学案 专题辅导-需要分类求解的行程问题

  需要分类求解的行程问题

    有些行程问题，由于题目中条件开放，致使求解结果不惟一。同学们在解题时，如果考虑不全面，时常发生漏解现象，现就几种常见题型分类解析如下，望能引起同学们的注意。

一、需要分类求解的相遇问题

  例1. A、B两站相距900千米，一列慢车从A站开出，速度为每小时55千米。同一时刻一列快车从B站开出，速度为每小时80千米，两车相向而行，经过多少小时两车相距45千米？

    分析：题中求“经过多少小时两车相距45千米？”但没有指出是相遇前两车相距45千米，还是相遇后两车相距45千米，因而情况不明，需分类求解。

    解：设经过x小时两车相距45千米

    （1）当相遇前两车相距45千米时，依题意，得：

    解得：

    （2）当相遇后两车又相距45千米时，依题意，得：

    解得：

    答：经过小时或7小时两车相距45千米。

二、需要分类求解的追及问题

  例2. 甲、乙两人分别从相距2.5千米的两地沿同一条公路同时同向出发进行骑自行车训练。已知甲、乙两人的速度分别为12.5千米/时和15千米/时，问经过几小时后两人相距3千米？

    分析：本题属行程问题中的追及问题，但不明确甲、乙两人谁在前，谁在后，因而要分两种情况求解。

    解：设经过x小时后两个相距3千米

    （1）当甲在乙前面时，依题意，可得方程

    解得：

    （2）当乙在甲前面时，依题意，可得方程

    解得：

    答：经过2.2小时或0.2小时后两人相距3千米。

三、需要分类求解的环行问题

  例3. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问经过多少秒钟后两人首次相遇？

    分析：虽然环行问题可转化为追及问题或相遇问题去解决，但本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，更不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是哪一部分，所以解题时应分类讨论，逐一求解。

    解：设经过x秒甲、乙两人首次相遇。

    （1）若两人同向跑步，且甲在乙前面8米时，依题意，得方程：

    解得：

    （2）若两人同向跑步，且乙在甲前面8米时，依题意，得方程：

    解得：

    （3）若两人反向跑步，且相距8米时，依题意，得方程：

    解得：

    （4）若两人反向跑步，且相距米时，依题意，得方程：

    解得：

    答：当甲、乙两人在环形跑道上同向跑步时，经过196秒或4秒首次相遇，反向跑步时，经过或28秒首次相遇。

四、需要分类求解的航行问题

  例4. 某船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共行驶了5小时。已知船在静水中的速度为10千米/时，水流速度是2千米/时，若A、C两地相距2千米，求A、B两地间的距离。

    分析：题中没有指明C地是否在A地与B地之间，因而需分两种情况求解。

    解：设A、B两地间的距离为x千米

    （1）若C地在A、B两地之间时，依题意，得方程：

    解得：

    （2）若C地不在A、B两地之间时，依题意，得方程：

    解得：

    答：A、B两地间的距离为千米或千米。