学案 专题辅导-去掉“如图”，变化多

  去掉“如图”，变化多

    一个几何问题，如果给出了图形，那么除了直观这一功能之外，还可能限制人们更广泛的自由思考。下面就是一例：

    如图1，⊙和⊙都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙交于C，与⊙交于点D。经过点B的直线EF与⊙交于点E，与⊙交于点F。

    求证：CE∥DF

（初三《几何》第83页）

    证明：连结AB

    因为 ABEC是⊙的内接四边形

    所以 ∠BAD＝∠E

    又 ADFB是⊙的内接四边形

    所以 ∠BAD＋∠F＝180°

    所以 ∠E＋∠F＝180°

    故 CE∥DF

    这个题并不难，但是，若去掉“如图”二字，然后依据题意画图，便可发现满足要求的图形还不少：

    （1）公共弦两边各有两点（三种，第一种如图1，与课本图相同）。

    （2）公共弦两边分别有一个点和三个点（两种）。

    （3）四个点全在公共弦的同一侧（两种）。

    不管是哪一种情况，都可以通过连结AB，这条辅助线做出（当然也有其它方法），用到的其它知识点也与图1中的大同小异。但要构造出这些图形，尤其是通过分类来研究这个问题，无疑可以训练思维；而且在这个过程中体会一下包含的数学思想也十分重要。事实上，不少数学题目都可以用类似的方法进行更深一步的研究。尤其是一些几何题，自由地变一下图形，自由地换一下条件，都可以得到一些新的东西，这也是培养学生主动研究数学，深入探究的一个好方法。