资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
高三数学三角函数专题 方法19：化边为角法判断三角形的形状
展开
这是一份高三数学三角函数专题 方法19：化边为角法判断三角形的形状，文件包含方法19化边为角法判断三角形的形状原卷版docx、方法19化边为角法判断三角形的形状解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
1．在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的形状一定为（ ）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
由正弦定理化边为角，整理可得，即可判断.
【解析】
由正弦定理知，，
∴，
∴，即，
又、，∴，故为等腰三角形.
故选：B.
2．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.
【解析】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故选：D
3．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
先由正弦定理，以及题中条件，将原式化为，得出，即可判断出结果.
【解析】
又得，
根据正弦定理，得到，则，
所以，即，
则，
又角，，为三角形内角，
所以，因此，即为直角三角形.
故选：B.
4．在中，角，，的对边分别为，，，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】
由，利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦求解.
【解析】
由，
利用正弦定理可得：，
则，
，
，即.
一定是等腰三角形.
故选：A
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式以及，可得，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断.
【解析】
由，
得，
即.
又，
则，
，
由正弦定理得，
即，
因为角在中，
所以.
故选：B.
6．在中，内角､､的对边分别为､､，若且，则这个三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
【答案】C
【分析】
利用正弦定理和题中所给的条件，得到，于是，代入题中所给的式子，化简可求得角C，从而判断出三角形的形状.
【解析】
因为，，所以，所以，
所以，
因为，
所以
所以，
即
整理得，即，
因为，所以，
因为为等腰三角形的底角，所以，所以，，
所以这个三角形为等腰直角三角形，
故选：C.
【小结】
该题考查的是有关三角形的形状判断的问题，在解题的过程中，思路如下：
（1）利用正弦定理，将角化成边，结合题中所给的条件，得到角之间的关系；
（2）利用三角恒等变换，解出角的大小，进一步判断三角形的形状，得到结果.
7．已知的三个内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．正三角形
【答案】C
【分析】
利用诱导公式、和角的正弦公式和正弦定理化简已知得，即得解.
【解析】
，，，
依题意得，
根据正弦定理可得，
即，
又，则，
又，所以，
故的形状是钝角三角形．
故选：C．
【小结】
判断三角形的形状，一般有两种方法：（1）利用正弦余弦定理边化角；（2）利用正弦余弦定理角化边.
8．在中，角的对边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【解析】
由已知可得，
即．
法一：由余弦定理得，则，
所以，由此知为直角三角形．
法二：由正弦定理得：．
在中，，
从而有，
即．在中，，所以．
由此得，故为直角三角形.
故选：B.
【小结】
该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理，也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果.
9．设的内角的对边分别为，且，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
先由降幂公式得，再由正弦定理得，众而得，于是有或，从而可得结论
【解析】
解：因为，
所以，
所以由正弦定理得，，
所以，
因为
所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形
故选：D
【小结】
此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题
10．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.
【解析】
解：因为，所以由正弦定理有，
整理得，又因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
【小结】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.
11．在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
由正弦定理求出的值，可得或，再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可判断三角形的形状.
【解析】
∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
当时，∵，
∴，是直角三角形.
当时，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形，
故选：D.
【小结】
本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．在中，，，分别是角，，所对的边，满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根据条件，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.
【解析】
，
，
,
，
，
，
即，
所以三角形的形状为等腰三角形，
故选：A
【小结】
本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
13．在中，分别是角的对边，满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．锐角三角形
【答案】C
【分析】
利用余弦定理表示出,代入已知等式变形后得到,即可结论.
【解析】
,,即,
整理得:,即,则为等腰三角形.
故选：C.
【小结】
本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.
14．在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角的值，进而可判断出的形状.
【解析】
，由正弦定理得，即，，
，，则，
，所以，，因此，是直角三角形.
故选：A.
【小结】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】
由正弦定理得，化简得,即得解.
【解析】
由正弦定理得，
所以，
所以,
因为,
所以.
所以三角形是等腰三角形.
故选：B
【小结】
本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．在中,=分别为角的对应边),则的形状为
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
由题可得=，所以.
由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.
本题选择B选项.
17．在中，分别为三个内角的对边，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
根据，利用正弦定理将边转化为角得到，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.
【解析】
因为，
由正弦定理得：，
所以，
所以或，
即或
所以一定是等腰三角形或直角三角形，
故选：D
【小结】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
18．△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理可得，因为，所以或，所以或，所以的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D．
考点：正弦定理．
19．在中，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】
已知等式利用正弦定理化简，将代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，确定出，即可得出三角形的形状.
【解析】
解：由正弦定理，又因为，
所以．
即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，
整理得，
所以，
又因为和是三角形的内角，
所以，此三角形为等腰三角形．
故选：A.
【小结】
本题主要考查利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形的形状，属于中档题.
20．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【分析】
由余弦定理得，代入化简得，故可得答案.
【解析】
由余弦定理得，所以，
所以，得，故是等腰三角形．
故选：A
【小结】
本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
【解析】
解：因为，
所以，
整理得，即或，则或，
故的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【小结】
本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用，属于基础题.
二、多选题
22．对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
【答案】ABD
【分析】
对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C，利用余弦定理求解即可；对于D，利用三角函数恒等变换公式判断
【解析】
对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
23．已知的三个角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.
【解析】
在中，因为，
由正弦定理得，
所以，即，
所以或，
解得或.
故是直角三角形或等腰三角形.
故选： D.
【小结】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
24．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等边三角形
D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4
【答案】AC
【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；
对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；
对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．
【解析】
解：由正弦定理可将条件转化为，
因为，故，
因为，则，故正确；
若，则由正弦定理可知，则，
因为，则，故错误；
若，根据正弦定理可得，
又因为，即，即有，所以，
因为，则，故，
整理得，即，
解得，故，则，
即，所以是等边三角形，故正确；
若的面积是，即，解得，
由余弦定理可得，即
设三角形的外接圆半径是，
由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，
故选：AC．
【小结】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
25．已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
【答案】ABD
【分析】
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；
B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；
C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；
D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【解析】
A．因为，所以，
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“”.
26．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】
利用正余弦定理逐一判断即可.
【解析】
若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；
若，，，则，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；
若，，，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确
若，则，
所以，所以，即，故D正确
故选：ACD
【小结】
本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
三、解答题
27．的内角的对边分别是.设.
（1）判断的形状；
（2）若，，的平分线交于，求的面积.
【答案】（1）等腰三角形；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化简得，即得解；
（2）求出，再分析得到，即得解.
【解析】
（1）由及正弦定理得，
即，
所以，即
所以，所以为等腰三角形.
（2）因为且，所以.
由余弦定理得，所以
，
所以.
【小结】
判断三角形的形状，常用的有两种方法：（1） 正弦定理余弦定理边化角；（2）正弦定理余弦定理角化边.
28．在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为.若______，且，试判断的形状.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
根据题设条件，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得，
选①，由正弦定理得，联立求得，进而得到为等边三角形；
选②，由正弦定理得，联立求得，得到，进而得到为等边三角形；
选③，由，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，求得，进而得到以为直角三角形.
【解析】
由题意知，可得，所以，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
若选①，由，，成等差数列，得，
则由正弦定理得，则有，可得，
又因为，所以为等边三角形.
若选②，由，，成等比数列，所以，
则由正弦定理得，所以，即，可得，
又因为，所以为等边三角形.
若选③，由，得，
即，整理得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以为直角三角形.
【小结】
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
29．在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，，______？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
选①：，利用正弦定理得，结合
可得，利用，即可求得，由正弦定理即可求出边和，从而求得周长；选②：，利用余弦定理可得，即可求得，后同①中的过程；选③，利用正弦定理得，即可求得，由可求，，所以三角形不存在.
【解析】
选①：因为，所以由正弦定理得，
即，
即，整理得.
因为，所以.又，所以.
又因为，所以，即.
由得:，所以.
由正弦定理，得，解得，，所以的周长为.
选②：因为，
所以由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，下同选①.
选③：因为，所以由正弦定理得，即，
又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.
【小结】
选②：三角形面积公式与已知条件结合可得，再利用余弦定理即可求出，即可求出，选③求出，注意判断，问题中的三角形不存在.
30．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求b的值；
（2）若满足，c＝3，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）利用余弦定理以及已知条件可得，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得，进一步得到或者，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果.
【解析】
（1）由余弦定理可得
，
又，
所以可得.
由于，
所以.
（2）已知，
由正弦定理可得，
由正弦二倍角公式可得，
∵，，
，，
所以或者，
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，，
，
.
综上：的面积为或.
31．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.
【分析】
（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；
（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状．
【解析】
（Ⅰ）∵，整理得，
∴，
∴．
（Ⅱ）由正弦定理，得，而，
∴，即，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【小结】
本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.
32．在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
（1）判断△的形状；
（2）若，△的面积为，BC的中点为D，求AD的长．
【答案】（1）△为等腰三角形；（2）
【分析】
(1)由正弦定理化边为角，结合三角形内角和性质及两角差正弦公式可得，即可判断△的形状；(2)由等腰三角形、三角形面积公式可用参数a表示、，根据同角三角函数关系求a，由余弦定理即可求AD的长
【解析】
（1）由正弦定理：可化为，又
∴，
，即
又，，有
∴，有，即△为等腰三角形
（2）由（1）知，在△中，取AC的中点E，连接BE，则，即
又△的面积为，所以
根据，得
∴，
（解法一）在△中，由余弦定理，得，
（解法二）在△中，有，所以
【小结】
本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式，根据正弦定理及两角差正弦公式化简并判断三角形形状，结合三角形面积公式得到同角的正余弦值进而求参，最后由余弦定理得到对应线段长度，考查学生的运算求解能力．
33．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，且的面积为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【分析】
（1）对切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论；
（2）根据（1）中所求，可以求得，再根据面积公式，即可求得，再结合余弦定理，即可求得.
【解析】
（1）由正弦定理及，
得，即.
因为，所以，
所以是等腰三角形.
（2）由（1）知，所以.
因为，
所以.
又，
所以.
若，则，
即，解得；
若，则，
即，解得.
所以或.
【小结】
本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.
34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状并给出证明.
【答案】（1）；（2）为等边三角形，证明见解析.
【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得，即可得到，从而得到三角形的形状；
【解析】
解：（1），
由正弦定理得，
，根据余弦定理知.
又角A为的内角，.
（2）为等边三角形
，由正弦定理得.
由三角形内角和公式得，故，
，整理得，
，又，.
又由（1）知，为等边三角形.
【小结】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题.
四、填空题
35．，现有下列命题：①已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是或；②函数的图象的对称中心的坐标是；③在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为等腰三角形；④在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为钝角三角形；⑤在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
【答案】②④⑤
【分析】
①中根据夹角要求列关系计算即可，②中根据正切函数图像性质即得结果，③④⑤应用正弦函数单调性，结合解三角形即判断出结果.
【解析】
①中，与的夹角为锐角，则且不共线，故，即或，其中时与共线，故或或，故错误；
②中，函数，令，得，故其图像的对称中心是，故正确；
③中，，由正弦定理知，，故，即，则中，有或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
④中，在中，，故，，，
若时，根据在单调递增可知，即，则为钝角，为钝角三角形；若时，即，故，即，符合题意，此时为钝角三角形，故正确；
⑤中，由可知同号，且中同正，即都是锐角，又，故也是锐角，为锐角三角形，故由知，得，同理可知，，故即，故正确.
故答案为：②④⑤.
【小结】
本题考查了向量的夹角的应用和三角函数与解三角形的综合应用，属于中档题.
向量夹角问题解题方法：若与的夹角为锐角，则且不共线；若与的夹角为钝角，则且不共线.排除共线的情况是易错点.
36．在中，已知，，则的面积为______.
【答案】
【分析】
由已知得，再由正弦定理可得，整理变形可得，进一步可说明是等边三角形，则面积可求.
【解析】
解：由已知，即，
又由正弦定理，
，即，
，由于是在中，
，同理，
所以是等边三角形，
.
故答案为：.
【小结】
本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.
37．已知三角形的三边长为满足，则此三角形为______三角形.(填写形状)
【答案】直角
【分析】
通过计算得到，由此判断三角形为直角三角形.
【解析】
依题意，
所以，故为直角.
所以三角形是直角三角形.
故答案为：直角
【小结】
本小题主要考查三角形形状的判断.
38．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为_____________.
【答案】直角三角形
【分析】
利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.
【解析】
，由正弦定理得，
即，
，则，，，.
因此，为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【小结】
本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.
39．在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则为等腰三角形；④若，则为钝角三角形；⑤若，则；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
【答案】②④⑤.
【分析】
①取验证可判断；
②由及基本不等式求的范围，从而可判断；
③由和正弦定理可判断；
④若，则，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若，则可判断出A、B、C均为锐角，由，结合均值定理可判断.
【解析】
解：①令，则，但，故①错误.
②若，则，，
在递减，所以，故②正确；
③由正弦定理及，得 所以或，则为等腰三角形或直角三角形，故③错误.
④由，则，，，所以，则为钝角三角形，故④正确.
⑤若，则，，，，，
，
所以，
所以，故⑤正确
综合以上有②④⑤正确
故答案为：②④⑤.
【小结】
根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.
40．下列四个命题中正确的是_____.（填序号）①若，则是等腰三角形；②若，，则；③设等差数列的前项和为，若，则；④函数的最小值为.
【答案】③④
【分析】
根据每个选项的条件推导即可.
【解析】
对于①，若，可得，则，所以或，则是等腰三角形或直角三角形，故①错误；
对于②，若，，当时，，，则，故②错误；
对于③，，所以，则，故③正确；
对于④，，，，故④正确.
故答案为：③④.
【小结】
本题考查对命题的判断，考查了正弦定理，不等式的性质，数列性质以及基本不等式的应用.
1．在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的形状一定为（ ）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
由正弦定理化边为角，整理可得，即可判断.
【解析】
由正弦定理知，，
∴，
∴，即，
又、，∴，故为等腰三角形.
故选：B.
2．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.
【解析】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故选：D
3．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
先由正弦定理，以及题中条件，将原式化为，得出，即可判断出结果.
【解析】
又得，
根据正弦定理，得到，则，
所以，即，
则，
又角，，为三角形内角，
所以，因此，即为直角三角形.
故选：B.
4．在中，角，，的对边分别为，，，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】
由，利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦求解.
【解析】
由，
利用正弦定理可得：，
则，
，
，即.
一定是等腰三角形.
故选：A
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式以及，可得，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断.
【解析】
由，
得，
即.
又，
则，
，
由正弦定理得，
即，
因为角在中，
所以.
故选：B.
6．在中，内角､､的对边分别为､､，若且，则这个三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
【答案】C
【分析】
利用正弦定理和题中所给的条件，得到，于是，代入题中所给的式子，化简可求得角C，从而判断出三角形的形状.
【解析】
因为，，所以，所以，
所以，
因为，
所以
所以，
即
整理得，即，
因为，所以，
因为为等腰三角形的底角，所以，所以，，
所以这个三角形为等腰直角三角形，
故选：C.
【小结】
该题考查的是有关三角形的形状判断的问题，在解题的过程中，思路如下：
（1）利用正弦定理，将角化成边，结合题中所给的条件，得到角之间的关系；
（2）利用三角恒等变换，解出角的大小，进一步判断三角形的形状，得到结果.
7．已知的三个内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．正三角形
【答案】C
【分析】
利用诱导公式、和角的正弦公式和正弦定理化简已知得，即得解.
【解析】
，，，
依题意得，
根据正弦定理可得，
即，
又，则，
又，所以，
故的形状是钝角三角形．
故选：C．
【小结】
判断三角形的形状，一般有两种方法：（1）利用正弦余弦定理边化角；（2）利用正弦余弦定理角化边.
8．在中，角的对边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【解析】
由已知可得，
即．
法一：由余弦定理得，则，
所以，由此知为直角三角形．
法二：由正弦定理得：．
在中，，
从而有，
即．在中，，所以．
由此得，故为直角三角形.
故选：B.
【小结】
该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理，也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果.
9．设的内角的对边分别为，且，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
先由降幂公式得，再由正弦定理得，众而得，于是有或，从而可得结论
【解析】
解：因为，
所以，
所以由正弦定理得，，
所以，
因为
所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形
故选：D
【小结】
此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题
10．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.
【解析】
解：因为，所以由正弦定理有，
整理得，又因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
【小结】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.
11．在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
由正弦定理求出的值，可得或，再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可判断三角形的形状.
【解析】
∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
当时，∵，
∴，是直角三角形.
当时，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形，
故选：D.
【小结】
本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．在中，，，分别是角，，所对的边，满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根据条件，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.
【解析】
，
，
,
，
，
，
即，
所以三角形的形状为等腰三角形，
故选：A
【小结】
本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
13．在中，分别是角的对边，满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．锐角三角形
【答案】C
【分析】
利用余弦定理表示出,代入已知等式变形后得到,即可结论.
【解析】
,,即,
整理得:,即,则为等腰三角形.
故选：C.
【小结】
本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.
14．在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角的值，进而可判断出的形状.
【解析】
，由正弦定理得，即，，
，，则，
，所以，，因此，是直角三角形.
故选：A.
【小结】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】
由正弦定理得，化简得,即得解.
【解析】
由正弦定理得，
所以，
所以,
因为,
所以.
所以三角形是等腰三角形.
故选：B
【小结】
本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．在中,=分别为角的对应边),则的形状为
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
由题可得=，所以.
由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.
本题选择B选项.
17．在中，分别为三个内角的对边，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
根据，利用正弦定理将边转化为角得到，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.
【解析】
因为，
由正弦定理得：，
所以，
所以或，
即或
所以一定是等腰三角形或直角三角形，
故选：D
【小结】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
18．△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理可得，因为，所以或，所以或，所以的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D．
考点：正弦定理．
19．在中，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】
已知等式利用正弦定理化简，将代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，确定出，即可得出三角形的形状.
【解析】
解：由正弦定理，又因为，
所以．
即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，
整理得，
所以，
又因为和是三角形的内角，
所以，此三角形为等腰三角形．
故选：A.
【小结】
本题主要考查利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形的形状，属于中档题.
20．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【分析】
由余弦定理得，代入化简得，故可得答案.
【解析】
由余弦定理得，所以，
所以，得，故是等腰三角形．
故选：A
【小结】
本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
【解析】
解：因为，
所以，
整理得，即或，则或，
故的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【小结】
本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用，属于基础题.
二、多选题
22．对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
【答案】ABD
【分析】
对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C，利用余弦定理求解即可；对于D，利用三角函数恒等变换公式判断
【解析】
对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
23．已知的三个角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.
【解析】
在中，因为，
由正弦定理得，
所以，即，
所以或，
解得或.
故是直角三角形或等腰三角形.
故选： D.
【小结】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
24．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等边三角形
D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4
【答案】AC
【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；
对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；
对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．
【解析】
解：由正弦定理可将条件转化为，
因为，故，
因为，则，故正确；
若，则由正弦定理可知，则，
因为，则，故错误；
若，根据正弦定理可得，
又因为，即，即有，所以，
因为，则，故，
整理得，即，
解得，故，则，
即，所以是等边三角形，故正确；
若的面积是，即，解得，
由余弦定理可得，即
设三角形的外接圆半径是，
由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，
故选：AC．
【小结】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
25．已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
【答案】ABD
【分析】
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；
B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；
C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；
D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【解析】
A．因为，所以，
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“”.
26．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】
利用正余弦定理逐一判断即可.
【解析】
若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；
若，，，则，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；
若，，，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确
若，则，
所以，所以，即，故D正确
故选：ACD
【小结】
本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
三、解答题
27．的内角的对边分别是.设.
（1）判断的形状；
（2）若，，的平分线交于，求的面积.
【答案】（1）等腰三角形；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化简得，即得解；
（2）求出，再分析得到，即得解.
【解析】
（1）由及正弦定理得，
即，
所以，即
所以，所以为等腰三角形.
（2）因为且，所以.
由余弦定理得，所以
，
所以.
【小结】
判断三角形的形状，常用的有两种方法：（1） 正弦定理余弦定理边化角；（2）正弦定理余弦定理角化边.
28．在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为.若______，且，试判断的形状.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
根据题设条件，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得，
选①，由正弦定理得，联立求得，进而得到为等边三角形；
选②，由正弦定理得，联立求得，得到，进而得到为等边三角形；
选③，由，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，求得，进而得到以为直角三角形.
【解析】
由题意知，可得，所以，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
若选①，由，，成等差数列，得，
则由正弦定理得，则有，可得，
又因为，所以为等边三角形.
若选②，由，，成等比数列，所以，
则由正弦定理得，所以，即，可得，
又因为，所以为等边三角形.
若选③，由，得，
即，整理得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以为直角三角形.
【小结】
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
29．在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，，______？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
选①：，利用正弦定理得，结合
可得，利用，即可求得，由正弦定理即可求出边和，从而求得周长；选②：，利用余弦定理可得，即可求得，后同①中的过程；选③，利用正弦定理得，即可求得，由可求，，所以三角形不存在.
【解析】
选①：因为，所以由正弦定理得，
即，
即，整理得.
因为，所以.又，所以.
又因为，所以，即.
由得:，所以.
由正弦定理，得，解得，，所以的周长为.
选②：因为，
所以由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，下同选①.
选③：因为，所以由正弦定理得，即，
又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.
【小结】
选②：三角形面积公式与已知条件结合可得，再利用余弦定理即可求出，即可求出，选③求出，注意判断，问题中的三角形不存在.
30．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求b的值；
（2）若满足，c＝3，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）利用余弦定理以及已知条件可得，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得，进一步得到或者，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果.
【解析】
（1）由余弦定理可得
，
又，
所以可得.
由于，
所以.
（2）已知，
由正弦定理可得，
由正弦二倍角公式可得，
∵，，
，，
所以或者，
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，，
，
.
综上：的面积为或.
31．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.
【分析】
（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；
（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状．
【解析】
（Ⅰ）∵，整理得，
∴，
∴．
（Ⅱ）由正弦定理，得，而，
∴，即，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【小结】
本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.
32．在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
（1）判断△的形状；
（2）若，△的面积为，BC的中点为D，求AD的长．
【答案】（1）△为等腰三角形；（2）
【分析】
(1)由正弦定理化边为角，结合三角形内角和性质及两角差正弦公式可得，即可判断△的形状；(2)由等腰三角形、三角形面积公式可用参数a表示、，根据同角三角函数关系求a，由余弦定理即可求AD的长
【解析】
（1）由正弦定理：可化为，又
∴，
，即
又，，有
∴，有，即△为等腰三角形
（2）由（1）知，在△中，取AC的中点E，连接BE，则，即
又△的面积为，所以
根据，得
∴，
（解法一）在△中，由余弦定理，得，
（解法二）在△中，有，所以
【小结】
本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式，根据正弦定理及两角差正弦公式化简并判断三角形形状，结合三角形面积公式得到同角的正余弦值进而求参，最后由余弦定理得到对应线段长度，考查学生的运算求解能力．
33．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，且的面积为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【分析】
（1）对切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论；
（2）根据（1）中所求，可以求得，再根据面积公式，即可求得，再结合余弦定理，即可求得.
【解析】
（1）由正弦定理及，
得，即.
因为，所以，
所以是等腰三角形.
（2）由（1）知，所以.
因为，
所以.
又，
所以.
若，则，
即，解得；
若，则，
即，解得.
所以或.
【小结】
本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.
34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状并给出证明.
【答案】（1）；（2）为等边三角形，证明见解析.
【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得，即可得到，从而得到三角形的形状；
【解析】
解：（1），
由正弦定理得，
，根据余弦定理知.
又角A为的内角，.
（2）为等边三角形
，由正弦定理得.
由三角形内角和公式得，故，
，整理得，
，又，.
又由（1）知，为等边三角形.
【小结】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题.
四、填空题
35．，现有下列命题：①已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是或；②函数的图象的对称中心的坐标是；③在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为等腰三角形；④在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为钝角三角形；⑤在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
【答案】②④⑤
【分析】
①中根据夹角要求列关系计算即可，②中根据正切函数图像性质即得结果，③④⑤应用正弦函数单调性，结合解三角形即判断出结果.
【解析】
①中，与的夹角为锐角，则且不共线，故，即或，其中时与共线，故或或，故错误；
②中，函数，令，得，故其图像的对称中心是，故正确；
③中，，由正弦定理知，，故，即，则中，有或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
④中，在中，，故，，，
若时，根据在单调递增可知，即，则为钝角，为钝角三角形；若时，即，故，即，符合题意，此时为钝角三角形，故正确；
⑤中，由可知同号，且中同正，即都是锐角，又，故也是锐角，为锐角三角形，故由知，得，同理可知，，故即，故正确.
故答案为：②④⑤.
【小结】
本题考查了向量的夹角的应用和三角函数与解三角形的综合应用，属于中档题.
向量夹角问题解题方法：若与的夹角为锐角，则且不共线；若与的夹角为钝角，则且不共线.排除共线的情况是易错点.
36．在中，已知，，则的面积为______.
【答案】
【分析】
由已知得，再由正弦定理可得，整理变形可得，进一步可说明是等边三角形，则面积可求.
【解析】
解：由已知，即，
又由正弦定理，
，即，
，由于是在中，
，同理，
所以是等边三角形，
.
故答案为：.
【小结】
本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.
37．已知三角形的三边长为满足，则此三角形为______三角形.(填写形状)
【答案】直角
【分析】
通过计算得到，由此判断三角形为直角三角形.
【解析】
依题意，
所以，故为直角.
所以三角形是直角三角形.
故答案为：直角
【小结】
本小题主要考查三角形形状的判断.
38．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为_____________.
【答案】直角三角形
【分析】
利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.
【解析】
，由正弦定理得，
即，
，则，，，.
因此，为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【小结】
本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.
39．在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则为等腰三角形；④若，则为钝角三角形；⑤若，则；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
【答案】②④⑤.
【分析】
①取验证可判断；
②由及基本不等式求的范围，从而可判断；
③由和正弦定理可判断；
④若，则，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若，则可判断出A、B、C均为锐角，由，结合均值定理可判断.
【解析】
解：①令，则，但，故①错误.
②若，则，，
在递减，所以，故②正确；
③由正弦定理及，得 所以或，则为等腰三角形或直角三角形，故③错误.
④由，则，，，所以，则为钝角三角形，故④正确.
⑤若，则，，，，，
，
所以，
所以，故⑤正确
综合以上有②④⑤正确
故答案为：②④⑤.
【小结】
根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.
40．下列四个命题中正确的是_____.（填序号）①若，则是等腰三角形；②若，，则；③设等差数列的前项和为，若，则；④函数的最小值为.
【答案】③④
【分析】
根据每个选项的条件推导即可.
【解析】
对于①，若，可得，则，所以或，则是等腰三角形或直角三角形，故①错误；
对于②，若，，当时，，，则，故②错误；
对于③，，所以，则，故③正确；
对于④，，，，故④正确.
故答案为：③④.
【小结】
本题考查对命题的判断，考查了正弦定理，不等式的性质，数列性质以及基本不等式的应用.
相关试卷
高三数学三角函数专题 方法7：图像法求三角函数最值或值域： 这是一份高三数学三角函数专题 方法7：图像法求三角函数最值或值域，文件包含方法7图像法求三角函数最值或值域原卷版docx、方法7图像法求三角函数最值或值域解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
高三数学三角函数专题 方法18：化角为边法判断三角形的形状： 这是一份高三数学三角函数专题 方法18：化角为边法判断三角形的形状，文件包含方法18化角为边法判断三角形的形状原卷版docx、方法18化角为边法判断三角形的形状解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
高三数学三角函数专题 方法8：换元法求三角函数最值或值域： 这是一份高三数学三角函数专题 方法8：换元法求三角函数最值或值域，文件包含方法8换元法求三角函数最值或值域原卷版docx、方法8换元法求三角函数最值或值域解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
