试卷 广东省深圳市南山区2019-2020学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案）

广东省深圳市南山区2019-2020学年八年级下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）

A． B．

C． D．

2．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于(    )

A．4 B．5 C．5.5 D．6

3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）

A．（a－3）（a＋3）＝a2－9 B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1

C．x2＋1＝x（x＋） D．a2b＋ab2＝ab（a＋b）

4．不等式的正整数解的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．±1

6．下列命题中，错误的是（　　）

A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形

B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等

C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分

D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝（　　）

A．65° B．75° C．55° D．35°

8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（    ）

A．65° B．70° C．75° D．80°

9．已知关于的不等式组无解,则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

10．如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为点，，且，则线段的长为（   ）

A． B．2 C．3 D．

11．学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（　　）

A．+ B．1+ C．4 D．2+2

二、填空题

13．分解因式：2x2﹣2y2＝_____．

14．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是_________．

15．如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x≥ax+3的解集是_____．

16．已知分式方程的解为非负数，求k的取值范围______．

三、解答题

17．解不等式，并利用数轴确定该不等式组的解．

18．请回答下列问题：

（1）解方程：＋＝2；

（2）因式分解：－2x2－8y2＋8xy．

19．先化简分式：（－），再从2，3，4这三个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．

20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；

（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）

21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，

（1）求证：AE＝CE；

（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为　   　．

22．某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？

23．如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．

（1）求出A，B，C三点的坐标．

（2）求直线CD的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断选项的正确性．

【详解】

A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；

B选项是轴对称图形，不是中心对称图形；

C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；

D选项是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选：A．

【点睛】

本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

2．D

【分析】

由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.

【详解】

∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴AB=2DE=6，

故选：D.

【点睛】

此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

3．D

【分析】

根据因式分解的定义判断即可．

【详解】

A、从左往右的变形属于整式乘法运算，不符合题意；

B、C，因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积形式，不符合题意；

D、提取了公因式ab，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查对因式分解定义的理解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．

4．B

【分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．

【详解】

解：去括号得：6x-6﹤5x-4，
移项得：6x−5x﹤-4+6，
合并同类项得：x﹤2，
故不等式的正整数解为1，只有1个.
故选B．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

5．B

【详解】

【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.

【详解】∵分式的值为零，

∴，

解得：x=1，

故选B．

【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.

6．D

【分析】

利用多边形的性质、直角三角形全等的判定、三角形的中线的性质及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，正确，不符合题意；

B、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；

C、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，正确，不符合题意；

D、等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线及底边的高互相重合，故原命题错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的性质、直角三角形全等的判定、三角形的中线的性质及等腰三角形的性质，难度不大．

7．C

【分析】

根据旋转的性质得∠ACA′＝35°，∠A＝∠A′，再利用垂直的定义得到∠A′+∠ACA′＝90°，则可计算出∠A′＝55°，所以∠A＝55°．

【详解】

解：∵△ABC绕点C顺时针旋转35°，得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∠A＝55°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质和直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．

8．C

【分析】

根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC=DB，所以∠B=∠DCB，再根据AD=AC，∠A=80°，可得∠ADC=50°，进而求出∠ACB的度数．

【详解】

解：根据作图过程可知： DM是BC的垂直平分线，

 ∴DC=DB，

∴∠B=∠DCB，

∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，

 ∵AD=AC，∠A=80°，

 ∴∠ADC=∠ACD=

 ∴∠DCB=∠ADC=25°，

∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=25°+50°=75°．

∴∠ACB的度数为75°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．

9．C

【分析】

先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出m的取值范围即可．

【详解】

，

解①得

x>3，

∵不等式组无解，

∴.

故选C.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．

10．C

【分析】

连接BD，根据题意得到BD平分∠CBA，得到∠DBE=30°，再根据三角函数即可求解.

【详解】

连接BD，

∵，，

∴BD平分∠CBA

∴∠DBE=30°，

∴BE=DE÷tan30°==3，

故选C.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知角平分线的判定及性质、三角函数的应用.

11．C

【分析】

由题意，实际施工时每天铺设1.2x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．

【详解】

解：由题意，实际施工时每天铺设1.2x米，

则有：

故选：C．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，会根据题意，找到等量关系，列出方程是解答的关键．

12．A

【分析】

设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，求出AC＝CF+AF＝2+2，由平行四边形性质得出AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．

【详解】

解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：

则∠BFC＝∠BFA＝90°，

∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，

∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，

∴CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，

∴AC＝CF+AF＝2+2，

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，

∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，

则△AOD是等腰直角三角形，

∴OD＝AO＝，

∴DE＝2OD＝．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．

13．2（x+y）（x﹣y）

【分析】

先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．

【详解】

解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．

故答案为2（x+y）（x﹣y）．

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

14．5

【分析】

由题意可得这个正多边形的每个外角等于72°，然后根据多边形的外角和是360°解答即可．

【详解】

解：∵一个正多边形的每个内角等于108°，∴这个正多边形的每个外角等于72°，

∴这个正多边形的边数为．

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了正多边形的基本知识，属于基础题型，熟知正多边形的每个外角相等、多边形的外角和是360°是解此题的关键．

15．．

【分析】

直接结合图象及交点的横坐标即可得出答案．

【详解】

当时，函数的图象在函数图象的上方，

∵函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），

∴不等式的解集为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键．

16．k≤3且k≠1

【分析】

根据解分式方程的步骤，用含k的式子表示出x，根据x为非负数，求出k的取值范围即可．

【详解】

去分母，得：x-1＝k+2(x-2)，

x-1＝k+2x-4

解得：x＝3−k，

∵x为非负数，

∴3−k≥0，

即k≤3，

∵x≠2，3−k≠2，k≠1，

∴k的取值范围为k≤3且k≠1．

故答案为：k≤3且k≠1．

【点睛】

本题主要考查分式方程的解，能熟练解分式方程是解决此题的关键．

17．﹣2≤x＜1，数轴见解析

【分析】

分别计算出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【详解】

解：，

由①得，x＜1，

由②得，x≥﹣2，

在数轴上表示为：

，

故原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．

18．（1）x=7；（2）－2（x－2y）2

【分析】

（1）按照解分式方程的步骤：去分母—解整式方程—检验，解方程即可；

（2）首先提取公因式-2，然后按照完全平方公式分解因式即可．

【详解】

（1）左右两边同乘，得

，

解整式方程得，，

经检验，是原分式方程的解；

（2）原式=．

【点睛】

本题主要考查解分式方程和因式分解，掌握解分式方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．

19．a＋2，6

【分析】

先根据分式的混合运算法则化简原式，然后结合分式有意义的条件选择合适的数字代入求解即可．

【详解】

解：原式

由原式可得：，

∴符合条件的数只有，

代入化简结果得：原式=6．

【点睛】

本题考查分式的化简求值问题，掌握分式混合运算法则，并注意结合分式有意义的条件是解题关键．

20．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．

【详解】

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；

（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，

（3）根据勾股定理逆定理解答即可．

【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，

即OB2+OA12=A1B2，

所以三角形的形状为等腰直角三角形．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

21．（1）见解析；（2）见解析；（3）6

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）根据平行四边形的判定推出即可；

（3）求出高和，再根据面积公式求出即可．

【详解】

解：（1）证明：∵点E是BD的中点，

∴BE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBE，

在△ADE和△CBE中

∴△ADE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE；

（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DF＝CD，

∴DF＝AB，

即DF＝AB，DF∥AB，

∴四边形ABDF是平行四边形；

（3）解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，

∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，

∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，

∴∠BDC＝∠F＝30°，

∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，

∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

22．(1) B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2) 5500元.

【分析】

（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；

（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.

【详解】

（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．

由题意：

解得x=120，

经检验x=120是分式方程的解，

答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．

（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．

m≤100﹣m，m≤50，

由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，

∴m=50时，w有最小值=5500（元）

【点睛】

此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.

23．（1）点A的坐标为（6，3），点B的坐标为（12，0），点C的坐标为（0，6）；（2）y＝2x＋6；（3）存在，点P的坐标为（－，3），（－，6－）或（－，－）

【分析】

（1）分别令直线l1的解析式中的x，y分别为0即可求出点B，C的坐标，将直线l1与直线l2联立即可求出点A的坐标；

（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，首先利用正方形的性质证明△ACF≌△CDO，得出CF＝DO，进而求出点D的坐标，然后利用待定系数法即可求解；

（3）分两种情况：①若OC为对角线，②若OC为边，分别利用菱形的性质通过建立方程求解即可．

【详解】

（1）当x＝0时，y＝－x＋6＝6，∴点C的坐标为（0，6）；

当y＝0时，－x＋6＝0，解得：x＝12，∴点B的坐标为（12，0）；

联立直线l1，l2的解析式成方程组，得：，解得：，

∴点A的坐标为（6，3）．

（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，如图1所示．

∵四边形ACDE为正方形，

∴AC＝CD，∠ACD＝90°．

∵∠ACF＋∠DCO＝90°，∠ACF＋∠CAF＝90°，

∴∠DCO＝∠CAF．

在△ACF和△CDO中，，

∴△ACF≌△CDO（ASA），

∴CF＝DO．

∵A（6，3），C（0，6），

∴CF＝6－3＝3，

∴点D的坐标为（－3，0）．

设直线CD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

将C（0，6），D（－3，0）代入y＝kx＋b，得：，解得：，

∴直线CD的解析式为y＝2x＋6．

（3）存在，分两种情况考虑（如图2）：

①若OC为对角线，PQ，OC互相垂直平分，

∴此时点P的纵坐标为OC＝3，当y＝3时，2x＋6＝3，解得：x＝－，

∴点P1的坐标为（－，3）；

②若OC为边，设点P的坐标为（m，2m＋6），

当CP＝CO时，m2＋（2m＋6－6）2＝62，解得：m1＝－，m2＝（舍去），

∴点P2的坐标为（－，6－）；

当OP＝OC时，m2＋（2m＋6）2＝62，解得：m3＝－，m4＝0（舍去），

∴点P3的坐标为（－，－）．

综上所述：在平面内存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（－，3），（－，6－）或（－，－）．

【点睛】

本题主要考查四边形综合，掌握正方形，菱形的性质，全等三角形的判定及性质并利用方程的思想分情况讨论是关键．