专题12 计数原理（客观题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题12   计数原理（客观题）

一、单选题

1．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有

A．480种  B．360种

C．240种  D．120种

2．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有

A．64种  B．48种

C．24种  D．12种

3．二项式的展开式中常数项为

A．5  B．10

C．-20  D．40

4．在的二项展开式中的系数为

A．  B．

C．  D．

5．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有

A．4种  B．12种

C．18种  D．24种

6．在的展开式中，的系数为

A．  B．

C．  D．

7．已知，则

A．2  B．6

C．12  D．24

8．展开式中无理项的项数为

A．7  B．6

C．5  D．4

9．的展开式中的系数是

A．90  B．80

C．70  D．60

10．从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有

A．种  B．种

C．种  D．种

11．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有

A．48种  B．36种

C．24种  D．12种

12．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是

A．35  B．40

C．50  D．70

13．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有

A．36种  B．54种

C．58种  D．72种

14．二项式的展开式中项的系数为10，则

A．8  B．6

C．5  D．10

15．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是

A．-84  B．-14

C．14  D．84

16．某班级从6名男生，3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为

A．83  B．84

C．72  D．75

17．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有

A．320种  B．360种

C．370种  D．390种

18．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为

A．530  B．502

C．503  D．505

19．的展开式中，的系数为

A．2  B．

C．3  D．

20．的展开式中x3的系数为

A．-5  B．10

C．5  D．-12

21．在的展开式中，的系数是

A．20  B．

C．  D．

22．在的展开式中的系数是

A．  B．

C．  D．

23．在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为

A．﹣40  B．40

C．﹣80  D．80

24．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为

A．4  B．5

C．4或5  D．6

25．的展开式中项的系数是

A．420  B．-420

C．1680  D．-1680

26．展开式的系数为

A．-10  B．10

C．-30  D．30

27．二项式的展开式的第二项是

A．  B．

C．  D．

28．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有

A．20种  B．50种

C．80种  D．100种

29．在的展开式中，若含项的系数为，则正实数

A．  B．

C．  D．

30．的展开式中，的系数是

A．20  B．

C．160  D．

31．的展开式中，的奇次幂项的系数之和为

A．  B．

C．  D．1

32．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为

A．4  B．8

C．16  D．24

33．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是

A．8  B．12

C．16  D．20

34．人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为

A．  B．

C．  D．

35．已知的展开式的第4项等于，则的系数等于

A．  B．

C．  D．

36．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项

A．2  B．3

C．4  D．5

37．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有

A．8种  B．12种

C．20种  D．24种

38．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为

A．18  B．24

C．30  D．36

39．的展开式的常数项是

A．  B．

C．  D．

40．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用表示三角形数阵的第行第个数，则

A．5050  B．4851

C．4950  D．5000

41．将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是

A．546  B．498

C．516  D．534

42．某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有

A．30种  B．96种

C．120种  D．125种

43．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有

A．15种  B．90种

C．120种  D．180种

44．在的展开式中，有理项共有

A．3项  B．4项

C．5项  D．6项

45．函数的导函数为，则的展开式中含项的系数为

A．20  B．

C．60  D．

46．从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有

A．30240  B．60480

C．15120  D．630

47．的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为

A．0  B．

C．  D．

48．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为

A．10  B．12

C．14  D．24

49．展开式中的常数项为

A．  B．15

C．  D．66

50．在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为

A．32  B．15

C．16  D．31

二、多选题

1．若3男3女排成一排，则下列说法错误的是

A．共计有720种不同的排法

B．男生甲排在两端的共有120种排法

C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种

D．男女生相间排法总数为72种

2．已知

，则

A． B．

C． D．

3．已知，，成递增等比数列，则在的展开式中，下列说法正确的是

A．二项式系数之和为

B．各项系数之和为

C．展开式中二项式系数最大的项是第项

D．展开式中第项为常数项

4．在的展开式中，下列说法正确的有

A．展开式中所有项的系数和为

B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C．展开式中二项式系数的最大项为第五项

D．展开式中含项的系数为

5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则

A．某学生从中选3门，共有30种选法

B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

6．已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则

A． B．

C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为54

7．若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，则

A． B．

C．第5项为 D．第5项为

8．设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是

A．若，则各项系数随着项数增加而减小

B．若各项系数随着项数增加而增大，则

C．若，，则第7项的系数最大

D．若，，则所有奇数项系数和为239

9．若，则

A． B．

C． D．

10．关于的说法，正确的是

A．展开式中的二项式系数之和为2048

B．展开式中只有第6项的二项式系数最大

C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

11．对于的展开式，下列说法正确的是

A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240

C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64

12．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是

A．若任意选科，选法总数为

B．若化学必选，选法总数为

C．若政治和地理至少选一门，选法总数为

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

13．若，则

A． B．

C． D．

14．关于的展开式，下列结论正确的是

A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为

C．只有第3项的二项式系数最大 D．含项的系数为

15．若的展开式中的系数是，则

A． B．所有项系数之和为1

C．二项式系数之和为 D．常数项为

16．若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为

A．  B．

C．  D．

三、填空题

1．一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有__________种．

2．若，则__________．

3．的展开式的常数项为__________．

4．展开式中的系数为，则=__________．

5．第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名，现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为__________（结果用数值表示）．

6．甲､乙､丙､丁4名学生参加体育锻炼，每人在，，三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选项､乙不选项的概率为__________．

7．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有__________．（用数字作答）

8．二项式的展开式中的系数为__________．

9．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__________种．

10．二项式的二项展开式中的常数项是__________．

11．展开式中含的项的系数为__________．

12．中秋节是中国传统佳节，赏花灯是常见的中秋活动．某社区拟举办庆祝中秋的活动，购买了三种类型的花灯，其中种花灯4个，种花灯5个，种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为__________．

13．在展开式中，含的项的系数是__________．

14．的展开式中的系数为__________．

15．已知，展开式的常数项为15，则__________．

16．若，

则__________．

17．的展开式的常数项是__________（用数字作答）．

18．设，则__________．

19．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答）

20．如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有__________．

21．的展开式中的系数为__________．

22．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是__________．

23．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校1人，则有__________种支教方案．

24．学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为__________（用数字作答）．

25．若的展开式中的系数为，则__________．

四、双空题

1．已知的所有项的系数的和为64，则__________，展开式中项的系数为__________．

2．若，则的值是_________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________种不同的取法．

3．在的二项展开式中，的系数为________；所有二项式系数和为________．

4．若，则___________，___________．

5．的展开式中，常数项是__________，的系数为__________．

6．已知，则__________；

__________．

7．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有__________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有__________种．