试卷 福建省厦门市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）

福建省厦门市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

A．等腰梯形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形

2．用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为（   ）

A．5 B．－5 C．3 D．

3．方程 (x－1) 2＝0的根是（   ）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝0

C．x1＝－1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝－1

4．下列说法不正确的是（   ）

A．选举中，人们通常最关心的数据是众数

B．从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大

C．必然事件发生的概率为1

D．某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有一定6次会获奖

5．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A．对称轴是 B．开口向下

C．顶点坐标是（1，-2） D．与x轴有两个交点

6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（　　）

A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD

7．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（　　）

A．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC

B．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD

C．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC

D．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD

8．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（　　）

A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800

C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800

9．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（　　）

A．AB＝4

B．∠ABC＝45°

C．当x＞0时，y＜﹣3

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

10．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（　　）

A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n

二、填空题

11．将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为______．

12．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有___个．

13．已知点与点关于原点对称，则点在第______象限．

14．如图，⊙O中，∠ACB = 110º，则∠AOB=______．

15．如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°到Rt△ODC，连接BC，AC．作OP⊥AC，垂足为P，则OP的长度为_______．

16．已知点P（m，n）在抛物线上，当时，总有成立，则实数a的取值范围是_______．

三、解答题

17．解方程．

18．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．

19．已知二次函数的图像经过点A（0，3），B（-1,0）.

（1）求该二次函数的解析式

（2）在图中画出该函数的图象

20．有3张形状材质相同的不透明卡片，正面分别写有4、3、－5，三个数字．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字作为一次函数中的值；第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字作为的值．用画树状图或列表法求所得到的一次函数的图像经过第一、二、三象限的概率．

21．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形．

（1）求CD的长；

（2）求直线BC的解析式．

22．已知关于的方程．

（1）若，且是此方程的根，求的值；

（2）若此方程有实数根，当时，求函数的取值范围．

23．已知四边形ABCD内接于⊙O．

（1）如图1，若AB=3，BC=4，AC=5，求⊙O的半径的长；

（2）如图2，若AC⊥BD，且AD=8，BC=6．求⊙O的半径的长以及AB与CD满足的数量关系．

24．如图，□ABCD中，AB=，AC=，BC=．

（1）若四边形ABCD是正方形，求抛物线的对称轴；

（2）若抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为．且，求四边形ABCD的面积．

25．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．

例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，．

问题与探究：如图1，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．

（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线（用含m、n的式子表示）；

（2）若点D有一条特征线是y=x+2，求此抛物线的解析式；

（3）对于满足（2）中条件的抛物线，点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

参考答案

1．D

【分析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．B

【分析】

对照一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0，即可确定公式法中的b．

【详解】

解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为−5，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．

3．A

【分析】

根据直接开平方法可得x－1＝0，解此一元一次方程即可求得．

【详解】

解：∵(x－1) 2＝0，

∴x－1＝0 ．

∴x1＝x2＝1．

故选：A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键．

4．D

【分析】

由众数的定义、概率的知识，可得A、B、C正确，并判断出 D错误．

【详解】

解：A、选举中，人们通常最关心的数据是众数，故本选项正确；

B、从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的概率为，取得偶数的概率为，故本选项正确；

C、必然事件发生的概率为1，故本选项正确；

D、某游艺活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10次就有6次会获奖，故本选项错误．

故选：D．

【点睛】

此题考查了众数、概率问题，解题的关键是正确理解题意并掌握概率的计算方法，还应注意排除法在解选择题中的应用．

5．D

【分析】

由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，然后对各选项进行判断即可．

【详解】

∵

∵a=10
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2），对称轴为x=-1，
∴A、B、C不正确，

∵抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2），
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴D正确，
故选D．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h

6．D

【分析】

由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案.

【详解】

解：连接BC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠ACD+∠BAD＝90°，

故选：D.

【点睛】

此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键.

7．B

【分析】

根据命题的定义、结合图形解答．

【详解】

解：命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，

已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，

求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是命题与定理，命题写成“已知…，求证…”的形式，这时，“已知”后面接的部分是题设，“求证”后面解的部分是结论．

8．D

【分析】

根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案.

【详解】

由题意得：风景画的长为：，宽为：

利用矩形的面积公式得：

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键.

9．C

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

【详解】

∵二次函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴AB=4，故选项A正确．

∵当x=0时，y=﹣3，∴OC=3．

∵点B（3，0），∠COB=90°，∴OB=3，∴OB=OC，∴∠OBC=45°，即∠ABC=45°，故选项B正确．

当0＜x＜1时，﹣4＜y＜﹣3，当x≥1时，y≥﹣4，故选项C错误．

当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项D正确．

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型．

10．A

【分析】

利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m，n，p，q的大小关系．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，

∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，

∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，

∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，

∴p，q一定处在m，n中间

故选：A．

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与一元二次方程解的意义是解题关键．

11．y=x2-2

【分析】

根据“上加下减”可得答案．

【详解】

将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为y=x2-2.
故答案为y=x2-2．

【点睛】

本题考查二次函数图象的平移.抛物线平移变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）.

12．6

【分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】

解：设袋中黄色球可能有x个．

根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=，解得：x=6．

∴袋中黄色球可能有6个．

故答案为：6

13．四

【分析】

根据关于原点对称的点的关系特点，可得、的值，进而可求得答案．

【详解】

解：∵点与点关于原点对称

∴，

∴点的坐标为

∴点在第四象限．

故答案是：四

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标特点、注意与关于、轴对称的点的坐标特点的区分记忆，同时还考查了平面直角坐标系中坐标位置的关系．

14．

【分析】

在优弧上任取一点，连接、，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．

【详解】

解：在优弧上任取一点，连接、，如图：

∵四边形内接于，

∴

∴．

故答案是：

【点睛】

本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等，添加适当的辅助线并应用圆周角定理是解题的关键．

15．．

【分析】

在RtΔOAB中，利用30º角求AO，利用勾股定理求BA，Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°到Rt△ODC，得ΔBOC为等边三角形进而∠COB+∠ABO=90º，∠OAB＝90°，可得BC∥AO，可证ΔCBA∽ΔAPO，由相似三角形的性质求出OP即可．

【详解】

∵Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，

∴∠BOA=90º-∠ABO=90º-30º=60º，

∴AO=OB=2，AB=，

∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°到Rt△ODC，

∴BO=CO，∠DOC=60º，

∴ΔBOC为等边三角形，

∴BC=OB=4，

∴∠COB+∠ABO=30º+60º=90º，∠OAB＝90°，

∴BC∥AO，

∴∠BCA=∠PAO，

∴OP⊥AC，

∴∠APO=90º，

∴∠CBA=∠APO，

∴ΔCBA∽ΔAPO，

∴，

在RtΔABC中，AC=，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角形旋转，直角三角形，等边三角形，相似三角形等问题，掌握三角形旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质是解题关键．

16．0＜a≤

【分析】

依照题意画出图形，分0＜＜1及≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．

【详解】

当≥1时，有，

解得：a＞0，

∴0＜a≤；

当0＜＜1时，有，

解得：a=

∴0＜a≤．

综上所述：0＜a≤．

故答案为：0＜a≤．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜＜1及≥1两种情况找出关于a的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．

17．，

【分析】

利用求根公式法或配方法解一元二次方程即可得解．

【详解】

解：①

∵，，

∴

∴

∴，．

②

∴，．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据题目特点选择合适的解法是解题的关键．

18．CD＝3

【分析】

由旋转的性质可得AB＝AD＝4，可证△ABD为等边三角形，可得BD＝AD＝4，即可求解．

【详解】

解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，

∴AB＝AD＝4，

∵∠B＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD＝AD＝4，

∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

19．（1）；（2）详见解析.

【分析】

(1)根据二次函数的图象经过点A（0，3），B（-1，0）可以求得该函数的解析式;

(2) 根据(1) 中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象;

【详解】

解:(1) 把A（0，3），B（-1，0）分别代入 ，得

解得

所以二次函数的解析式为：

(2)由（1）得

列表得：

如图即为该函数图像：

【点睛】

本题考查求抛物线的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想.

20．

【分析】

先根据题意列出树状图，再找出所有情况，看k＞0，b＞0的情况占总情况的多少即可求出答案．

【详解】

画树状图

共有6种情况，

因为一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限，

则k＞0，b＞0，

又因为k＞0，b＞0的情况有k＝4，b＝3或k＝3，b＝4两种情况，

所以一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限的概率为．

【点睛】

此题考查了列表法与树状图，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是放回实验；经过二三四象限的一次函数的k＞0，b＞0．

21．（1）；（2）

【分析】

（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；

（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得，再根据待定系数法即可求得直线解析式．

【详解】

解：（1）∵点的坐标是

∴

∵四边形是平行四边形

∴．

（2）过点作，连接，过点作，如图：

∵，

∴

∵

∴

∴

∴在中，

∵四边形是平行四边形

∴

∵

∴四边形是平行四边形

∴，

∴

∴

∴设直线的解析式为：

∴

∴

∴直线的解析式为：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．

22．（1）；（2）

【分析】

（1）把、代入方程可得，然后解关于的方程即可得解；

（2）根据根的判别式的意义可得，整理得，利用非负数的性质得到，则函数为：，再由可求得函数的取值范围．

【详解】

解：（1）∵若，且是此方程的根

∴

∴

∴

∴的值为．

（2）∵方程有实数根

∴

∴

∴

∴

∴函数为：

∵

∴可画出函数图象，如图：

∴函数的取值范围是：．

【点睛】

本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

23．（1）  （2）

【分析】

（1）根据勾股定理判断直角三角形，从而判断AC为直径，即可求解；

（2）连接AO并延长交于点G，交DC于点P,连接DG，AC⊥BD垂足为点H，可判断， 从而得到，判断，得到，求出，可求得半径；连接BG,GC,BP，判断，在直角三角形中根据勾股定理求解.

【详解】

(1)

如图在中，，

∵，为直角三角形，

∴AC为的直径

∴

（2）连接AO并延长交于点G，交DC于点P,连接DG，AC⊥BD垂足为点H.

∵AC⊥BD

∵AG为圆的直径，

∵对应的角有

在和中

∴  ∴

∵对应的角有

在和中

∴  ∴

∴ ∴

∴

∴

连接BG,GC,BP

对应的角有

对应的角有

在和中

∴（AAS）

∴DG=BC    DC=BG

在中，

∴

【点睛】

本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用等相关知识；正确作出辅助线是解题的关键.

24．(1)x=；（2） ．

【分析】

（1）由正方形推出b=c=，利用对称轴公式求对称轴

（2）对称轴为直线利用公式得b=，抛物线与轴交点为代入得，求出的值，由推出四边形ABCD为菱形，利用菱形面积公式求出即可

【详解】

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，AC=，b=c=

=(x2+x-1)

对称轴为x=

(2) 对称轴为直线，

∴利用对称轴公式得b=

抛物线与轴的一个交点为代入抛物线

由c>0、b>0、a>0，

∴，

解得（负值已舍去），

∵ABCD，

∴四边形ABCD为菱形

连BD交AC于O，BO⊥AO，AO=OC=1.5

在RtΔABO中，由勾股定理，AD=2OB=

∴

【点睛】

本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出关系，利用点C在抛物线上，确定之间关系会解方程组解决问题

25．（1）；（2）；（3）或

【分析】

（1）根据特征线的定义以及性质直接求出点D的特征线；

（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；

（3）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

【详解】

（1）∵点D

∴D的特征线是

（2）∵点D有一条特征线是

∴

∵抛物线的解析式为

∴

∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，

∴

∴

∴

将代入中

解得

∴抛物线的解析式为

（3）①如图，当点在平行于y轴的D点的特征线时

根据题意可得

∴

∴

∴

∴

∴抛物线需要向下平移的距离

②如图，当点在平行于x轴的D点的特征线时，设

则

∴

设

在中，

解得

∴

∴直线OP解析式为

∴

∴抛物线需要向下平移的距离

即抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，掌握特征线的性质、正方形的性质、抛物线的性质、折叠的性质、平移的性质是解题的关键．