中考数学中考专项复习： 尺规作图

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1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A.三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
【解析】依题意，知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，所以，它是三条边的垂直平分线的交点，故选择D.
2.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．分别以顶点A、B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧在直线AB两侧分别交于M、N两点，过M、N作直线交AB于点P，交AC于点D，连接BD．下列结论中，错误的是（ ）
A．直线AB是线段MN的垂直平分线
B．CD=AD
C．BD平分∠ABC
D．S△APD=S△BCD
【解析】解：A、用作法可得MN垂直平分AB，所以A选项为假命题；
B、因为DA=DB，则∠A=∠DBA=30°，则∠CBD=30°，所以CD=BD=AD，所以B选项为真命题；
C、因为∠DBA=∠CBD=30°，所以C选项为真命题；
D、因为DB平分∠ABC，则DP=DC，所以Rt△APD≌Rt△BCD，所以D选项为真命题．
故选A．
3.如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A.D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF.若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是【 】
A．6 B．7 C．8 D．9

答案：C
4.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、NF、GF、GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形
C．四边形EGFH为菱形 D．△EFH为等腰三角形
【解析】由题意可知过这两点的直线GH是EF边的垂直平分线，所以EG=FG，EH=FH所以△EGH为等腰三角形, △EFH为等腰三角形，故答案为B
5.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，
大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，
则ΔABD的面积为 A．15 B．30 C．45 D．60
【解析】AM=AN，MP=NP，又AP=AP,∴AD平分∠CAB ,过D作DE⊥AB，又DC⊥AC,∴DE=DC=4 ∴△ABD的面积=AB·DE=×15×4=30，故选择B ．
6.如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6B．2C．3D．
【解析】解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
故选：C．
7.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、NF、GF、GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形
C．四边形EGFH为菱形 D．△EFH为等腰三角形
【解析】由题意可知过这两点的直线GH是EF边的垂直平分线，所以EG=FG，EH=FH所以△EGH为等腰三角形, △EFH为等腰三角形，故答案为B
8.先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
第1题
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为 （7，0） ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）①作出△ABC的两边的中垂线的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；
②D就是①中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可；
（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
②根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；
（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．
∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），
∴D的坐标是（0，），即BC=PC=，
在直角△BCD中，BC=，BD=，
则CD==，
则OP=CD=，
故P的坐标是（，0）．
9.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠BAC和边AB上一点D．
求作：⊙O，使⊙O与∠BAC的两边分别相切，其中与AB相切于点D，且圆心O落在∠ABC的内部．
【解析】解：如图，⊙O为所作．
10.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= AP ，CB= CQ ，
∴PQ∥l（ 三角形中位线定理 ）（填推理的依据）．
【解析】（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
11.在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．
（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：
将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．
【解析】解：（1）如图点O即为所求；
（2）设切点为C，连接OM，OC．
∵MN是切线，
∴OC⊥MN，
∴CM=CN=5，
∴OM2﹣OC2=CM2=25，
∴S圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π．
【沙场点兵】
1.（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解析】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．
2.（2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解析】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
3.（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2
C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cs2D=1
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解析】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正确，
故选：D．

4.（2018•嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．
【解析】解：A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；
D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；
故选：C．
5.（2018•台州）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】只要证明BE=BC即可解决问题；
【解析】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．

6.（2018•台湾）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解析】解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．

7.（2018•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解析】解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；
故选：D．
8.（2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A． rB．（1+）rC．（1+）rD． r
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
【解析】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故选：D．
9.如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．