高中数学人教A版选修4-4模块检测卷（二） Word版含解析

这是一份人教版新课标A选修4-4本册综合同步测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(2π,3)))，(k∈Z)
解析：选D ρ2＝(－1)2＋(eq \r(3))2＝4，∴ρ＝2.又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝－\f(1,2)，,sin θ＝\f(\r(3),2)，))
∴θ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(2π,3)))，(k∈Z)．
2．设r>0，那么直线xcs θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs φ，,y＝rsin φ))(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B 圆心到直线的距离d＝eq \f(|0＋0－r|,\r(cs2θ＋sin2θ))＝|r|＝r，故相切．
3．方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2t－2－t，,y＝2t＋2－t))(t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线 B．双曲线的上支
C．双曲线的下支 D．圆
解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.
又注意到2t>0,2t＋2－t≥2eq \r(2t·2－t)＝2，即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
4．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝2＋t))(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A.eq \f(12,5) B.eq \f(12,5)eq \r(5) C.eq \f(9,5)eq \r(5) D.eq \f(9,5)eq \r(10)
解析：选B eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝2＋t))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\r(5)t×\f(2,\r(5))，,y＝2＋\r(5)t×\f(1,\r(5))，))
把直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝2＋t))代入x2＋y2＝9，
得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)))2＋\f(16,5))＝eq \f(12,5)，
弦长为eq \r(5)|t1－t2|＝eq \f(12,5)eq \r(5).
5．极坐标ρ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
解析：选D 法一：由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs θ＋\f(\r(2),2)sin θ))＝eq \f(\r(2),2)(ρcs θ＋ρsin θ)，
化为直角坐标方程得x2＋y2＝eq \f(\r(2),2)(x＋y)，故方程ρ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))表示圆．
法二：极坐标方程ρ＝2acs θ表示圆，而eq \f(π,4)－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))表示圆．
6．柱坐标Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16，\f(π,3)，5))转换为直角坐标为( )
A．(5,8,8eq \r(3)) B．(8,8eq \r(3)，5) C．(8eq \r(3)，8,5) D．(4,8eq \r(3)，5)
解析：选B 由公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,z＝z，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝16cs \f(π,3)＝8，,y＝16sin \f(π,3)＝8\r(3)，,z＝5.))即P点的直角坐标为(8,8eq \r(3)，5)．
7．双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)tan θ，,y＝sec θ))(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：选C 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)tan θ，,y＝sec θ))⇒y2－eq \f(x2,3)＝1，两条渐近线的方程是y＝±eq \f(\r(3),3)x，
所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
8．若动点(x，y)在曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b2,4)＋40C.eq \f(b2,4)＋4 D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cs θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝
4cs2θ＋2bsin θ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin θ－\f(b,2)))2＋4＋eq \f(b2,4)，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(b,2)))2＋4＋eq \f(b2,4)＝2b.
9．若直线y＝x－b与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝sin θ))(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )
A．(2－eq \r(2)，1)
B．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2) ]
C．(－∞，2－eq \r(2))∪(2＋eq \r(2)，＋∞)
D．(2－eq \r(2)，2＋eq \r(2))
解析：选D 将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝sin θ))
化为普通方程(x－2)2＋y2＝1.依题意得，圆心(2,0)到直线y＝x－b，
即x－y－b＝0的距离小于圆的半径1，
则有eq \f(|2－b|,\r(2))＜1，|2－b|＜eq \r(2)，－eq \r(2)＜2－b＜eq \r(2)，
即2－eq \r(2)＜b＜2＋eq \r(2).
10．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：选C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
11．已知过曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数且0≤θ≤eq \f(π,2))上一点P与原点O的距离为eq \r(13)，则P点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)，\f(5\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(12,5)))
解析：选A 设P(3cs θ，5sin θ)，则|OP|2＝9cs2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13，
得sin2θ＝eq \f(1,4).又0≤θ≤eq \f(π,2)，∴sin θ＝eq \f(1,2)，cs θ＝eq \f(\r(3),2).
∴x＝3cs θ＝eq \f(3\r(3),2)，y＝5sin θ＝eq \f(5,2)，∴P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(5,2))).
12．设曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝\r(3)sin θ))与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－eq \f(3,4) B．－eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
解析：选A 令y＝0得：sin θ＝0，∴cs θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cs θ，eq \r(3)sin θ)．
∴kPM·kPN＝eq \f(\r(3)sin θ,2cs θ＋2)·eq \f(\r(3)sin θ,2cs θ－2)＝eq \f(3sin2θ,4cs2θ－1)＝－eq \f(3,4).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，则大圆被小圆截得的劣弧eq \x\t(MN)的长________．
解析：设O1的参数方程为：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋3\r(3)cs θ，,y＝3\r(3)sin θ))(0≤θ＜2π)，
将上式代入圆O的方程得：
(3＋3eq \r(3)cs θ)2＋(3eq \r(3)sin θ)2＝9.整理得cs θ＝－eq \f(\r(3),2)，
∴θ1＝eq \f(5π,6)，θ2＝eq \f(7π,6).∠MO1N＝eq \f(7π,6)－eq \f(5π,6)＝eq \f(π,3).
∴eq \x\t(MN)的长为：3eq \r(3)·eq \f(π,3)＝eq \r(3)π.
答案：eq \r(3)π
14．(江西高考)设曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cs2θ＝ρsin θ，即ρcs2θ－sin θ＝0.
答案：ρcs2θ－sin θ＝0
15．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝eq \f(π,4)与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝t－12))(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝t－12))可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝eq \f(π,4)可化为y＝x(x>0)，
联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标就是此方程的根，∴x1＋x2＝5，线段AB的中点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,2)))
16．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝eq \r(3)x，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4y，,y＝\r(3)x，))消去y，得x2＝eq \r(3)x，解得x＝eq \r(3)或x＝0，所以y＝eq \r(3)x＝3，即a＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知P为半圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq \x\t(AP)的长度均为eq \f(π,3).
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，得点M的极角为eq \f(π,3)，且点M的极径等于eq \f(π,3)，故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,3))).
(2)点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)，故直线AM的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t，))(t为参数)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cs t，,y＝3＋sin t))(t为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq \f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝eq \f(π,2)时，P(－4,4)，Q(8cs θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cs θ，2＋eq \f(3,2)sin θ)．M到C3的距离d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ－3sin θ－13|＝eq \f(\r(5),5)|5sin (φ－θ)－13|φ为锐角且tan φ＝eq \f(4,3).
从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值eq \f(8\r(5),5).
19．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4eq \r(2)ρcs (θ－eq \f(π,4))＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为ρ2－4eq \r(2)ρ(cs θcs eq \f(π,4)＋sin θsin eq \f(π,4))＋6＝0，
即ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．
设cs θ＝eq \f(\r(2)x－2,2)，sin θ＝eq \f(\r(2)y－2,2)，
所以参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(2)cs θ,y＝2＋\r(2)sin θ))(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋eq \r(2)cs θ)·(2＋eq \r(2)sin θ)
＝4＋2eq \r(2)(cs θ＋sin θ)＋2cs θ·sin θ
＝3＋2eq \r(2)(cs θ＋sin θ)＋(cs θ＋sin θ)2.②
设t＝cs θ＋sin θ，则t＝eq \r(2)sin (θ＋eq \f(π,4))，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
所以xy＝3＋2eq \r(2)t＋t2＝(t＋eq \r(2))2＋1.
当t＝－eq \r(2)时xy有最小值为1；
当t＝eq \r(2)时，xy有最大值为9.
20．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cs t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
21．(福建高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))在直线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝a上，可得a＝eq \r(2).
所以直线l的方程可化为ρcs θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<1，
所以直线l与圆C相交．
22．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝3sin φ))(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，B2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,2)))，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,2)))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋π))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋π))))，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))))，
即A(1，eq \r(3))，B(－eq \r(3)，1)，C(－1，－eq \r(3))，D(eq \r(3)，－1)．
(2)设P(2cs φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cs2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．