人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试测试题

 www.ks5u.com阶段质量检测(三)

(A卷　学业水平达标)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．函数y＝的最小正周期为(　　)

A．2π　　　　　　　　　 　B．π

C.  D.

答案：C

2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则

cos的值是(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案：A

3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于(　　)

A．±   B．±

C．－   D．－

答案：A

4．设sin θ＝，cos θ＝－，则2θ的终边所在的象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案：D

5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为(　　)

A.  B.

C．4   D．12

答案：C

6．(湖北高考)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：B

7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为(　　)

A．正三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

答案：C

8．若＝－，则sin α＋cos α的值为(　　)

A．－   B．－

C.  D.

答案：C

9．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)

A．－5   B．－6

C．－7   D．－8

答案：D

10．若f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)

A．－   B．8

C．4   D．－4

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．

答案：

12．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.

答案：

13．已知θ∈，＋＝2，则

sin的值为________．

答案：

14．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，则的值为________．

答案：

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．

(1)求a，θ的值；

(2)若f＝－，α∈，求sinα＋的值．

解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，

所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，

又θ∈(0，π)，则θ＝，

所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．

由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.

(2)由(1)得，f(x)＝－sin2x·(2cos2x－1)＝－sin 4x，

因为f＝－sin α＝－，即sin α＝，

又α∈，从而cos α＝－，

所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝.

16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f＝cosα＋·cos 2α，求cos α－sin α的值．

解：(1)因为函数y＝sin x 的单调递增区间为，k∈Z.

由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为

，k∈Z.

(2)由已知sin＝cos(cos2α－sin2α)，

得sin αcos＋cos αsin

＝(cos2α－sin2α)，

即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

当sin α＋cos α＝0时，

由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.

此时，cos α－sin α＝－.

当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.

由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，

此时cos α－sin α＝－.

综上所述，cos α－sin α＝－或－.

17．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin x＋2sin＋cos.

(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；

(2)若sin＝，x∈，求f(x)的值．

解：(1)f(x)＝sin x＋2sincos

＝sin x＋sin＝sin x＋cos x

＝sin.

由f(α)＝，得sin＝，

∴sin＝.

∵α∈，∴α＋∈.

∴α＋＝，∴α＝－.

(2)∵x∈，∴∈.

又∵sin＝，∴cos＝.

∴sin x＝2sincos＝，

cos x＝－＝－.

∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.

18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．

解：(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得

f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)

＝sin 2x＋cos 2x

＝2sin.

∴函数f(x)的最小正周期为π.

∵f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，

f＝－1，∴函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.

(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.

又∵f(x0)＝，

∴sin＝.

由x0∈，得2x0＋∈.

从而cos＝－

＝－.

∴cos 2x0＝cos

＝coscos＋sinsin

＝.

(B卷　能力素养提升)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为(　　)

A．0　　　　　　 　　 　　B.

C.   D．－

解析：选B　因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝，故选B.

2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为(　　)

A．0   B．1

C．±1   D．－1

解析：选B　由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.

3．下列各式中，值为－的是(　　)

A．2sin 15°cos 15°   B．cos215°－sin215°

C．2sin215°－1  D.－cos215°

解析：选D　用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－.

4．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　)

A.  B.

C．－   D．－

解析：选B　依题意可得cos α＝，∴cosα＋＝·cos αcos－sin αsin＝cos α－sin α＝－＝.

5．设tan(α＋β)＝5，tan＝4，那么tanα＋的值等于(　　)

A．－  B.

C.  D.

解析：选B　tan＝tan＝＝＝.

6．在△ABC中，若tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，则cos C的值是(　　)

A．－  B.

C.   D．－

解析：选A　由tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，得

tan A＋tan B＝1－tan Atan B，

所以tan(A＋B)＝＝1.

又tan(A＋B)＝－tan C，所以tan C＝－1，

所以C＝，cos C＝cos＝－.

7．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　)

A．－2   B．－

C．－   D．－1

解析：选D　f(x)＝sin，x∈.

∵－≤x－≤.∴f(x)min＝sin＝－1.

8．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β的值是(　　)

A.  B.

C.或  D.或

解析：选A　∵α、β为锐角，且cos α＝，cos β＝，

∴sin α＝＝，sin β＝＝.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.

9．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则此三角形为(　　)

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：选B　∵sin Bsin C＝cos2，

∴sin Bsin C＝，

可得2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]，

即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)．

∴cos(B－C)＝1.又角B、角C为△ABC的内角，

∴B－C＝0，即B＝C.故选B.

10．已知函数f(x)＝sinx＋cos，对任意实数α，β，当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是(　　)

A．3π  B.

C.  D.

解析：选B　f(x)＝sinx＋cos＝

sinx＋sin＝sin.

又当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f(x)的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝＝3π，从而选B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．函数f(x)＝2cos2＋sin x的最小正周期是________．

解析：化简得f(x)＝1＋sin，

∴T＝＝2π.

答案：2π

12．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，则cos(α＋β)＝________.

解析：因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－＝－.

因为cos β＝－，β∈，

所以sin β＝－＝－.

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

答案：

13．sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，则α＋β＝________.

解析：∵α，β∈，sin α＝，cos β＝，

∴cos α＝，sin β＝.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.

∵ α，β∈，∴0<α＋β<π，故α＋β＝.

答案：

14．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)．

解析：∵<6<2π，∴6是第四象限角．

∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.

答案：负

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－，求cos3＋sin3－θ的值．

解：cos3＋sin3

＝sin3θ＋cos3θ

＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)

＝(1－)[1－(1－)]＝－2.

16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x.

(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；

(2)若x∈，求f(x)的值域．

解：(1)因为点P(1，－)在角α的终边上，

所以sin α＝－，cos α＝，

所以f(α)＝sin 2α－2sin2α＝2sin αcos α－2sin2α

＝2××－2×2＝－3.

(2)f(x)＝sin 2x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin－1，

因为x∈，所以－≤2x＋≤，

所以－≤sin≤1，

所以f(x)的值域是[－2,1]．

17．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)因为f＝，所以Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.

(2)由(1)知f(x)＝2cos，f＝2cos＝－2sin α＝－，所以sin α＝，因为α∈，所以cos α＝；又因为f＝2cos＝2cos β＝，所以cos β＝，因为β∈，所以sin β＝.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，且f＝－1.

(1)求φ的值；

(2)若f(α)＝，f＝，且<α<，0<β<，求cos的值．

解：(1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)，且f＝－1，

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z.

∵|φ|<，∴φ＝－.

(2)由(1)得f(x)＝sin.

∵<α<，0<β<，

∴2α－∈，2β∈.

∵f(α)＝，f＝，

∴sin＝，sin 2β＝，

∴cos＝，cos 2β＝，

∴cos＝cos＝cos·cos 2β－sinsin 2β＝.