1 ），设A（x0 ， y0），则|AF|＝x0 +1=3 ，
∴x0＝ 2 ，又∵ y02=4x0 且|AF|＞|BF|，∴y0>0，∴y0＝2 x0=22 ，
代入y＝ m （x −1 ），
解得m＝8，
故答案为：A．
10.【答案】 D
【解析】在①中，连接 MF2 ，设 F1F2=2MF1=2c
∵∠MF1F2=π3 ∴MF2=3c ∴MF2−MF1=2a=3c−c=(3−1)c
∴e1=ca=23−1=3+1
在②中，连接 MF2 ， F1F2 ，设 F1F2=2c
∴(2MF1)2+(2MF1)2=F1F22=4c2 ，解得： MF1=22c
又 ∵∠MF1F2=π4
∴MF22=MF12+F1F22−2MF1⋅F1F2cos∠MF1F2 ，解得： MF2=102c
∴MF2−MF1=2a=102c−22c=10−22c
∴e2=ca=410−2=10+22
在③中，连接 MF2 ， F1F2 ，设 F1F2=2MF1=2c
∵∠MF1F2=π3 ∴MF2=3c ∴MF2−MF1=2a=3c−c=(3−1)c
∴e3=ca=23−1=3+1
∴e1=e3>e2
故答案为： D
11.【答案】 B
【解析】设椭圆的长轴长为 2a1 ，双曲线的实轴长为 2a2 ，并设 |PF1|=m ， |PF2|=n ，焦距为 2c ，在 ΔPF1F2 中，由余弦定理得 m2+n2−2mncos2θ=(2c)2 ，
由椭圆和双曲线的定义得 {m+n=2a1m−n=2a2 ，解得 {m=a1+a2n=a1−a2 .
代入 m2+n2−2mncos2θ=(2c)2 ，
得 (a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos2θ=4c2 ，
即 a12+a22+(a22−a12)cos2θ=2c2 ， ∴a12(1−cos2θ)+a22(1+cos2θ)=2c2 ，
即 2a12sin2θ+2a22cos2θ=2c2 ， ∴a12sin2θc2+a22cos2θc2=1 ，因此， sin2θe12+cos2θe22=1 .
故答案为：B.
二、填空题
12.【答案】 12
【解析】由于双曲线 C:x2a2−y23=1(a>0) 的一条渐近线的倾斜角为 60∘ ，则 3a=tan60∘=3 ，
可得 a=1 ，所以，双曲线 C 的焦距为 |F1F2|=2a2+3=4 ，
设点 P 为第一象限内的点，联立 {x=2x2−y23=1 ， ∵y>0 ，解得 {x=2y=3 ，
易知 F1(−2,0) 、 F2(2,0) ， ∴|PF1|=(2+2)2+32=5 ， |PF2|=(2−2)2+32=3 ，
因此， △PF1F2 的周长为 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=5+3+4=12 .
故答案为：12.
13.【答案】 2+32
【解析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a1 ，双曲线实轴长为 2a2 ，
P 在双曲线的右支上，
由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|=2a1 ，
由双曲线的定义 |PF1|−|PF2|=2a2 ，
所以有 |PF1|=a1+a2 ， |PF2|=a1−a2 ，
因为 ∠F1PF2=60∘ ，
由余弦定理可得 (a1+a2)2+(a1−a2)2−(a1+a2)(a1−a2)=4c2 ，
整理得 a12+3a22=4c2 ，
所以
e12+e22=c2a12+c2a22=a12+3a224a12+a12+3a224a22=1+34⋅a22a12+14⋅a12a22≥1+23a224a12⋅a124a22=1+32=2+32 ，当且仅当 3a22a12=a12a22 时取等号，
故答案是： 2+32 .
14.【答案】 16；65
【解析】解：①：抛物线方程为 x2=−14y ，焦点坐标为 (0,−116) ，在直线 2x+my+1=0 上，则有 m=16 ；
②：直线 l 为 2x+16y+1=0 ，斜率为 k=−18 ，因为双曲线焦点在 y 轴上，所以双曲线渐近线方程为： y=±abx ，即 ab=18 ，则有 ba=8 ，所以离心率为： e=1+(ba)2=65 .
故答案为：16； 65 .
15.【答案】 -1
【解析】抛物线 C:y2=4x ，则准线 l 的方程为 x=−1 ,焦点 F(1,0) ，设 P(y024,y0) ，
由点 P 到准线 l 的距离等于 |PM| ，则 y024+1=(y024−m)2+(y0−4)2 ，
所以 (y024)2+y022+1=(y024)2−2m×y024+m2+y02−8y0+16 ，
化简可得： 1−m2y02−8y0+15+m2=0 ，
由满足此条件的点P有且只有一个，所以 Δ=(−8)2−4×1−m2×(15+m2)=0 ，
即 m3−m2+15m+17=0 ，则 (m+1)(m2−2m+17)=0,
由 m2−2m+17=(m−1)2+16>0 ，所以 m=−1。
故答案为：-1。
16.【答案】 [-2,2]
【解析】椭圆 x2+4y2=16 的标准方程为 x216+y24=1 ，
从而得到点的纵坐标的取值范围是[-2,2].
故答案为：[-2,2].
17.【答案】 x24−y22=1
【解析】当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 x2a2−y2b2=1 ， ∴12a2−4b2=1 ，此时渐近线方程为 y=±bax=±22x ， ∴a2=4 ， b2=2 ， ∴ 双曲线方程为 x24−y22=1
当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 y2a2−x2b2=1 ， ∴4a2−12b2=1 ，此时渐近线方程为 y=±abx=±22x ， ∴a2<0 ，舍去
故双曲线的标准方程为 x24−y22=1
18.【答案】 3
【解析】抛物线 y=14x2 ,即x2=4y的焦点坐标为 (0,1),准线方程l2:y+1=0.
由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,
所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值, d=|0−3−12|16+9=3 .
故答案为:3.
19.【答案】 [23,23]
【解析】如图，画出长方体 ABCD−A1B1C1D1 ，
因为 P 为该长方体侧面 CC1D1D 内(含边界)的动点，
所以 AD⊥PD ， BC⊥PC ，
因为 tan∠PAD+tan∠PBC=22 ， BC=AD=1
所以 PDAD+PCCB=22 ， PD+PC=22 ，
故点 P 的轨迹为在侧面 CC1D1D 内（含边界）、以 D 点和 C 点为焦点的椭圆，
则 2a=22 ， c=1 ， b=a2−c2=1 ，椭圆方程为 x22+y2=1 ，
以 DC 为 x 轴、 DC 中点为原点构建直角坐标系，并绘出椭圆图像，如图：
当点 P 在椭圆上顶点时，点 P 到底面 ABCD 的距离 ℎ 最大， ℎmax=1 ；
当点 P 在椭圆与棱 DD1 或棱 CC1 交点时，点 P 到底面 ABCD 的距离 ℎ 最小，
令 x=1 ，解得 y=22 ， ℎmin=22 ，
故四棱锥 P−ABCD 体积的最大值 Vmax=13×2×1×1=23 ，
四棱锥 P−ABCD 体积的最小值 Vmin=13×2×1×22=23 ，
四棱锥 P−ABCD 体积的取值范围是 [23,23] ，
故答案为: [23,23] .
20.【答案】 40392
【解析】由双曲线 x2−y2=2 可得, x22−y22=1 ,
所以 a2=b2=2 ,所以 c2=a2+b2=2+2=4, 所以 c=2 .
所以 F2(2,0) ,因为 P1F2⊥F1F2 ,所以 P1(2,2) ,
所以 |P1F1|=42+2=32 ,
因为点 Pn(xn,yn) （ n∈N∗ ）在双曲线右支上,
所以根据双曲线的定义可得, |Pn+1F1|−|Pn+1F2|=2a=22 .
又 |Pn+1F2|=|PnF1| ,所以 |Pn+1F1|−|PnF1|=22 ,
所以数列 {|PnF1|} 是首项为 |P1F1|=32 ,公差为 22 的等差数列,
所以 |P2019F1| =|P1F1|+(2019−1)×22 =32+40362=40392 .
故答案为: 40392 .
三、解答题
21.【答案】 （1）由 e=2 ，得 ca=2 ，即 c=2a ，
又 b2=c2−a2=(2a)2−a2=a2 ，即 a=b ，
双曲线 E 的方程即为 x2a2−y2a2=1 ，点 (2,2) 坐标代入得 4a2−2a2=1 ，解得 a2=2 ．
所以，双曲线 E 的方程为 x22−y22=1 ．
（2）椭圆 x28+y24=1 的焦点为 (±2,0) ，
设双曲线 C 的方程为 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) ，
所以 2a=2 ，且 a2+b2=4 ，
所以 a=1 ， b2=3
所以，双曲线 C 的方程为 x2−y23=1 ．
22.【答案】 解：设过点 B(1,1) 的直线方程为 y=k(x−1)+1 或 x=1
①设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
当 k 存在时联立 {y=k(x−1)+1x2−y22=1 ，得 (2−k2)x2+(2k2−2k)x−k2+2k−3=0
因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 Δ=(2k2−2k)2−4(2−k2)(−k2+2k−3)>0 ，
∴k<32 ，且 x1+x2=2(k−k2)2−k2
又 B(1,1) 为线段 MN 的中点， ∴x1+x2=2 即 k−k22−k2=1
解得 k=2 ，与 k<32 矛盾，
故过点 B(1,1) 与双曲线交于两点 M,N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在.
②当 x=1 时，直线经过点 B 但不与双曲线交于 M,N 两点．
综上，符合条件的直线 l 不存在
23.【答案】 （1）解：当a=1时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时 |PA| =P到准线的距离，
∴当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离最小为1，即 |PA| 的最小值为1
（2）解： |PA|=(x−a)2+y2=x2−2ax+1+4x =(x+2−a)2+4a−a2−3
|PA| 的最小值为 |OA| ，
即当 x=0 时 |PA| 取得最小值，
所以 a−2≤0 ，即 a≤2 .
24.【答案】 （1）解：因为当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 π6 时， N ， P 重合， |PM|=2 ，
所以 a=|PM|=2
故 bc=tanπ6=33 ，
因为 a2=b2+c2 ，
因此 c=3 ， b=1 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 .
（2）解：设 l:x=ty+m(m≠0) ，
所以 M(m,0) ， N(0,−mt) ，所以 kl=1t .
因为斜率大于0，
所以 t>0 ，
设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ，
则 NP=(x1,y1+mt) ， NQ=(x2,y2+mt) ，
由 NP=λNQ 得， x1=λx2 ，①
同理可得 y1=μy2 ，②
①②两式相乘得， x1y1=λμx2y2 ，
又 λμ=1 ，所以 x1y1=x2y2 ，
所以 (ty1+m)y1=(ty2+m)y2 ，
即 t(y12−y22)=m(y2−y1) ，
即 (y2−y1)[m+t(y1+y2)]=0
由题意 kl>0 ，知 y1−y2≠0 ，
所以 m+t(y1+y2)=0 .
联立方程组 {x=ty+mx24+y2=1 ，
得 (t2+4)y2+2tmy+m2−4=0 ，
依题意， y1+y2=−2tmt2+4
所以 m−2t2mt2+4=0 ，又 m≠0 ，
所以 t2=4 ，
因为 t>0 ，
故得 t=2 ，
所以 kl=1t=12 ，即直线 l 的斜率为 12 .
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