高三数学三角函数专题 方法8：换元法求三角函数最值或值域

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方法8 换元法求三角函数最值或值域
一、多选题
1．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．将函数图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位后关于轴对称
D．函数在上的最小值为
【答案】AB
【分析】
利用三角函数的最小正周期公式、单调性的求法、三角函数图象变换以及三角函数最值的求法分析选项，由此确定正确选项.
【解析】
，故最小正周期为，A正确；
当时，，而当时，单调递增，故B正确；
将函数图象的横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移个单位，得到，不关于轴对称，故C错误；
当时，，故，故D错误.
故选：AB
2．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】
由正弦函数的周期公式可判断A；代入得函数有最小值，可判断B；由得，可判断C；根据三角恒等变换可判断D.
【解析】
∵的周期为，故A正确；
∵时，，此时有最小值，图象关于对称，B正确；
∵时，，∴在上不单调，C错误；
∵，故D正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称性、以及最值，属于基础题.
3．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数；
B．在上为减函数，在上为增函数；
C．在上恒成立；
D．函数的最大值为.
【答案】ACD
【分析】
依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【解析】
由题意，根据三角函数的定义可知，，，
对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；
对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；
对于C，当时，
，故C正确；
对于D，函数，
求导，
令，则；令，则，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当即，时，函数取得极大值，
又当即，时，，
所以函数取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
【小结】
考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

二、单选题
4．函数在上的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【分析】
利用诱导公式和二倍角的余弦公式化简，再将函数看成关于的二次函数可求得结果.
【解析】

,
因为，所以，
所以当时，取得最小值.
故选：C
【小结】
将函数看成关于的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键.
5．函数部分图象如图所示，当时最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先结合图像求得的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最小值.
【解析】
由已知，
由图象可知取，，
故最小正周期，所以，
所以，
由，
及图象单调性知，取，则
所以，，，
最小值为.
故选：D
6．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【解析】
，其中，
处取得最大值，
，即，，
，①，，
，，
，②，
①②得，
，
即，解得，（舍去），
由①得，，
，
在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：B
【小结】
解答本题的关键点是求出的值，需要转化，且在处取得最大值，得到，，再根据同角的平方关系得到关于的方程，解方程即得解.也是方程思想的体现.
7．函数部分图象如图所示，当时，最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先结合图像求得的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最小值.
【解析】
由已知，
由图象可知取，，故最小正周期，所以，
所以，
由，及图象单调性知，取，
所以，，，
最小值为.
故选：D
【小结】
根据图象求三角函数的解析式，利用最值求，利用周期求，利用点的坐标求.
8．已知函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，结合三角函数的性质整体换元求得当时，，再根据分段函数即可得答案.
【解析】
解：当时，，
所以，即，
所以当时，.
当时，，
故的最小值为.
故选：B.
【小结】
本题考查三角函数的值域求解，考查运算能力，是基础题.
9．函数，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．
【解析】
函数，
令，由可得，
，
由二次函数可知当时，单调递增，
当时，函数取最小值，
故选：．
【小结】
本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．


三、解答题
10．已知函数.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域；
（2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解.
【解析】
（1），
令，，
由的图像知，，即，，

所以函数的值域为.
（2）
，，即
，，且或
由于方程在区间上至少有两个不同的解，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【小结】
考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
11．已知奇函数在上有定义，在上是增函数，，又知函数，，集合恒有，恒有，求．
【答案】
【分析】
根据题意可知条件为，在上恒成立，记，且，设，将问题转化为函数在的最小值大于0，求的值，再利用二次函数的图象与性质，讨论对称轴所在的区间即可求解.
【解析】
由于奇函数在上是增函数，则在上也是增函数.
又因为，所以.
因此，同时满足及的条件为，.
即，
，
. ①
记，则.
又设.
则本题等价于：求，使，.
这又相当于函数在的最小值大于0时，求的值.
考虑函数图象的对称轴相对于的不同位置.
（1）当时，有最小值.解.此时无解.
（2）当时，为最小值.解，
得.
（3）当时，为最小值.解，得.
综合（1）、（2）、（3）得.
【小结】
本题考查了换元法求函数的最值，二次函数的图象与性质，解题的关键是将问题转化为求函数在的最小值大于0时，的值，考查了运算能力、分析能力以及转化能力.
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数y＝f(x)在上的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由图可得，，求出，再利用即可求出；
（2）由可得，再利用正弦函数的性质即可求出值域.
【解析】
解：（1）由图象可知A＝1，，所以ω＝2．
，
，
，解得，
，
所以．
（2）当时，，
所以，
所以函数f(x)的值域为．
【小结】
根据三角函数部分图象求解析式的方法：
（1）根据图象的最值可求出；
（2）求出函数的周期，利用求出；
（3）取点代入函数可求得.
13．已知函数部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间.
（2）将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）结合图象可得，则，再利用正弦函数的性质，采用整体代入法求解其单调区间；
（2）由图象变换得，将条件转化为在上有解，即可得实数的取值范围.
【解析】
（1）由图象可知：，所以，则，
又得，又，所以，
所以，
由得，，
所以的单调递增区间为；
（2）由图象变换得，所以存在使得等式成立，即在上有解，
令，则，
所以，即.
【小结】
关键小结：解第二小题的关键是能够将条件转化为在上有解，并用换元法求解函数的值域.
14．已知函数
（1）若，求的递增区间和值域；
（2）若，求
【答案】（1）递增区间为，值域为；（2）.
【分析】
（1）运用诱导公式和正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数，再运用整体代入法和正弦函数的性质可求得函数的单调区间和值域；
（2）由（1）和已知求得，继而求得，再由，运用正弦的差角公式可求得的值.
【解析】
（1）因为函数，
又，所以，所以由，解得，所以函数的递增区间为，
又，所以，所以函数的值域为；
（2）因为，所以，所以，所以，
所以.
所以.
【小结】
本题关键在于运用已知的角表示待求的角，凑角是解决问题的关键，属于中档题.
15．已知.
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】
(1)先将解析式化简为，由可得，由可得答案.
（2）由条件可得，即，由为锐角，，从而可求的值域.
【解析】
（1）

由，所以

（2）由，可得
即
,由，则
所以，由所以
为锐角，则 ,即，解得
,则
，所以
所以的取值范围是
【小结】
关键小结：本题考查利用三角恒式化简解析式，利用二倍角公式化简求值，考查正弦定理的应用，三角函数求值域的问题，解答本题的关键是利用二倍角公式可得，由正弦定理得出角，从而得出，属于中档题.
16．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大和最小值以及相应的x的取值；
（3）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）函数的最大值为，此时；函数的最小值为，此时；（3）或．
【分析】
（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期
（2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x的取值；
（3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案．
【解析】
（1），因为


，所以，
所以的最小正周期为，
（2）由（1）得，
所以当时，函数的最大值为，此时，即；
当时，函数的最小值为，此时，即；
所以函数的最大值为，此时；函数的最小值为，此时；
（3）因为，所以.因为，所以，即.
所以或，故或.
17．已知的图象过点，且图象的相邻两条对称轴的距离为.
（1）求函数的单调区间；
（2）若在区间上的最大值与最小值之和为，求实数的值.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为可知周期为，可确定，然后将点代入求解出的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可.
（2）由（1）中的结果可知在上的单调性，确定出在上的最大值与最小值，使最大值与最小值之和为，得到关于的方程求解即可.
【解析】
（1）由函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，
得函数的最小正周期，
∴.
又函数的图象过点，
∴，
∴，.
∵，∴，则.
令，
解得，，
，
解得，
∴函数的单调递增区间为，
单调递减区间为.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
∴在区间上的最大值与最小值之和为，
∴.
【小结】
本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：
（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；
（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数的最值转化为求的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可.
18．已知向量，，函数（）．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，函数的最小值是，求的最大值．
【答案】（1）；（）；（2）．
【分析】
（1）化简函数解析式，由余弦型函数的周期及单调区间求解即可；
（2）由求出的范围，根据余弦函数的值域求解即可.
【解析】
（1）.
的最小正周期．
令（），
解得（），
故函数的单调递增区间为（）．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
令，得，
∴．
19．已知函数的最小正周期为，
（1）求的值
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为.
【分析】
（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．
（2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．
【解析】
解：（1）因为


，
所以的最小正周期，，
解得.
（2）由（1）得.
因为，所以.
所以，当，即时，取得最大值为1；
当，即时，取得最小值为.
20．设函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值及取最小值时的集合；
（3）求的单调递增区间.
【答案】（1）；（2），；（3）单调递增区间为.
【分析】
（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得，代入，即可计算得解.
（2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解.
（3）利用正弦函数的单调性即可求解.
【解析】
解：（1），
所以.
（2）由于，所以当时，，此时，
所以取最小值时的集合为，
故的最小值为0，取最小值时的集合为.
（3）令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
【小结】
本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.
21．把的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍的变换得的图象，已知图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若，求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，由图像可得周期，利用，可得，由图像过点，可得，由题意得；（2）先化简利用二倍角公式整理得，令，则，即可得出
【解析】
（1）设，
由的图像可得：函数的周期为，
，解得：；
过点，
所以，
所以，
因为函数的周期为，
所以，
所以，
由题意知：的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍的变换得的图像，
所以函数的解析式为.
（2）
令，
则，
故，，
则.
【小结】
思路小结：观察图像可得周期和相位，利用图像伸缩变换可得解析式；利用换元法转换为二次函数求值域.
22．已知向量，.
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）， ；（2）
【分析】
（1）根据向量的数量积和三角恒等变换可得，再利用正弦函数三角函数周期和对称中心，即可得答案；
（2）利用整体思想先求出，进而求得函数的值域；
【解析】
（1），
，
令，
故对称中心为.
（2）由得，
所以.
【小结】
利用整体代入法求函数的对称中心和值域是常用的方法.
23．已知函数的部分图象如图所示.

（1）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1），，；（2）最小值为，最大值为1.
【分析】
（1）由函数的部分图象求解析式,由周期求出,代入求出的值,可得函数的解析式；
（2）由以上可得,,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数的最值.
【解析】
（1）根据函数的部分图象,
可得，解得，
，
将代入可得，解得；
（2）由以上可得, ，
，，，
当时,即,函数取得最小值为.
当时,即,函数取得最大值为1.
【小结】
本题考查三角函数部分图象求解析式，考查三角函数给定区间的最值，属于基础题.
24．已知：定义在R上的函数，满足：函数最大值为2，其图象上相邻的两个最低点之间距离为，且函数的图象关于点对称．
（Ⅰ）求函数的解析式
（Ⅱ）若向量，，．设函数，求函数的值域．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）先由题意得到，，接着求出和，再根据函数的图象关于点对称，求出和函数的解析式；
（Ⅱ）先根据函数的解析式求得，接着由题意得到，再利用换元法得到，，最后求得函数的值域．
【解析】
解：（Ⅰ）由题意可得，，，
∴，
所以，
又∵函数的图象关于点对称，
∴，，
∴，，
又∵，∴，
∴
（Ⅱ）∵，
∴
∵，，，
∴
=；
令，∵，
则，
∴函数可化为，
又∵，
∴当时，，
当时，；
∴函数的值域为．
【小结】
本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式、三角恒等变换化简三角函数、利用换元法求函数的值域、平面向量的数量积的坐标表示，是中档题.
25．已知函数的最小正周期为，且为图象的一个对称中心，求函数在区间上的值域.
【答案】.
【分析】
根据函数周期求出，再根据对称中心求出，由正弦型函数的图象与性质求出值域即可.
【解析】
函数的最小正周期为，
得，.
∵为图象的一个对称中心，
∴，
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
即函数在上的值域为.
【小结】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，考查了解析式的求法，属于中档题.
26．已知函数，若______，写出的最小正周期，并求函数在区间内的最小值.
请从①，②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，按第一个判分.
【答案】见解析.
【分析】
若选①,化简可得,根据复合函数的单调性计算可求得结果;
若选②，化简可得,根据正弦型函数的性质，计算即可.
【解析】
若选①，则，最小正周期为，由可知，
由复合函数的单调性可知，当时，；
若选②，则，所以的最小正周期为，当时，，
所以当时，即当时，.
【小结】
本题考查正弦型函数的化简及最值的求解问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
27．已知函数.
（1）求函数的对称轴；
（2）当时，求函数的最大值与最小值.
【答案】（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.
【分析】
（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.
（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.
【解析】
（1）函数.
令()，解得()，
所以函数的对称轴方程为：().
（2）由于，
所以，
故.
则：
故当时，函数的最小值为.
当时，函数的最大值为2.
【小结】
本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.
28．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由函数图象顶点求出，再根据周期求出，根据点五点中的求出，即可得函数解析式；
（2）先根据平移得出，由，得出，再根据三角函数图形及性质即可求出值域．
【解析】
（1）由题设图象可知，
∵周期，又，
∴，
∵过点，
∴，即，
∴，即．
∵，
∴，
故函数的解析式为；
（2）由题意可知，
∵，
∴，
∴，故，
∴在上的值域为．
【小结】
本题主要考查由的部分图象求解析式，以及求三角函数的值域的应用，属于中档题．
29．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．已知的部分图象如图所示，且．

（1）求的解析式；
（2）设函数，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1）根据三角函数的变换可得，分别求出A，，，可得函数的解析式;
(2）求出函数h (x）的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出值域.
【解析】
（1）由题可知，．
由图可知，．
因为，
所以．
则
因为，，
所以．
故．
（2）由（1）知，则

．
因为，
所以，
所以，
故，
则的值域为．
【小结】
本题考查了三角形函数的图象的变换和三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.
30．已知向量，，函数的图象关于直线对称，其中常数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由平面向量数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，再由三角函数的对称轴可得，再由最小正周期公式即可得解；
（2）由可得，结合三角函数的图象与性质即可得解.
【解析】
（1）由题意
，
又函数的图象关于直线对称，所以,
所以，
由可得，所以，
所以函数的最小正周期；
（2）当时，，
所以，
所以函数在区间上的值域为.
【小结】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换及三角函数的图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

四、填空题
31．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
求出f（t）和g（s）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为求出a的范围．
【解析】
对于函数f（x），当x≤0时，f（x）单调递增，由﹣3≤t≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜t≤3，可得f（t）∈[0，4]，
∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，
对于函数g（x）sinx+cosx+4＝2sin（x）+4，
∵s∈[0，]，∴s∈[，π]，
∴g（s）∈[5，6]，
∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，
∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）成立，故
∴a+4≤6，
解得a≤2，
故答案为：
【小结】
结论小结：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
32．已知函数 的图象关于直线对称，若在区间上任取三个实数a,b,c总能使f(a)， f(b)， f(c)为边长构成三角形，则实数m的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
化简可得，根据对称性及的范围，可求得的值，即可得的解析式，将题意等价为恒成立，进而可得，且，代入数据，即可求得答案.
【解析】
=
，
因为的图象关于对称，
所以，因为，
所以令，解得，
所以，
当时，，
所以当时，取得最小值，且，
当时，取得最大值，且，
任取三个实数a,b,c总能使f(a)， f(b)， f(c)为边长构成三角形，等价为，
所以，且，
所以，解得，
故答案为：
【小结】
解题的关键是将题干条件等价为，即，且，结合三角函数图象与性质，进行求解，属中档题.
33．已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______.
【答案】
【分析】
先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在的单调性可得，利用整体法可求当取最大值时，的值域．
【解析】
，
令，则，
故的减区间为，
由题设可得为的子集，
故且，故，故，
当时，，故，
故的值域为．
故答案为：．
【小结】
正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．
34．已知，则当取最大值时的 ___________.
【答案】
【分析】
先将函数化简，求出辅助角的正切值，求出函数最大值时的值，进而求出的正弦值.
【解析】
解：且，
所以，这时，，
所以，，
，
故答案为：
35．函数，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
先根据二倍角公式和诱导公式将函数化简为的形式即可求出答案.
【解析】
因为，
所以当时，函数有最小值，最小值为，
故答案为：.
36．函数取最小值时的取值范围是________.
【答案】
【分析】
先由正弦的差角公式和诱导公式化简函数，再由正弦的性质可得答案.
【解析】
因为

，
所以，当时，y取最小值，此时，所以x的范围为.
故答案为：.
【小结】
本题考查三角恒等变换，正弦型函数的最值，属于中档题.
37．某地一天0~24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是____________℃.
【答案】14
【分析】
根据，可知，由三角函数的性质即可求出.
【解析】
，，
当，即时，.
故答案为：14.
【小结】
本题考查三角函数的实际应用，考查正弦型函数最值的求法，属于基础题.
38．函数的最大值为______.
【答案】7
【分析】
由题得，再利用二次函数的图象和性质求最值.
【解析】
由题得
∴当时，取得最大值7.
故答案为：7
【小结】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查二次型复合函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．已知函数，给出下列命题：
①，都有成立；②存在常数，恒有成立；
③的最大值为；④在上是增函数.
以上命题中正确的为______.
【答案】①②④
【分析】
利用奇偶性的定义判断①；利用周期性的定义判断②；利用导数求解函数的最值；利用正弦函数的图象和性质判断④．
【解析】
①，为奇函数，正确；
②，为周期函数，正确；
③，令，则，令，得，且为最大值，错误；
④当时，，所以在上为增函数，正确.
故答案为：①②④
【小结】
本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，属于中档题．
40．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由周期公式可得，由三角函数的中心对称可得，结合即可得为奇数，即可得，由可得，进而可得，即可得解.
【解析】
由可得，
由是奇函数可得函数的图象关于中心对称，
所以，即，
又，所以，
所以为奇数，，
由可得，
因为在上没有最小值，所以即.
故答案为：.
【小结】
本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.