2022年中考数学总复习专题练习－圆与尺规作图

　圆与尺规作图

一、选择题(每题3分,共30分)

1.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A = 80°,则∠C的度数是 (　　)

A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°

第1题　　　　第3题

2. 直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 (　　)

A. r<6　 B. r>6    C. r≥6  D. r≤5

3. (2020广西南宁)如图,在△ABC中,BA = BC,∠B = 80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为              (　　)

A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°

4.如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点,设∠ABC = 25°,则∠BDC =  (　　)

A. 85° B. 75° C. 70° D. 65°

第4题　　　第5题

5.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是 (　　)

A. 144° B. 130° C. 129° D. 108°

6.在△ABC中,∠BAC = 90°,AB≠AC. 用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形. 下列作法不正确的是              (　　)

A    B   C    D

7.如图,A(8,0),C( - 2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为 (　　)

A. (0,5)    B. (5,0)     C. (6,0)    D. (0,6)

第7题　　第8题

8.有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC = 130°,求∠A. ”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图. 由∠BOC = 2∠A = 130°,得∠A = 65°. 而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个不同的值. ”下列判断正确的是              (　　)

A. 淇淇说的对,且∠A的另一个值是115°

B. 淇淇说的不对,∠A就得65°

C. 嘉嘉求的结果不对,∠A应得50°

D. 两人都不对,∠A应有3个不同值

9.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D. 若☉O的半径为1,则BD的长为              (　　)

A. 1 B. 2

C.  D.

第9题　　第10题

10.已知线段AB,按如下步骤作图:①作射线AC,使AC⊥AB;②作∠BAC的平分线AD;③以点A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点E;④过点E作EP⊥AB于点P,则AP∶AB =               (　　)

A. 1∶     B. 1∶2 

C. 1∶     D. 1∶

二、填空题(每题4分,共32分)

11.如图是圆弧形状的铁轨示意图,半径OA的长度为200米,圆心角∠AOB = 90°,则这段铁轨的长度为　　　　米. (铁轨的宽度忽略不计,结果保留π) 

第11题　　第12题

12.如图,在半径为6的☉O中,圆心角∠AOB = 60°,则阴影部分的面积为　　　　.  

13.点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是　　　　.  

14.如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C和点D,则tan∠ADC = 　　　　.  

第14题　　第15题

15.如图,在△ABC中,AB = AC,∠C = 70°,分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交AC于点D,连接BD,则∠BDC = 　　　　°.  

16.如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 2. 以点C为圆心,CB长为半径画弧,分别交AC,AB于点D,E,则图中阴影部分的面积为　　　　(结果保留π).  

17. 今有一副三角板(如图1),中间各有一个直径为4 cm的圆洞,现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内(如图2),则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为　　　 cm2. (不计三角板的厚度,精确到0. 1 cm2) 

　图1　　　图2

18. 如图1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形ABCD,AB,AD的长分别是2 m和4 m,上部是圆心为O的劣弧CD,圆心角∠COD = 120°. 现欲以B点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示,记拱门上的点到地面的最大距离为h m,则h的最大值为　　　　　　　 m.  

图1 图2

图3 图4

三、解答题(共58分)

19. (8分)已知:如图,在△OAB中,OA = OB,☉O与AB相切于点C. 求证:AC = BC. 小明同学的证明过程如下框:

小明的证法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请写出你的证明过程.

20. (10分)如图,的半径OA = 2,OC⊥AB于点C,∠AOC = 60°.

(1)求弦AB的长.

(2)求的长.

21. (10分)如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,以AB为直径的☉O分别交BC,AC于点D,E,连接DE.

(1)求证:DE = CD;

(2)过点D的弦DF分别交弦BE,直径AB于点M,N,试探究线段CD,DM,DF之间的数量关系.

22. (10分)请仅用无刻度的直尺完成下列作图,保留作图痕迹.

(1)在图1中,OA = OB,BD = AC,作出图中∠AOB的平分线OP.

(2)在图2中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,O,B都在格点上,请在网格中完成下列问题.

①作出图中∠AOB的平分线OP;

②在格点上找到一点Q,使得tan∠POQ = .

图1　图2

23. (10分)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径. 直线l与☉O相切于点A,在l上取一点D,使得DA = DC,线段DC,AB的延长线相交于点E.

(1)求证:直线DC是☉O的切线;

(2)若BC = 2,∠CAB = 30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π).

24. (10分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.

(1)求证:∠CAD = ∠ECB;

(2)若CE是☉O的切线,∠CAD = 30°,连接OC,如图2.

①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;

②当AB = 2时,求AD,AC与围成的阴影部分的面积.

图1　　图2

参考答案

1. B　2. B　3. B　4. D　5. A　6. A　7. D　8. A

9. D　解析:连接OB,

∵四边形OABC是菱形,

∴OA = AB,

∵OA = OB,

∴OA = AB = OB,

∴∠AOB = 60°,

∵BD是☉O的切线,

∴∠DBO = 90°,

∵OB = 1,∴BD = OB = ,

故选D.

10. D　解析:∵AC⊥AB,

∴∠CAB = 90°,

∵AD平分∠BAC,

∴∠EAB = × 90° = 45°,

∵EP⊥AB,

∴∠APE = 90°,

∴∠EAP = ∠AEP = 45°,

∴AP = PE,

设AP = PE = x,

则AE = AB = x,

∴AP∶AB = x∶x = 1∶.

故选D.

11. 100π　12. 6π　13. 6. 5 cm或2. 5 cm

14. 　解析:∵AB为直径,

∴∠ACB = 90°,

在Rt△ABC中,tan∠ABC = = ,

∵∠ADC = ∠ABC,∴tan∠ADC = .

15. 80　解析:∵AB = AC,∠C = 70°,

∴∠ABC = ∠C = 70°,

∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°,

∴∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 40°,

由作图过程可知DM是AB的垂直平分线,

∴AD = BD,∴∠ABD = ∠A = 40°,

∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 40° + 40° = 80°.

16. π - 　解析:在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,

则∠CBA = 60°.

连接CE(图略),则CE = CB,

∴△BCE是等边三角形,

∴∠BCE = 60°,

∴S阴影 = S扇形BCE - S△BCE = - × 22 = - .

17. 14. 9　解析:假设三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分为△ABC,BC = 4 cm,∠BAC = 30°,

如图,作△ABC的外接圆☉P,连接PA,PB,PC,作PD⊥BC于点D,则PB = PC = PA,

∵∠BAC = 30°,

∴∠BPC = 2∠BAC = 60°.

∴△PBC是等边三角形.

∴BD = CD = 2,PD = 2,BP = BC = PA = 4.

连接AD,则AD≤AP + PD = 4 + 2,

∴当A,P,D在同一直线上时,AD有最大值,

此时,AD⊥BC,

∴S△ABC = ·BC·AD = × 4 × (4 + 2) = 8 + 4≈14. 9(cm2).

故答案为14. 9.

18. (2 + 2)　解析:如图所示,过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P,交地面于点Q,PQ与CD交于点H.

连接BD,连接BO并延长交于点M.

在△COD中,

∠DOC = 120°,OD = OC,

∴DC = AB = 2,

易得OD = 2,OH = 1,OQ = 3.

∵BQ = ,∴OB = 2.

∴BM = 2 + 2.

易得BA<BC<BD<BM.

∴当旋转到BM与地面垂直时,h取得最大值.

h最大 = BM = 2 + 2.

19. 解:证法错误;

证明:连接OC,

∵☉O与AB相切于点C,

∴OC⊥AB,

∵OA = OB,OC = OC,

∴Rt△OAC≌Rt△OBC,

∴AC = BC.

20. 解:(1)∵的半径OA = 2,OC⊥AB于点C,∠AOC = 60°,

∴AC = OA·sin 60° = 2 × = ,

∴AB = 2AC = 2.

(2)∵OC⊥AB,∠AOC = 60°,

∴∠AOB = 120°,

∵OA = 2,

∴的长是 = .

21. (1)证明:如图,连接AD.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB = ∠AEB = 90°.

∴∠BEC = 90°,AD⊥BC.

又∵AB = AC,

∴BD = CD.

在Rt△BEC中,

∵DE是斜边BC上中线,

∴DE = BC = CD.

即DE = CD.

(2)解:如图,连接EF.

∵AB = AC,AD⊥BC,∴∠BAD = ∠CAD.

又∵∠BAD = ∠BED,∠CAD = ∠F,

∴∠DEB = ∠F.

又∵∠EDM = ∠FDE,∴△EDM∽△FDE,

∴ = ,∴DE2 = DM·DF.

由(1)知,DE = CD,

∴CD2 = DM·DF.

22. 解:(1)如图1,射线OP即为所求.

(2)①如图2,射线OP即为所求;

②如图2,点Q即为所求.

图1　图2

23. (1)证明:连接OC,

∵AB是☉O的直径,直线l与☉O相切于点A,

∴∠DAB = 90°,

∵DA = DC,OA = OC,

∴∠DAC = ∠DCA,

∠OAC = ∠OCA,

∴∠DCA + ∠ACO = ∠DAC + ∠CAO,

即∠DCO = ∠DAO = 90°,

∴OC⊥CD,

∴直线DC是☉O的切线.

(2)解:∵∠CAB = 30°,

∴∠BOC = 2∠CAB = 60°,

∵OC = OB,

∴△COB是等边三角形,

∴OC = OB = BC = 2,

∴CE = OC = 2,

∴图中阴影部分的面积 = S△OCE - S扇形COB = × 2 × 2 - = 2 - .

24. (1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,

∴∠CBE = ∠D,

∵AD为☉O的直径,

∴∠ACD = 90°,

∴∠D + ∠CAD = 90°,

∴∠CBE + ∠CAD = 90°,

∵CE⊥AB,

∴∠CBE + ∠ECB = 90°,

∴∠CAD = ∠ECB.

(2)解:①四边形ABCO是菱形,理由:

∵∠CAD = 30°,

∴∠COD = 2∠CAD = 60°,∠D = 90° - ∠CAD = 60°,

∵CE是☉O的切线,

∴OC⊥CE,

∵CE⊥AB,

∴OC∥AB,

∴∠DAB = ∠COD = 60°,

∵∠EBC = ∠D = 60° = ∠DAB,

∴BC∥OA,

∴四边形ABCO是平行四边形,

∵OA = OC,

∴▱ABCO是菱形.

②由①知,四边形ABCO是菱形,

∴OA = OC = AB = 2,

∴AD = 2OA = 4,

在Rt△ACD中,∠CAD = 30°,

∴CD = 2,AC = 2,

∴AD,AC与围成阴影部分的面积为

S△AOC + S扇形COD

 = S△ACD + S扇形COD

 = × × 2 × 2 +

 = + π.