学案 专题辅导-完全平方公式变形的应用

  完全平方公式变形的应用

    完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

   一. 完全平方公式常见的变形有

    a2+b2=（a+b）2-2ab，

    a2+b2=（a-b）2+2ab，

    （a+b）2-（a-b）2=4ab，

     a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式变形的应用

    例1： 已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。

    分析：逆用完全乘方公式，将

    x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。

    解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，

    （x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，

    即（x+2）2+（y-3）2=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴xy=（-2）3=-8。

    分析：本题巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。

    分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a+b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。

    解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。

    即：（a-b）2+4c2=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）2002=0。

    例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。

    求证：a=b=c=d。

    分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

    证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，

    ∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，

    （a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。

     a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d为正有理数，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a2=c2，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    练习：

    1. 已知：x2+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z满足条件

    求：（1）x2+y2+z2

    （2）x4+y4+z4的值

    3. 已知：x=a2+b2，y=c2+d2。

    求证：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求证：a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。