2020-2021学年泉州市东海中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年泉州市东海中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A －B. C. D.
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义，逐项分析即可．
【详解】A. －与是同类二次根式，故该选项正确，符合题意；
B. 与不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
D. 与不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2. 计算×的结果是（ ）
A. B. 4
C. D. 2
【答案】B
【详解】试题解析：.
故选B.
考点：二次根式的乘除法．
3. 方程x2＝2x的根是（ ）
A. x＝2B. x＝0C. x1＝0，x2＝2D. x1＝0，x2＝﹣2
【答案】C
【分析】用提公因式法解方程即可.
【详解】方程变形得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得：x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的解法，针对每一个一元二次方程选用适合的解法是解题的关键.
4. 已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值等于（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-2m的值．
【详解】解：把x=m代入方程x2-2x-1=0可得：m2-2m-1=0，
所以m2-2m=1，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2-2m当成一个整体．利用了整体的思想．
5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为【 】A. B. C. D.
【答案】D
【详解】根据配方的正确结果作出判断：
．
故选D．
6. 在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(1，2)，则A关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. (0，2)B. (－1，－2)C. (1，－2)D. (－1，2)
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求得答案．
【详解】点A的坐标为(1，2)，
A关于x轴对称的点的坐标是．
故选C．
【点睛】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，理解关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
7. 若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 8或10
【答案】C
【分析】先解一元二次方程，根据题意分类讨论，即可确定三角形的周长．
【详解】方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，
解得，
当等腰三角形的腰为时，，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰为时，定三角形的周长为．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
8. 如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A. ∠ADC＝∠ACBB. ∠B＝∠ACDC. ∠ACD＝∠BCDD.
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
9. 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理，可判断四边形四边相等，根据菱形的判定可得答案．
【详解】如图，

，
当AC＝BD时，，
则四边形EFGH是菱形．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
①＝；②＝；③＝；④＝其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【分析】由BE、CD是△ABC的中线， 可得 即，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，从而可判断④．
【详解】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ 即，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
故②错误；
③∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
△DOE∽△COB

∴，
故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O．
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，
且△ABC与△BOC同底（BC）
∴，
由②和③知，
，
∴．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．
二、填空题
11. 使有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【详解】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
12. 已知（），则= ___________．
【答案】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
13. 一元二次方程根的情况是________．
【答案】有两个不等实数根
【分析】计算一元二次方程根的判别式，进而可得答案．
【详解】
原方程有两个不等实数根．
故答案为：有两个不等实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式判断根的情况是解题的关键．
14. 已知，相似比为3：4，的周长为6，则的周长为____
【答案】8．
【详解】根据相似三角形周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8．
15. 某件商品原价100元，经过两次降价后，售价为64元，设平均每次降价的百分率为，依题意可列方程________.
【答案】
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据某件商品原价100元，经过两次降价后，售价为64元，可列方程求解．
【详解】设平均每次降价的百分率为x，
100（1-x）2=64．
故答案：100（1-x）2=64．
【点睛】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，找到降价前为100元，两次降价后为64元，可列方程求解．
16. 如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE=______．
【答案】．
【分析】【详解】解：∵四边形ABCD矩形，
∴BC=AD=1，∠BAF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠FCB，
在△ABE和△FCB中，
∵∠EAB=∠BFC=90°，AB=CF，∠ABE=∠FCB，
∴△ABE≌△FCB，∴BF=AE，BE=BC=1，
∵BE⊥AC，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵∠ABF+∠AEB=90°，∴∠BAF=∠AEB，
∵∠BAE=∠AFB，∴△ABE∽△FBA，
∴，∴，
∴AE=BF=AB2，
在Rt△ABE中，BE=1，
根据勾股定理得，AB2+AE2=BE2=1，
∴AE+AE2=1，
∵AE＞0，
∴AE=．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出AE=AB2．
三、解答题
17. 计算：
（1） (－)＋
（2）(－1)2020＋－－(π－3.14)0
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘法和加减法运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘方，二次根式的性质化简，去绝对值，零次幂，依次计算，再进行实数的计算．
【详解】（1） (－)＋
（2）(－1)2020＋－－(π－3.14)0
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零次幂的计算，掌握以上计算法则是解题的关键．
18. 解方程
（1）
（2）x2＋2x－1＝0
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先移项，再用因式分解法解一元二次方程；
（2）直接利用求根公式求解即可．
【详解】（1）
解得；
（2）x2＋2x－1＝0
【点睛】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【分析】利用二次根式的性质和平方差公式计算，再代入求得答案即可．
【详解】解：原式=
=
=
当时， 原式=+2=5．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值即可．
20. 关于x的一元二次方程x2＋2x＋2m＝0有两个不相等的实数根，求出m的取值范围．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的情况列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围．
【详解】关于x的一元二次方程x2＋2x＋2m＝0有两个不相等的实数根，
解得．
m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
21. 如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长．
【答案】画图见解析，cm
【分析】连接对应点的连线的交点即为位似中心，根据位似比等于相似比，即可求得．
【详解】如图，连接，交点即为位似中心，
相似比是1：2，
，
cm，
cm．
【点睛】本题考查了根据位似图形找位似中心，根据相似比对应边的长，掌握位似的定义与性质是解题的关键．
22. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年村该村的人均收入=2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【详解】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
23. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为多少？
【答案】16.5m
【分析】根据题意与相似三角形的判定易证△DEF∽DCB，再根据对应成比例求解BC的长，最后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】∵DE⊥EF，BC⊥CD，DF=50cm，EF=30cm，
∴DE=
又∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽DCB，
∴，即，
解得BC=15m，
∵小明同学和树AB都垂直于底面，
∴AC＝1.5m，
∴AB=BC+AC=16.5m，
答：树高AB为16.5m．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与及其性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定方法及相似三角形对应边成比例的性质．
24. 某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的汽车就减少2辆．
（1）若租金提高了40元，租出去的汽车有 辆，日收益为 元
（2）当租金多少元时，公司的每日收益可达到10120元？
（3）公司希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当租金或元时，公司的每日收益可达到10120元；（3）不能实现，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，每提高10元，租出去的汽车就减少2辆，进而可得租出的车的数量，根据租金乘以车辆数可得日收益；
（2）设租金为元，根据题意列一元二次方程解决问题；
（3）根据题意设租金为元，根据题意列一元二次方程解决问题，提高判断一元二次方程的判别式判断根的情况即可求解．
【详解】（1）根据题意，每提高10元，租出去的汽车就减少2辆，
若租金提高了40元，租出去的汽车有（辆）
日收益为：（元）
故答案为：
（2）设租金为元，根据题意，得：
整理得：
解得
答：当租金或元时，公司的每日收益可达到10120元．
（3）设租金为元，根据题意，得：
整理得：
原方程无实数根
公司希望日收益达到10160元，不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据等量关系列出方程是解题的关键．
25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EF⊥AB交直线AC于点F，连结CE．设点E的运动时间为t秒．
（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，
①求证：△ABC∽△AFE；
②当t为何值时，△CEF的面积为1.2；
（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使△CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②秒或1秒；（2）存在，秒或秒
【分析】（1）①根据相似三角形的判定解答即可；
②过点 C 作 CH⊥AB 于 H，利用相似三角形性质和三角形面积公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的判定分两种情况解答．
【详解】解：（1）当点 F 在线段 AC 上时，
①证明如下：∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°
在△ABC 中，∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠AEF 又∵∠A＝∠A
∴△ABC∽△AFE
②当 t 秒时，AE＝3t， 由①得△ABC∽△AFE
∴，即，
∴FE＝4t
在 Rt△ABC 中，AB＝，
过点 C 作 CH⊥AB 于 H，如图 1：
由面积法可得：
∴
∴
＝
．
令，
解得：，
经检验，符合题意．
答：当 t 为秒或 1 秒时，△CEF 的面积为 1.2．
（2）存在，理由如下：
i）当点 F 在线段 AC 上时（0＜t＜），
∵∠CFE＝∠AEF+∠A＞90°，
∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是 FC＝FE，
由②可知：FE＝4t，
∴AF＝5t，FC＝4t，
∴5t+4t＝6，
∴t＝．
ii）当点 F 在线段 AC 的延长线上时（＜t），如图 2，
∵∠FCE＝∠FCB+∠ECB＞90°，
∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是 FC＝EC，
此时∠F＝∠CEF，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，即∠CEA+∠CEF＝90°， 又∠F+∠A＝90°
∴∠CEA＝∠A，
∴CE＝AC＝6，
∴FC＝6，
∴AF＝12， 即 5t＝12
∴
综上所述，t 的值为秒或秒时，△CEF 为等腰三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形等相关知识，关键是根据相似三角形的判定和性质解答，综合性强，是一道难度较大的压轴题．