北师大版4 角平分线优质ppt课件

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如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO =∠PEO = 90°.∵ ∠1 =∠2，OP = OP，∴△PDO ≌△PEO（AAS）.∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C、D. 下列结论中错误的是（ ） A. PC = PDB. OC = ODC. ∠CPO =∠DPOD. OC = PO
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD = PE. 求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP =∠OEP = 90°.∵ PD = PE， OP = OP，∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.∴∠1 =∠2（全等三角形对应角相等）.∴OP 平分∠AOB.
例 1 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
∴在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
（1）如图，∵AD 平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
（2）如图，∵ PE = PF， ∴ AD 平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
（3）如图，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上， ∴ PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC， ∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
（5）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF， ∴点 P 在∠BAC 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点 C、点 B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF. 其中，正确的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF.又∵BD = CD，∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.∴EB = FC.
求证：P 在∠A的平分线上.
3. 已知：如图，PB、PC 分别是△ABC 的外角平分线， 相交于点 P.
证明：作 PE⊥AB，交 AB 延长线于 E. PH⊥BC 于 H，PG⊥AC，交 AC 的延长线于点 G， ∵BP 是角平分线， ∴PE = PH. ∵PC 是角平分线， ∴PH = PG. ∴PE = PG， ∴P 在∠A 的平分线上.