7.3 尺规作图-中考数学一轮复习 知识点+练习

第七章 图形的变化

7.3尺规作图

一、课标解读

1.能用尺规完成五种基本作图;

2.会利用基本作图作三角形:已知三边、两边及夹角、两角及其夹边作三角形;巳知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形;

3.会利用基本作图完成:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形;

4.在尺规作图中，了解作图的道理,保留作图的痕迹，不要求写出作法.

二、知识点回顾

知识点1. 五种基本尺规作图

知识点2.利用基本作图作三角形

(1)已知三边作三角形．

(已知)　　                           (已知三边作三角形)

作法：①作直线，在直线上截取AB＝c；

②以点A为圆心，b为半径作弧，以点B为圆心，a为半径作弧且与前弧相交于点C；

③连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形．

(2)已知两边及其夹角作三角形．

            (已知)　　                 (已知两边及其夹角作三角形)

作法：①作∠CAB＝∠α；

②在AB上截取AB＝m，在AC上截取AC＝n；

③连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．

(3)已知两角及其夹边作三角形．

                 (已知)　                           (已知两角及其夹边作三角形)

作法：①作线段AB＝m；

②在AB的同侧作∠A＝∠α，∠B＝∠β；

③∠A与∠B的另一边相交于点C，则△ABC即为所求作的三角形．

(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形．

  (已知)               

作法：①作线段AB＝m；

②在AB的同侧作∠A＝∠α，∠B＝∠β；

③∠A与∠B的另一边相交于点C，则△ABC即为所求作的三角形．

(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．

(已知)　　

作法：①作线段AC＝b；

②过点A作AC的垂线l；

③以点C为圆心，线段a长为半径作弧，交l于点B；

④连接BC，则△ABC即为所求作的直角三角形．

知识点3.利用基本作图作圆

(1)过不在同一条直线上的三点作圆．

作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF；

②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；

③以EF和MN的交点O为圆心，OB长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．

(2)作三角形的外接圆．

作法：①作线段AC的垂直平分线EF；

②作线段AB的垂直平分线MN；

③以EF和MN的交点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．

(3)作三角形的内切圆．

作法：①作∠B的平分线；

②作∠C的平分线；

③两条角平分线交于点O；

④在直线AB的另一侧取一点E；

⑤过点O作直线AB的垂线交AB于点F；

⑥以点O为圆心，OF长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．

三、热点训练

热点1：根据作图痕迹进行判断

一练基础

1．（2022·吉林·长春北师大附属学校八年级期末）如图，在△ABC中，．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2021·山东·营口市第一中学沿海分校二模）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ）

A． B． C． D．无法确定

3．（2021·广西柳江·二模）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（       ）

A．作一个角等于已知角 B．作一个角的平分线

C．作一条线段的垂直平分线 D．过直线外一点P作已知直线的垂线

4．（2021·江苏东台·八年级阶段练习）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图

①作射线 ；

②以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；

③以为圆心，OC为半径作弧 ，交 于 ；

④以 为圆心，CD为半径作弧，交弧 于 ；

⑤过点 作射线 ，则 就是所求作的角

请完成下列问题：

（1）该作图的依据是       （填序号）①ASA；②SAS；③AAS；④SSS

（2）请证明 ＝∠AOB

5．（2020·北京东城·二模）下面是“作一个角”的尺规作图过程．

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：，

_____________．

_____．（_____________）（填推理的依据）

题的关键．

二练巩固

6．（2021·河北滦州·二模）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．

如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．

作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；

（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；

（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；

（4）作⊕，则∠DEF即为所求作的角．

A．△表示点E B．○表示PQ

C．*表示ED D．⊕表示射线EF

7．（2021·河北·九年级专题练习）如图，已知平行四边形，，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：

步骤1：以为圆心，长为半径画弧①，分别交，于点，；

步骤2：以为圆心，以长为半径画弧②，交于点；

步骤3：以为圆心，以长为半径画弧③，弧②和弧③交于点，过作射线，交于点．则下列叙述不正确的是：（   ）

A． B． C．平分 D．

8．（2021·内蒙古额尔古纳·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（     ）

①是的平分线；

②；

③点D在AB的中垂线上；

④：：．

A． B． C． D．

9．（2020·河北·模拟预测）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（       ）．

A．的外心 B．的内心

C．的外心 D．的内心

10．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．

三练拔高

11．（2021·全国·八年级单元测试）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：

已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．

求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．

作法：如图（2），

（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；

（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；

（3）作射线CC．

所以∠CCA就是所求作的角

此作图的依据中不含有（　　）

A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等

C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线

12．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（       ）

A． B．

C． D．

13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点C；以点C为圆心，AC长为半径向上作优弧，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧，交优弧于点D，连结AD、BD，BD交MN于点E．则下列结论不成立的是（       ）

A． B．

C． D．

14．（2019·浙江南浔·中考模拟）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（　　）

A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形

C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心

15．（2020·北京怀柔·二模）已知中，，M是BC的中点．如图．

（1）以M为圆心．MB为半径，作半圆M﹔

（2）分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D；

（3）连接AM，AD，CD；

（4）作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC；

（5）以点G为圆心，线段GC为半径，作．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：

①点A在半圆M上；②；③；④；⑤；⑥．一定正确的是________．

热点2：根据作图痕迹求解

一练基础

1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·西藏·九年级专题练习）如图，在ABC中，AC＝4，BC＝8，分别以点A，B为圆心，等长为半径作弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，再以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G，连接AG并延长交BC于点H．则BH长_____．

3．（2021·四川·成都七中万达学校通锦校区九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=40°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD．则∠EBD的度数为_______．

4．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点.

（1）找出模具的圆心；

（2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径.

5．（2022·广东广州·一模）如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．

(1)以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．

二练巩固

6．（2021·西藏·中考真题）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4.按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是_______________．

7．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是_____．

8．（2021·山西盂县·一模）如图，木工师傅在板材边角处做直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：

（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；

（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；

（3）连接BD、BC．

下列说法正确的是：_____（把所有正确的序号都写出来）

①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1

9．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）如图，在中，，按如下步骤作图：

①分别以点A和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于、两点；

②作直线，交于点，交于点；

③连接．

请根据以上材料回答下列问题：

（1）图中所作的直线是线段的___________线；

（2）若，则__________；

（3）利用（1）中的结论解决问题：若，，求的周长．

10．（2021·广东南海·一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．

（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．

三练拔高

11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，点分别为射线，线段上的动点，若，则的最小值为（　　　）

A． B．1 C． D．

12．（2021·辽宁兴城·二模）如图，中，，，以为圆心，为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，则的长为______；

13．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）

(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，求⊙O的半径．

14．（2021·重庆·字水中学三模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，满足．

（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论：

①作线段AC的垂直平分线l，分别交AD、BC于点E、F；②连接CE；

（2）在（1）的条件下，已知，，求的值．

15．（2021·江苏·九年级专题练习）（1）如图1，已知线段a，请用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC，使斜边AB＝a，∠A＝30°；

（2）如图2，已知矩形MNPQ中，MN＝6，若在边PQ上存在一点D，使∠MDN＝30°，则边NP长度的取值范围是 ．