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学案 专题辅导-探究题型
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这是一份学案 专题辅导-探究题型，共16页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。
探究题型
（一）学习重点
1. 综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有挑战性和综合性的问题，发展解决问题的能力。
2. 加深对“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”内容的理解，体会各部分知识之间的联系，能针对不同的探究题目采取有效的解题策略。
（二）学习关键
1. 采用多样化的方式学习，体验实际生活与数学的密切联系，提高用数学的意识。
2. 自主探索、合作交流和动手实践有机结合，养成对结果反思的好习惯。
【典型例题】
例1. 如图，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P为⊙O上一动点，
出这个三角形的面积；若不存在，请说明理由。
评析：本例“是否存在”的对象是三角形，要求满足“面积最大”的条件。解题的思路是：假定这个三角形存在，则任意画出这个假设的三角形，这时可以发现这个三角形的底是定值，其面积大小取决于高，从而将问题转化到三角形高的最值问题（线段最值）。
假设存在以A、P、B为顶点且面积最大的三角形（任意画出△ABP进行分析），作PD⊥AB于点D，则PD为弓形的高。
∵△ABP的底AB是定值，所以其面积大小取决于高PD
显然点P为优弧中点，连结PA、PB，则等腰三角形△APB即为所求。
为了求PD的长，作直径AC，连结BC，则∠C＝∠APB
例2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的直线BE折叠这个三角形，要使点C恰好与AB的中点D重合，还应添加什么条件？
评析：本题属条件开放型探究题。如果不再添加辅助线，要使D为AB的中点，可添加下列条件之一：
（1）∠BED＝∠DEA
（2）∠EBA＝∠A
（3）∠AED＝∠CEB
（4）∠A＝∠EBC
（5）∠CEB＝60°
（6）∠DEB＝60°
（7）∠DEA＝60°
（8）∠BEA＝120°
（9）∠EBC＝30°
（10）∠EBA＝30°
（11）∠A＝30°
（12）∠CBA＝60°（以上是角的关系）
（13）BE＝AE
（14）AB＝2BC
（17）△BEC≌△AED（三角形之间关系）
由于本题添加的条件属性不明，可以从不同角度、不同层次回答，因此答案繁多。虽然从理论上讲，本题的答案是有限个，但实际上，解题者很难一下子把所有答案一一列举出来。我们把这一类的条件开放题称为有限混浊型条件开放探究题。解这类题的策略是：需从多个不同角度思考，先从直接条件入手，再挖间接的、隐含的条件，并按某些规律分类表述。如本题先从角的关系来表述，再从边的关系表述，最后是从三角形之间的关系来表述，这样就容易做到不重不漏。
例3. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，是否存在另一个菱形，它的周长和面积分别是已知菱形周长和面积的2倍？请你写出自己的探究过程。
分析：此题为存在型的探究题，如果存在的话，只要找到一个符合条件的菱形就可以得出结论。如果是不存在的话，就要说明理由了。
答：存在。
设菱形ABCD边长为a，面积为s；另一个菱形为A1B1C1D1，边长＝b，面积＝S，过A做AE⊥BC于E，过A1E1⊥B1C1，C＝4a，C1＝2C
存在另一个菱形，其周长和面积是已知菱形周长和面积的2倍，菱形A1B1C1D1的边长是菱形ABCD边长的2倍，∠B1≈25.7°。
例4. 某商厦张贴巨幅广告：“真情回报顾客”活动共设奖金20万元，最高奖每份1万元，平均每份奖金200元，一顾客幸运地抽到一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围正兑奖的其他顾客，一个也没有超过50元的，她气愤地要求与商厦领导评理。商厦领导说不存在欺骗，并向她出示了下面这张奖金分配表，你认为商厦说“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？大多数中奖者获得的奖金能接近奖金的平均数吗？中一等奖的概率是多少？以后遇到开奖的问题你应该更关心什么？
分析：平均数、众数、中位数这三个统计量都是反映数据集中程度的统计量。由于每个等级设置的中奖人数差距悬殊，90%的奖券金额不超过50元，因此中奖者获得的奖金大多不能用平均数来衡量。对于开奖的问题应选择的统计量是众数。
解：
即平均每份奖券的奖金确为200元，没有欺骗顾客。
以后遇到开奖的问题，应该更关心中奖金额的众数等信息。
例5. 从鄂州到武汉有新旧两条公路可走，一辆最多可乘19人的汽车在这条公路上行驶时有关数据如下表：
说明：1升/100千米表示汽车每行驶100千米耗油1升。
（1）如果用y1（元）、y2（元）分别表示汽车从鄂州到武汉走新路、旧路时司机的收入，仅就上表数据求出y1、y2与载客人数x（人）之间的函数关系式；
（2）你认为司机应选择哪条公路才能使收入较多？
评析：表式信息的优越性就在于将所有的已知数量的对应关系显现了出来，但它反映的仅仅是对应关系，还需要找到这些数量之间的等量关系，如本例只有找到关系式：
司机的收入＝人数×票价－路程×耗油量×油价－过路费
才能解决（1）的问题：
要解决（2）的问题，需要比较y2和y1的大小。
其中x是不超过19的正整数。
即当乘车人数不到4人时，y2＞y1，走旧路比走新路司机收入多；
当乘车人数是4人或超过4人时，y2＜y1，走新路比走旧路司机收入多。
1. 如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长。
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长。
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________。
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长__________。
……
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长__________。
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的___________。
（5）请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。
2. 把棱长为a的小正方体按照如图所示的方法摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、……、第n层的小正方体的个数记为S。
请解答下列问题：
（1）在表中空白处填上适当数字：
n
1
2
3
4
……
S
1
3
6
……
（2）写出当时，S＝__________；
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点，并用平滑曲线连接各点；
（4）请你猜一猜上述各点会在某个二次函数图象上吗？如果在某个二次函数图像上，求出该函数的解析式（不要求写出自变量n的取值范围；如果不在，请说明理由。
3. 观察下列图形：
如果第x行共有y枚黑白两色围棋子，那么y与x之间的函数关系式是____________。（不要求写出x的取值范围）
4. 已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是____________。
5. 如下图，已知：⊙O的弦AC、BD相交于点E，点A为上一动点，当点A的位置在____________时，△ABE∽△ACB。
6. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些结论？
7. 已知：如图，在中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点。试判断△MEF是什么形状三角形，并证明你的猜想。
8. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，请你仔细观察后，在这个图形中除了AC＝BC外，再找出一组相等的线段，并说明你的理由。
参考答案
1. （2）；（3）；（4），；（5）
2. （1）空白处填：10 （2） （3）描点，连线，图略 （4）经观察所描各点，可知：它们在二次函数的图像上。
设函数解析式为：，则有： 解得：
3. 4. 5. A是的中点
6. （1）DE是⊙O的切线 （2）△AOD∽△ABC （3）∠ADO＝∠C
（4）∠AOD＝∠ABC （5） （6）△CDE∽△CAB等……
7. △MEF是等腰直角三角形 证明：连结AM ∵M是BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC
，MA平分∠BAC ∴∠MAB＝∠MAC＝45° ∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE∥AB，DF∥AC ∵∠BAC＝90° ∴四边形DFAE是矩形 ∴DF＝AE ∵DF⊥BF，∠B＝45°
∴∠BDF＝45°＝∠B ∴BF＝FD ∴AE＝BF ∴△AEM≌△BFM ∴EM＝FM，∠AME＝∠BMF
∴△MEF是等腰直角三角形
8. 结论：AE＝CD
∵CF⊥AE，∠ACB＝90°
探索与实践
对于一些探索与实践的题目，题中提供某些信息，供解题者观察。类比、推理、反思，从而归纳，猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生的数感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神，但猜想是合情推理，不是严格的论证，有的猜想正确，有的猜想不正确，所以对猜想的结论必须证明或验证。
【典型例题】
例1. 我们知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它们都能被8整除。试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？如果能够，请写出你的推理过程；如果不能，请说明理由。
分析：由已知三个等式可以猜想上述结论是正确的，但观察猜想并不能准确地反映这一特征，故而可设出两个连续奇数为2n＋1，2n－1，利用平方差公式因式分解可得出上述结论。
解：任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
推理如下：设这两个连续奇数为2n＋1，2n－1，（其中n为任意整数）
显然，当n为整数时，任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。
说明：要准确判别某个结论的正确与否，必须通过推理，找出其所蕴含的内在特征，才能对这个结论作出肯定或否定的判断，不能单从观察、猜想来予以说明。
例2. 已知：在△ABC与△A’B’C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’。试问：△ABC与△A’B’C’是否全等？如果全等，请给出证明；如果不全等，试举出反例来说明。
分析：显然这样的两个三角形未必全等，可举一反例说明。
解：仅由AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’不能证明△ABC≌△A’B’C’，事实上，它们可能全等，也可能不全等。
如下图，由∠C＝∠C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’时，此时△ABC≌△A’B’C’。
如下图，由∠C＝∠C’，BC＝B’C’，BA＝B’A’，但是△ABC与△A’B’C’不全等。
说明：举反例也是证明命题的一种行之有效的方法。但是，有时举反例也并非一件容易的事，它们必须建立在对已知定义、定理、公理的基础上，挖掘不足，从而发现问题，得到反例。
例3. 如图，是某城市部分街道示意图，F是EC中点，EC⊥BC，AF∥BC，AB∥DE，BD∥AE。小军和小强两人同时从B站乘车到F站。小军乘1路车，路线是B→A→E→F；小强乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由。
分析：在速度相同的情况下，“谁先到达”是由路程决定的，因此本题实质是比较BA＋AE＋EF与BD＋DC＋CF的大小。
解：同时到达。
∵AE∥BD，AB∥DE
∴四边形ABDE是平行四边形
∴AB＝DE………………①
∵EC⊥BC
∴∠ECB＝90°
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECB＝90°
即AF⊥EC
又∵F是EC的中点，∴DE＝DC
∵平行四边形ABDE中，DE＝AB
∴DC＝AB…………②
∴BA＋AE＋EF＝DC＋BD＋FC
∵两人乘车的路程相同，两车速度相同
∴两人同时到达F站
说明：此题将抽象的逻辑证明赋予现实背景，增强证明的趣味性，同时也可以让解题者体会到逻辑证明在实际中的意义和作用，体现“生活中的数学”和“数学中的生活”的密切联系。
例4. 已知：AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个什么条件？并证明四边形AEDF是菱形。
分析：题中的现有条件不能够推证出菱形AEDF。由结论入手要得菱形AEDF，首先想到能否得到平行四边形，只有D为BC中点即可，根据“AD是角平分线”联想到“三线合一”，因此可试加“AB＝AC”，构造“等腰三角形三线合一”。
解：添AB＝AC
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴D为BC中点
∵E为AB中点
∴DE为△ABC中位线
∴DE∥AC，同理：DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵E、F分别为AB、AC中点
又∵AB＝AC，∴AE＝AF
∴平行四边形AEDF是菱形
说明：培养创新精神和实践能力是素质教育的重点。开放探究题是考查这种能力的一种新题型，近年来全国各地中考命题中受到极大的关注。开放题常见类型有：条件开放型、结论开放型、条件结论全开放型，本题属于条件开放型，要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索、多途寻因。
例5. 把一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。
问题：（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连结BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。
分析：发现折叠后出现的相等的线段，相等的角是解决问题的关键。
比如：A’D＝AD，A’E＝AE，DF＝BF，∠A’＝∠A，∠A’DF＝∠B，∠BFE＝∠DFE等。
解：（1）△A’ED≌△DFC
证明：由折叠可知：
AD’＝AB，∠A’＝∠A＝90°，∠A’DF＝∠B＝90°
∵矩形ABCD中，AB＝CD，∠C＝90°，∠ADC＝90°
∴A’D＝CD，∠A’＝∠C，且∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∴△A’DE≌△DCF
（2）等腰△DEF
证明：∵△A’DE≌△DFC（已证）
∴DE＝DF
∴等腰△DEF
（3）菱形EBDF，EF⊥BD
证明：由折叠可知：BF＝DF
∵DE＝DF（已证）
∴DE＝BF
∵矩形ABCD中，DE∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵DE＝DF
∴平行四边形BEDF是菱形
∴EF⊥BD
说明：折叠问题通常是轴对称变换，其中折痕是对称轴，解决这类问题的关键是搞清折叠前后哪些量（边、角）变了，哪些量（边、角）不变，折叠后又有哪些条件可利用。通过“轴对称变换”将条件集中，从而打开解题思路，折叠问题既可以训练学生的空间想象力，又可以培养学生分析问题能力，是近几年中考中的热点题目。
1. 2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形。
求证：△ABE≌△DAH
2. △ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形。
3. 正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，。
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
（3）指出图中线段BE与DF之间的关系。
4. 梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，当梯形ABCD满足条件___________时，四边形EFGH是菱形。
证明你的发现。
5. 在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结_______________。
（2）猜想：______________________________。
（3）证明：
6. △ABC中，D、E、F分别是各边中点，连结AE、DF
（1）AE、DF有什么关系？
（2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？
（3）△ABC满足什么条件时，AE＝DF？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
7. 已知：∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AC。
求证：四边形CEDF是正方形。
8. 在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，小明想在平行四边形ABCD中截出一个菱形，于是以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F，则得到四边形ABEF，你能证明它是菱形吗？
9. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BD、BC、AC的中点，顺次连结点E、F、G、H，所得四边形是一个怎样的四边形？若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足什么条件？
10. 先阅读下面题目及小明给出的证明，再根据要求回答问题。
已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC边相交于点E，∠B的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于O。
求证：四边形ABEF是菱形。
证明：①∵四边形ABCD是平行四边形
②∴AD∥BC
③∴∠ABE＋∠BAF＝180°
④∵AE、BF分别是∠BAF、∠ABE的平分线
⑤
⑥
⑦∴∠AOB＝90°
⑧∴AE＝BF
⑨∴四边形ABEF是菱形。
问：（1）上述证明是否正确？
（2）如有错误，指出在第_________步到第_________步推理错误，应在第____________步后添加如下证明过程：_________________________。
参考答案
1. ∵正方形EFGH
∴∠FEH＝∠EHG＝90°
∠AEB＝∠AHD＝90°
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
2. （1）∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
∵D是BC中点，∴BD＝CD
∴△BDE≌△CDF
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEDF是正方形
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵△BDE≌△CDF
∴DE＝DF
∴四边形AEDF是正方形
3. （1）∵正方形ABCD
∴AD＝AB，∠DAB＝90°
∴∠DAF＝90°＝∠DAB
∵E为AD中点
又∵
∴AE＝AF
（2）旋转。将△ABE绕A点逆时针旋转90°可变到△ADF的位置。
（3）BE＝DF且BE⊥DF，延长BE交DF于G
∴BE⊥DF
4. 满足条件AD＝BC
连结AC、BD
∵G、H分别为DA、DC中点
同理，
∵等腰梯形ABCD
∴AC＝BD
∴HG＝HE＝EF＝FG
∴四边形EFGH是菱形
5. （1）连结BF
（2）猜想BF＝DE
（3）∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAE＝∠BCF
又∵AE＝CF
∴
∴BF＝DE
6. （1）AE、DF互相平分，连结DE、EF
∵D、E分别为AB、BC中点
∴DE∥AC，同理，EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分
（2）当AB＝AC时，AE⊥DF
∵D、F分别为AB、AC中点
又∵AB＝AC，∴AD＝AF
又∵四边形ADEF是平行四边形
∴四边形ADEF是菱形
∴AE⊥DF
（3）当∠BAC＝90°时，AE＝DF
∵四边形ADEF是平行四边形
又∵∠BAC＝90°
∴四边形ADEF是矩形
∴AE＝DF
（4）当AB＝AC且∠BAC＝90°时，四边形ADEF是正方形。
7. 过D点作DG⊥AB于G
∵DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠DFC＝∠DEC＝90°
又∵∠C＝90°
∴四边形CEDF是矩形
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB
∴DF＝DG
同理，DE＝DG
∴DE＝DF
∴四边形CEDF是正方形
8. 连结AE，依题意AB＝AE＝AF，又∵∠B＝60°
∴△ABE是等边三角形
∴BE＝AB
∴BE＝AF
∵平行四边形ABCD
∴AF∥BE
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵AB＝AF
∴四边形ABEF是菱形
9. 平行四边形。若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足条件AB＝CD
∵E、F分别为DA、DB中点
同理，
∴四边形EFGH为平行四边形
∵F、G分别为BD、BC中点
又
∴四边形EFGH为菱形
10. （1）不正确
（2）第⑧步到第⑨步推理错误，应在第⑧步后添加如下证明过程：
∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC
∴∠4＝∠AFB
又∵∠3＝∠4
∴∠3＝∠AFB
∴AB＝AF
同理，AB＝BE
∴AF＝BE
∴四边形ABEF是平行四边形
探究题型
（一）学习重点
1. 综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有挑战性和综合性的问题，发展解决问题的能力。
2. 加深对“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”内容的理解，体会各部分知识之间的联系，能针对不同的探究题目采取有效的解题策略。
（二）学习关键
1. 采用多样化的方式学习，体验实际生活与数学的密切联系，提高用数学的意识。
2. 自主探索、合作交流和动手实践有机结合，养成对结果反思的好习惯。
【典型例题】
例1. 如图，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P为⊙O上一动点，
出这个三角形的面积；若不存在，请说明理由。
评析：本例“是否存在”的对象是三角形，要求满足“面积最大”的条件。解题的思路是：假定这个三角形存在，则任意画出这个假设的三角形，这时可以发现这个三角形的底是定值，其面积大小取决于高，从而将问题转化到三角形高的最值问题（线段最值）。
假设存在以A、P、B为顶点且面积最大的三角形（任意画出△ABP进行分析），作PD⊥AB于点D，则PD为弓形的高。
∵△ABP的底AB是定值，所以其面积大小取决于高PD
显然点P为优弧中点，连结PA、PB，则等腰三角形△APB即为所求。
为了求PD的长，作直径AC，连结BC，则∠C＝∠APB
例2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的直线BE折叠这个三角形，要使点C恰好与AB的中点D重合，还应添加什么条件？
评析：本题属条件开放型探究题。如果不再添加辅助线，要使D为AB的中点，可添加下列条件之一：
（1）∠BED＝∠DEA
（2）∠EBA＝∠A
（3）∠AED＝∠CEB
（4）∠A＝∠EBC
（5）∠CEB＝60°
（6）∠DEB＝60°
（7）∠DEA＝60°
（8）∠BEA＝120°
（9）∠EBC＝30°
（10）∠EBA＝30°
（11）∠A＝30°
（12）∠CBA＝60°（以上是角的关系）
（13）BE＝AE
（14）AB＝2BC
（17）△BEC≌△AED（三角形之间关系）
由于本题添加的条件属性不明，可以从不同角度、不同层次回答，因此答案繁多。虽然从理论上讲，本题的答案是有限个，但实际上，解题者很难一下子把所有答案一一列举出来。我们把这一类的条件开放题称为有限混浊型条件开放探究题。解这类题的策略是：需从多个不同角度思考，先从直接条件入手，再挖间接的、隐含的条件，并按某些规律分类表述。如本题先从角的关系来表述，再从边的关系表述，最后是从三角形之间的关系来表述，这样就容易做到不重不漏。
例3. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，是否存在另一个菱形，它的周长和面积分别是已知菱形周长和面积的2倍？请你写出自己的探究过程。
分析：此题为存在型的探究题，如果存在的话，只要找到一个符合条件的菱形就可以得出结论。如果是不存在的话，就要说明理由了。
答：存在。
设菱形ABCD边长为a，面积为s；另一个菱形为A1B1C1D1，边长＝b，面积＝S，过A做AE⊥BC于E，过A1E1⊥B1C1，C＝4a，C1＝2C
存在另一个菱形，其周长和面积是已知菱形周长和面积的2倍，菱形A1B1C1D1的边长是菱形ABCD边长的2倍，∠B1≈25.7°。
例4. 某商厦张贴巨幅广告：“真情回报顾客”活动共设奖金20万元，最高奖每份1万元，平均每份奖金200元，一顾客幸运地抽到一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围正兑奖的其他顾客，一个也没有超过50元的，她气愤地要求与商厦领导评理。商厦领导说不存在欺骗，并向她出示了下面这张奖金分配表，你认为商厦说“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客？大多数中奖者获得的奖金能接近奖金的平均数吗？中一等奖的概率是多少？以后遇到开奖的问题你应该更关心什么？
分析：平均数、众数、中位数这三个统计量都是反映数据集中程度的统计量。由于每个等级设置的中奖人数差距悬殊，90%的奖券金额不超过50元，因此中奖者获得的奖金大多不能用平均数来衡量。对于开奖的问题应选择的统计量是众数。
解：
即平均每份奖券的奖金确为200元，没有欺骗顾客。
以后遇到开奖的问题，应该更关心中奖金额的众数等信息。
例5. 从鄂州到武汉有新旧两条公路可走，一辆最多可乘19人的汽车在这条公路上行驶时有关数据如下表：
说明：1升/100千米表示汽车每行驶100千米耗油1升。
（1）如果用y1（元）、y2（元）分别表示汽车从鄂州到武汉走新路、旧路时司机的收入，仅就上表数据求出y1、y2与载客人数x（人）之间的函数关系式；
（2）你认为司机应选择哪条公路才能使收入较多？
评析：表式信息的优越性就在于将所有的已知数量的对应关系显现了出来，但它反映的仅仅是对应关系，还需要找到这些数量之间的等量关系，如本例只有找到关系式：
司机的收入＝人数×票价－路程×耗油量×油价－过路费
才能解决（1）的问题：
要解决（2）的问题，需要比较y2和y1的大小。
其中x是不超过19的正整数。
即当乘车人数不到4人时，y2＞y1，走旧路比走新路司机收入多；
当乘车人数是4人或超过4人时，y2＜y1，走新路比走旧路司机收入多。
1. 如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长。
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长。
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________。
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长__________。
……
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长__________。
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的___________。
（5）请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。
2. 把棱长为a的小正方体按照如图所示的方法摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、……、第n层的小正方体的个数记为S。
请解答下列问题：
（1）在表中空白处填上适当数字：
n
1
2
3
4
……
S
1
3
6
……
（2）写出当时，S＝__________；
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点，并用平滑曲线连接各点；
（4）请你猜一猜上述各点会在某个二次函数图象上吗？如果在某个二次函数图像上，求出该函数的解析式（不要求写出自变量n的取值范围；如果不在，请说明理由。
3. 观察下列图形：
如果第x行共有y枚黑白两色围棋子，那么y与x之间的函数关系式是____________。（不要求写出x的取值范围）
4. 已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是____________。
5. 如下图，已知：⊙O的弦AC、BD相交于点E，点A为上一动点，当点A的位置在____________时，△ABE∽△ACB。
6. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些结论？
7. 已知：如图，在中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点。试判断△MEF是什么形状三角形，并证明你的猜想。
8. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，请你仔细观察后，在这个图形中除了AC＝BC外，再找出一组相等的线段，并说明你的理由。
参考答案
1. （2）；（3）；（4），；（5）
2. （1）空白处填：10 （2） （3）描点，连线，图略 （4）经观察所描各点，可知：它们在二次函数的图像上。
设函数解析式为：，则有： 解得：
3. 4. 5. A是的中点
6. （1）DE是⊙O的切线 （2）△AOD∽△ABC （3）∠ADO＝∠C
（4）∠AOD＝∠ABC （5） （6）△CDE∽△CAB等……
7. △MEF是等腰直角三角形 证明：连结AM ∵M是BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC
，MA平分∠BAC ∴∠MAB＝∠MAC＝45° ∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE∥AB，DF∥AC ∵∠BAC＝90° ∴四边形DFAE是矩形 ∴DF＝AE ∵DF⊥BF，∠B＝45°
∴∠BDF＝45°＝∠B ∴BF＝FD ∴AE＝BF ∴△AEM≌△BFM ∴EM＝FM，∠AME＝∠BMF
∴△MEF是等腰直角三角形
8. 结论：AE＝CD
∵CF⊥AE，∠ACB＝90°
探索与实践
对于一些探索与实践的题目，题中提供某些信息，供解题者观察。类比、推理、反思，从而归纳，猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生的数感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神，但猜想是合情推理，不是严格的论证，有的猜想正确，有的猜想不正确，所以对猜想的结论必须证明或验证。
【典型例题】
例1. 我们知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它们都能被8整除。试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？如果能够，请写出你的推理过程；如果不能，请说明理由。
分析：由已知三个等式可以猜想上述结论是正确的，但观察猜想并不能准确地反映这一特征，故而可设出两个连续奇数为2n＋1，2n－1，利用平方差公式因式分解可得出上述结论。
解：任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
推理如下：设这两个连续奇数为2n＋1，2n－1，（其中n为任意整数）
显然，当n为整数时，任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。
说明：要准确判别某个结论的正确与否，必须通过推理，找出其所蕴含的内在特征，才能对这个结论作出肯定或否定的判断，不能单从观察、猜想来予以说明。
例2. 已知：在△ABC与△A’B’C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’。试问：△ABC与△A’B’C’是否全等？如果全等，请给出证明；如果不全等，试举出反例来说明。
分析：显然这样的两个三角形未必全等，可举一反例说明。
解：仅由AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’不能证明△ABC≌△A’B’C’，事实上，它们可能全等，也可能不全等。
如下图，由∠C＝∠C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’时，此时△ABC≌△A’B’C’。
如下图，由∠C＝∠C’，BC＝B’C’，BA＝B’A’，但是△ABC与△A’B’C’不全等。
说明：举反例也是证明命题的一种行之有效的方法。但是，有时举反例也并非一件容易的事，它们必须建立在对已知定义、定理、公理的基础上，挖掘不足，从而发现问题，得到反例。
例3. 如图，是某城市部分街道示意图，F是EC中点，EC⊥BC，AF∥BC，AB∥DE，BD∥AE。小军和小强两人同时从B站乘车到F站。小军乘1路车，路线是B→A→E→F；小强乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由。
分析：在速度相同的情况下，“谁先到达”是由路程决定的，因此本题实质是比较BA＋AE＋EF与BD＋DC＋CF的大小。
解：同时到达。
∵AE∥BD，AB∥DE
∴四边形ABDE是平行四边形
∴AB＝DE………………①
∵EC⊥BC
∴∠ECB＝90°
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECB＝90°
即AF⊥EC
又∵F是EC的中点，∴DE＝DC
∵平行四边形ABDE中，DE＝AB
∴DC＝AB…………②
∴BA＋AE＋EF＝DC＋BD＋FC
∵两人乘车的路程相同，两车速度相同
∴两人同时到达F站
说明：此题将抽象的逻辑证明赋予现实背景，增强证明的趣味性，同时也可以让解题者体会到逻辑证明在实际中的意义和作用，体现“生活中的数学”和“数学中的生活”的密切联系。
例4. 已知：AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个什么条件？并证明四边形AEDF是菱形。
分析：题中的现有条件不能够推证出菱形AEDF。由结论入手要得菱形AEDF，首先想到能否得到平行四边形，只有D为BC中点即可，根据“AD是角平分线”联想到“三线合一”，因此可试加“AB＝AC”，构造“等腰三角形三线合一”。
解：添AB＝AC
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴D为BC中点
∵E为AB中点
∴DE为△ABC中位线
∴DE∥AC，同理：DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵E、F分别为AB、AC中点
又∵AB＝AC，∴AE＝AF
∴平行四边形AEDF是菱形
说明：培养创新精神和实践能力是素质教育的重点。开放探究题是考查这种能力的一种新题型，近年来全国各地中考命题中受到极大的关注。开放题常见类型有：条件开放型、结论开放型、条件结论全开放型，本题属于条件开放型，要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索、多途寻因。
例5. 把一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。
问题：（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连结BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。
分析：发现折叠后出现的相等的线段，相等的角是解决问题的关键。
比如：A’D＝AD，A’E＝AE，DF＝BF，∠A’＝∠A，∠A’DF＝∠B，∠BFE＝∠DFE等。
解：（1）△A’ED≌△DFC
证明：由折叠可知：
AD’＝AB，∠A’＝∠A＝90°，∠A’DF＝∠B＝90°
∵矩形ABCD中，AB＝CD，∠C＝90°，∠ADC＝90°
∴A’D＝CD，∠A’＝∠C，且∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∴△A’DE≌△DCF
（2）等腰△DEF
证明：∵△A’DE≌△DFC（已证）
∴DE＝DF
∴等腰△DEF
（3）菱形EBDF，EF⊥BD
证明：由折叠可知：BF＝DF
∵DE＝DF（已证）
∴DE＝BF
∵矩形ABCD中，DE∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵DE＝DF
∴平行四边形BEDF是菱形
∴EF⊥BD
说明：折叠问题通常是轴对称变换，其中折痕是对称轴，解决这类问题的关键是搞清折叠前后哪些量（边、角）变了，哪些量（边、角）不变，折叠后又有哪些条件可利用。通过“轴对称变换”将条件集中，从而打开解题思路，折叠问题既可以训练学生的空间想象力，又可以培养学生分析问题能力，是近几年中考中的热点题目。
1. 2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形。
求证：△ABE≌△DAH
2. △ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形。
3. 正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，。
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
（3）指出图中线段BE与DF之间的关系。
4. 梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，当梯形ABCD满足条件___________时，四边形EFGH是菱形。
证明你的发现。
5. 在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结_______________。
（2）猜想：______________________________。
（3）证明：
6. △ABC中，D、E、F分别是各边中点，连结AE、DF
（1）AE、DF有什么关系？
（2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？
（3）△ABC满足什么条件时，AE＝DF？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
7. 已知：∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AC。
求证：四边形CEDF是正方形。
8. 在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，小明想在平行四边形ABCD中截出一个菱形，于是以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F，则得到四边形ABEF，你能证明它是菱形吗？
9. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BD、BC、AC的中点，顺次连结点E、F、G、H，所得四边形是一个怎样的四边形？若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足什么条件？
10. 先阅读下面题目及小明给出的证明，再根据要求回答问题。
已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC边相交于点E，∠B的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于O。
求证：四边形ABEF是菱形。
证明：①∵四边形ABCD是平行四边形
②∴AD∥BC
③∴∠ABE＋∠BAF＝180°
④∵AE、BF分别是∠BAF、∠ABE的平分线
⑤
⑥
⑦∴∠AOB＝90°
⑧∴AE＝BF
⑨∴四边形ABEF是菱形。
问：（1）上述证明是否正确？
（2）如有错误，指出在第_________步到第_________步推理错误，应在第____________步后添加如下证明过程：_________________________。
参考答案
1. ∵正方形EFGH
∴∠FEH＝∠EHG＝90°
∠AEB＝∠AHD＝90°
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
2. （1）∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
∵D是BC中点，∴BD＝CD
∴△BDE≌△CDF
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEDF是正方形
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵△BDE≌△CDF
∴DE＝DF
∴四边形AEDF是正方形
3. （1）∵正方形ABCD
∴AD＝AB，∠DAB＝90°
∴∠DAF＝90°＝∠DAB
∵E为AD中点
又∵
∴AE＝AF
（2）旋转。将△ABE绕A点逆时针旋转90°可变到△ADF的位置。
（3）BE＝DF且BE⊥DF，延长BE交DF于G
∴BE⊥DF
4. 满足条件AD＝BC
连结AC、BD
∵G、H分别为DA、DC中点
同理，
∵等腰梯形ABCD
∴AC＝BD
∴HG＝HE＝EF＝FG
∴四边形EFGH是菱形
5. （1）连结BF
（2）猜想BF＝DE
（3）∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAE＝∠BCF
又∵AE＝CF
∴
∴BF＝DE
6. （1）AE、DF互相平分，连结DE、EF
∵D、E分别为AB、BC中点
∴DE∥AC，同理，EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分
（2）当AB＝AC时，AE⊥DF
∵D、F分别为AB、AC中点
又∵AB＝AC，∴AD＝AF
又∵四边形ADEF是平行四边形
∴四边形ADEF是菱形
∴AE⊥DF
（3）当∠BAC＝90°时，AE＝DF
∵四边形ADEF是平行四边形
又∵∠BAC＝90°
∴四边形ADEF是矩形
∴AE＝DF
（4）当AB＝AC且∠BAC＝90°时，四边形ADEF是正方形。
7. 过D点作DG⊥AB于G
∵DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠DFC＝∠DEC＝90°
又∵∠C＝90°
∴四边形CEDF是矩形
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB
∴DF＝DG
同理，DE＝DG
∴DE＝DF
∴四边形CEDF是正方形
8. 连结AE，依题意AB＝AE＝AF，又∵∠B＝60°
∴△ABE是等边三角形
∴BE＝AB
∴BE＝AF
∵平行四边形ABCD
∴AF∥BE
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵AB＝AF
∴四边形ABEF是菱形
9. 平行四边形。若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足条件AB＝CD
∵E、F分别为DA、DB中点
同理，
∴四边形EFGH为平行四边形
∵F、G分别为BD、BC中点
又
∴四边形EFGH为菱形
10. （1）不正确
（2）第⑧步到第⑨步推理错误，应在第⑧步后添加如下证明过程：
∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC
∴∠4＝∠AFB
又∵∠3＝∠4
∴∠3＝∠AFB
∴AB＝AF
同理，AB＝BE
∴AF＝BE
∴四边形ABEF是平行四边形
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