专题12 计数原理（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题12 计数原理（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题12 计数原理（客观题）
一、单选题
1．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有
A．480种 B．360种
C．240种 D．120种
【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理）
【答案】B
【分析】将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数．
【解析】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，所以共有360种．故选B．
2．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有
A．64种 B．48种
C．24种 D．12种
【试题来源】山东省潍坊高密市等三县市2020-2021学年高三10月过程性检测
【答案】C
【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有种方法．故选C．
3．二项式的展开式中常数项为
A．5 B．10
C．-20 D．40
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二
【答案】D
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出展开式中常数项
【解析】二项式展开式的通项公式为，
令，则，所以展开式中的常数项为，故选D．
4．在的二项展开式中的系数为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测
【答案】D
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，根据赋值法，即可求出指定项的系数．
【解析】因为展开式的第项为
，令，则，
所以的二项展开式中的系数为．故选D．
5．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有
A．4种 B．12种
C．18种 D．24种
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】D
【解析】由题意可得不同的采访顺序有种，故选D．
6．在的展开式中，的系数为
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式，由的指数分别为4与2可求得的系数．
【解析】在的展开式中，通项为，
令，求得，的系数为，故选．
7．已知，则
A．2 B．6
C．12 D．24
【试题来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺（4）
【答案】C
【分析】求出此二项式的展开式的通项为，即可得出结果．
【解析】因为，
此二项式的展开式的通项为，
当时，所以．故选C．
8．展开式中无理项的项数为
A．7 B．6
C．5 D．4
【试题来源】辽宁省2020-2021学年高三新高考11月联合调研
【答案】D
【分析】写出二项式展开的通项公式，让为分数，得到的即为无理项，求解符合条件的r，即可得答案．
【解析】二项式展开的通项公式，当，3，5，7时，对应的项均为无理数，故无理项的项数为4个，故选D．
9．的展开式中的系数是
A．90 B．80
C．70 D．60
【试题来源】河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中
【答案】A
【分析】根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果．
【解析】因为展开式的第项为，
令，得，则的系数为．故选A．
10．从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有
A．种 B．种
C．种 D．种
【试题来源】江苏省南通市西藏民族中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】根据这六个数字的特点可知，任取三个数字求和，其和一定为连续的自然数，故只需确定出和的最大值与最小值便可得出共有多少种结果．
【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．故选C．
11．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有
A．48种 B．36种
C．24种 D．12种
【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试
【答案】B
【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有不同的选取方法，故选B．
12．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是
A．35 B．40
C．50 D．70
【试题来源】江苏省南通市海安县2020-2021学年高三上学期期中调研考试
【答案】C
【分析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可．
【解析】6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，
所以不同的分配方案为，故选C．
13．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有
A．36种 B．54种
C．58种 D．72种
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（理）
【答案】B
【分析】先考虑乙有种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有种可能，其他3名同学名次有种，根据乘法原理，即可求解．
【解析】根据题意5人的名次排列情况可能有．故选B．
14．二项式的展开式中项的系数为10，则
A．8 B．6
C．5 D．10
【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考
【答案】C
【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值．
【解析】由二项式的展开式的通项得令 ，得，则 ，所以，解得，故选C．
15．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是
A．-84 B．-14
C．14 D．84
【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期六校第一次联考
【答案】A
【分析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数．
【解析】因为二项式的系数之和等于128，所以，解得，
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项的系数为，故选A．
16．某班级从6名男生，3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为
A．83 B．84
C．72 D．75
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】A
【分析】从反面入手，至少有1名女生的反面是没有女生，由此易得结论．
【解析】至少有1名女生的反面是全是男生，因此所求方法数为．故选A．
17．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有
A．320种 B．360种
C．370种 D．390种
【试题来源】湖南省永州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟
【答案】B
【分析】分两步，先选四人排前四天，再把剩余的安排到周五，相乘即得结果．
【解析】由题意分步进行安排：
第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有种排法；
第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法．
故不同的安排方法共有种．故选B．
18．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为
A．530 B．502
C．503 D．505
【试题来源】浙江省东阳中学2021届高三暑期第三次检测
【答案】B
【分析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果．
【解析】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，则所有“上升”的正整数的个数为，故选B．
19．的展开式中，的系数为
A．2 B．
C．3 D．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】B
【分析】由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解．
【解析】由题意，
的通项公式为，
令，则；令，则；
所以的展开式中，的系数为．故选B．
20．的展开式中x3的系数为
A．-5 B．10
C．5 D．-12
【试题来源】广东省梅州市蕉岭县蕉岭中学2021届高三上学期第三次质检
【答案】C
【分析】首先求的通项公式，再和相乘后，如何得到项，并计算系数，
【解析】的通项为
令，此时系数为令，此时的系数为
则的系数为．故选C．
21．在的展开式中，的系数是
A．20 B．
C． D．
【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考
【答案】D
【分析】根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案．
【解析】，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是．故选D．
22．在的展开式中的系数是
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再令，即可求解．
【解析】的展开式的通公式为，
令．则，故的系数是，故选A．
23．在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为
A．﹣40 B．40
C．﹣80 D．80
【试题来源】北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）
【答案】C
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数．
【解析】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为，
故x2的系数为﹣80．故选C．
24．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为
A．4 B．5
C．4或5 D．6
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第一次联考（理）
【答案】C
【分析】令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解．
【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得，所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，故选C．
25．的展开式中项的系数是
A．420 B．-420
C．1680 D．-1680
【试题来源】南昌市2020届高三数学（理）零模试题
【答案】A
【分析】表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可．
【解析】表示的是8个相乘，
要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，
所以展开式中 项的系数是．故选A．
26．展开式的系数为
A．-10 B．10
C．-30 D．30
【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】A
【分析】先求得的通项公式，然后再由求解．
【解析】的通项公式为，因为．
所以含的项为，
展开式的系数为-10，故选A．
27．二项式的展开式的第二项是
A． B．
C． D．
【试题来源】云南民族大学附属中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】D
【解析】展开式的通项为，
令，可得展开式的第二项为=．故选D．
28．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有
A．20种 B．50种
C．80种 D．100种
【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】B
【解析】当去4个人时，则安排方法有种，
当去5个人时，则安排方法有种，综上，不同的安排方法共有50种．故选B．
29．在的展开式中，若含项的系数为，则正实数
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】B
【分析】写出的展开式的通项，然后可建立方程求解．
【解析】的展开式的通项为
令，则，所以，解得或（舍），故选B．
30．的展开式中，的系数是
A．20 B．
C．160 D．
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （理）（一）
【答案】D
【分析】的展开式的通项公式为，
令，求出，带入即可得解．
【解析】的展开式的通项公式为，
令，可得，，故选D．
31．的展开式中，的奇次幂项的系数之和为
A． B．
C． D．1
【试题来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺（7）
【答案】A
【分析】先将展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和．
【解析】设，
令，则，令，则，
两式相减，整理得．故选A．
32．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为
A．4 B．8
C．16 D．24
【试题来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺（8）
【答案】B
【分析】由于戊站在正中间，位置确定，其他4人排列即可，再把甲乙分别排好同，最后2人再排列可得，应用分步乘法原理．
【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有（种），故选B．
33．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是
A．8 B．12
C．16 D．20
【试题来源】广东省茂名市五校联盟2021届高三上学期第一次联考
【答案】C
【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果．
【解析】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，
故．故选C．
34．人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】B
【分析】5人全排列，根据甲在乙左边与右边发生的概率相等即可求解．
【解析】先5人全排列有种不同的排法，甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为种．故选B．
35．已知的展开式的第4项等于，则的系数等于
A． B．
C． D．
【试题来源】西藏昌都市第一高级中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【分析】根据二项展开式通项公式写出第四项求得，然后求得所在项数后可得结论．
【解析】，，解得．
由得，所以的系数为．故选A．
36．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】西藏昌都市第一高级中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】D
【分析】先求得二项式的展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列，由求得，从而由展开式中中间项二项式系数最大求解．
【解析】二项式的展开式的通项为
，因为前三项的系数成等差数列，
所以，即，解得（舍去）
所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，故选D．
37．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有
A．8种 B．12种
C．20种 D．24种
【试题来源】广东省2021届普通高中学业质量联合测评（11月大联考）高三
【答案】C
【分析】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊．
【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序．故选C．
【名师点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题．常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
38．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为
A．18 B．24
C．30 D．36
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】C
【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案．
【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：，故选C．
39．的展开式的常数项是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二）
【答案】D
【解析】的展开式通项为，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是，故选D．
40．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用表示三角形数阵的第行第个数，则

A．5050 B．4851
C．4950 D．5000
【试题来源】内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理）模拟试题
【答案】B
【分析】依据二项展开式系数可知，得到第行第个数应为，即可求得的值．
【解析】依据二项展开式系数可知，第行第个数应为，
故第100行第3个数为，故选．
41．将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是
A．546 B．498
C．516 D．534
【试题来源】浙江省绍兴市诸暨中学2020-2021学年高三上学期10月测试
【答案】B
【分析】根据题意，由排除法先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0，且1的后一项是9的排列，2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列，1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列，分析可得答案
【解析】将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，
将中的2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为，中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为，中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为，则，
可得，
由B中排列产生的每一个8位数，恰对应B中的个排列（这样的排列中，20可与“2，0”互换，19可与“1，9”互换），类似地，由C或D中排列产生的每个8 位数，恰对应C或D中的2个排列，因此满足条件的8位数的个数为

，故选B．
【名师点睛】此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法；（2）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法．
42．某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有
A．30种 B．96种
C．120种 D．125种
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试
【答案】D
【分析】依题意，分析事件对应的情况，男生女生人数相等且不能为0，分四种情况计算，之后利用分类加法计数原理求得结果．
【解析】依题意可以选择1名男生，一名女生，选择方法共有种；
可以选择2名男生，2名女生，选择方法共有种；
可以选择3名男生，3名女生，选择方法共有种；
可以选择4名男生，4名女生，选择方法共有种；
由分类加法计数原理可得，选择方法共有种，故选D．
【名师点睛】解决此类问题的方法：（1）先根据题意，分析事件对应的结果有哪些；（2）利用组合数计算每一类对应的选择方法；（3）利用分类计数原理求得结果．
43．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有
A．15种 B．90种
C．120种 D．180种
【试题来源】山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】B
【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可．
【解析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有种，再将三组分配到3个服务小组，共有种，故选B．
44．在的展开式中，有理项共有
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
【试题来源】贵阳市2021届高三调研考试
【答案】C
【分析】由题意可得二项展开式共有25项，要求展开式中的有理项，只要在通项中，让为整数，求解符合条件的r即可．
【解析】由题意可得二项展开式的通项
根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，
则r＝0，6，12，18，24，共有5项，故选C．
45．函数的导函数为，则的展开式中含项的系数为
A．20 B．
C．60 D．
【试题来源】辽宁省丹东市2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】D
【分析】先求出函数的导函数，然后再根据二项式定理展开式求含项的系数，即可求解．
【解析】函数导函数为，
则的展开式的通项公式为，
令，则，此时含项为，
再令，则，此时含项为，
所以含的项为，
故含项的系数为，故选．
46．从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有
A．30240 B．60480
C．15120 D．630
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （理）（一）
【答案】A
【分析】本题首先可以确定选取4个数字有多少种方式，然后确定取1个数字出现两遍有多少种方式，再然后确定取两个位置放置重复数字有多少种方式，最后将剩下三个数字进行排列，并将得到的数字相乘，即可得出结果．
【解析】在这9个数字中选取4个数字，共有种，
在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，
在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，
剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选A．
【名师点睛】本题考查通过排列组合求满足题意的种数有多少，能否求出每一个条件下有多少种方式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题．
47．的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为
A．0 B．
C． D．
【试题来源】广西名校2021届高三上学期第一次高考模拟（理）
【答案】C
【分析】将展开，利用题中信息可求得结果．
【解析】
，
所以，的展开式中各项的指数之和为，
展开式中各项系数乘以各项指数之和为，
因此，所求结果为．故选C．
【名师点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解．
48．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为
A．10 B．12
C．14 D．24
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果．
【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：
①甲分配到班：有种分配方案；
②甲不分配到班：有种分配方案；
由分类加法计数原理可得共有种分配方案．故选．
【名师点睛】本题主要考查排列数的应用．常见求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
49．展开式中的常数项为
A． B．15
C． D．66
【试题来源】华大新高考联盟全国卷2021届高三11月教学质量测评（理）
【答案】C
【分析】首先求展开式的通项公式，再乘以后，分析如何生成常数项，求后，代入求展开式的常数项．
【解析】展开式的通项公式为，而，故要想产生常数项，则或 ，则所求常数为．故选C．
50．在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为
A．32 B．15
C．16 D．31
【试题来源】云南大学附属中学呈贡校区2021届高三上学期第四次月考（理）
【答案】D
【分析】按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计算可得解．
【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为，此题，所以最多可分为31个区域．故选D．
二、多选题
1．若3男3女排成一排，则下列说法错误的是
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
【试题来源】福建省长汀县龙宇中学2021届高三上学期特长生
【答案】BC
【分析】利用全排列、捆绑法、插空法对四种情况进行排列即可解得．
【解析】3男3女排成一排共计有种；男生甲排在两端的共有种；男生甲、乙相邻的排法总数种；男女生相间排法总数种；故选BC
【名师点睛】本题考查了全排列、捆绑法、插空法在排列组合中的应用，属于简单题，解题时需要准确选择合理的方法是解题的关键．
2．已知
，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省“五个一”名校联盟2021届高三上学期第一次联考
【答案】ACD
【分析】设，令记可判断A，令可判断B，令可判断C和D．
【解析】记，则．
令，则，所以为的展开式中的系数，
因为的通项为，所以．
又所以，
，
所以即．故选ACD．
3．已知，，成递增等比数列，则在的展开式中，下列说法正确的是
A．二项式系数之和为
B．各项系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第项
D．展开式中第项为常数项
【试题来源】湖南省怀化市沅陵县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】ACD
【分析】先根据等比数列求出的值，再令可求二项式系数和，令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，根据展开式的通项公式求第5项．
【解析】由，，成递增等比数列可得，则，
则的二项式系数之和为，A正确；
令，，则的各项系数之和为，B错误；
的展开式共有项，则二项式系数最大的项是第项，C正确；
的展开式中展开式中第项为常数项，D正确，故选ACD．
4．在的展开式中，下列说法正确的有
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含项的系数为
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期适应性月考
【答案】BCD
【解析】对于A，令，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；
对于B，展开式中奇数项的二项式系数和为，B正确；
对于C，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C正确；
对于D，展开式中含的项为，D正确．故选BCD．
5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】CD
【解析】6门中选3门共有种，故A错误；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．故选CD．
6．已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则
A． B．
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为54
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】ABD
【解析】令，得的展开式中各项系数之和为，所以，
选项A正确；
的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项B正确；
的展开式的通项公式为，
令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；
令，则，所以展开式中含项的系数为，选项D正确；
故选ABD．
7．若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，则
A． B．
C．第5项为 D．第5项为
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】AC
【分析】先利用二项式系数之和是，求出，再利用二项式的展开式的通项公式，求解即可．
【解析】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为256，
所以，所以，排除选项B；
因为二项式的展开式的通项公式为，
所以，排除选项D；故选AC．
8．设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是
A．若，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第7项的系数最大
D．若，，则所有奇数项系数和为239
【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】BCD
【分析】求出二项展开式的通项，取即可判断A；利用反证法可判断B；依次求出各项系数即可判断C；直接求出奇数项和即可判断D．
【解析】二项式的展开式的通项为，
对于A，当时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若，则最后两项为，有，与已知矛盾，故，故B正确；
对于C，若，，则各项系数为，，，
，，，，，，，，
故第7项的系数最大，故C正确．
对于D，若，，则所有奇数项系数和为
，故D正确．
故选BCD．
9．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三（理）模拟测试试题（一）
【答案】AC
【解析】因为，
令得，故A正确．
令得，故C正确．故选AC．
10．关于的说法，正确的是
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【试题来源】江苏省徐州市丰县中学2020-2021学年高三上学期迎接摸底考试模拟试卷（一）
【答案】ACD
【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；
由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D．
【解析】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；
因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；故选ACD
【名师点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型．
11．对于的展开式，下列说法正确的是
A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64
【试题来源】2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟
【答案】CD
【分析】项，二项式的展开式共有项；项，求出展开式的通项，令的指数为0，求出，代入，即得常数项；项，令，代入，即得展开式中各项系数之和；项，二项式的展开式中的二项式系数之和为．
【解析】的展开式共有7项，故A错误；
的通项为，
令，展开式中的常数项为，故B错误；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
的展开式中的二项式系数之和为，故D正确．故选．
12．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【试题来源】江苏省扬州市江都区大桥高级中学2020-2021学年高三上学期期初调研
【答案】BD
【分析】根据排列组合知识对各个选项进行判断．
【解析】若任意选科，选法总数为，A错；若化学必选，选法总数为，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．故选BD．
13．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省邢台市第一中学2021届高三上学期第二次月考
【答案】ACD
【解析】由题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
，
当时，，
所以．故选ACD．
14．关于的展开式，下列结论正确的是
A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为
C．只有第3项的二项式系数最大 D．含项的系数为
【试题来源】重庆市南开中学2021届高三上学期8月月考
【答案】BD
【分析】根据二项式系数的性质，可判断选项；用赋值法求出所有系数的和，可判断选项，
求出展开式的通项，可判断选项、，即可得出结论．
【解析】的展开式奇数项的二项式系数和为，选项不正确；
中，令，可得，选项正确；
的展开式通项为，
，所以第三项和第四项的二项式系数最大，选项不正确；
令，得，此时，所以含项的系数为，选项正确．故选BD．
15．若的展开式中的系数是，则
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【试题来源】河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底
【答案】ABC
【分析】首先根据展开式中的系数是得到，从而判断A正确，令得到所有项系数之和为，从而判断B正确，根据二项式系数之和为，从而判断C正确，根据的常数项为，从而判断D错误．
【解析】对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知，令，所有项系数之和为，故B正确；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误．故选ABC．
16．若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市海安县2020-2021学年高三上学期期中调研考试
【答案】ABC
【分析】分三种情况讨论：①展开式中第项和第项的二项式系数最大；②展开式中只有第项的二项式系数最大；③展开式中第项和第项的二项式系数最大．确定每种情况下展开式的项数，进而可求得的值．
【解析】分以下三种情况讨论：
①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得．
因此，的可能值为、、．故选ABC．
【名师点睛】对二项式中的项的求解方法：
（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项的特点，一般需要建立方程求得的值，再将的值代回通项，主要是的取值范围；
（2）若为偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大；
（3）若为奇数时，中间一项（第项和第项）的二项式系数最大．
三、填空题
1．一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有__________种．
【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模）
【答案】30
【分析】从反面考虑，总数为，不含有编号为3的总数为，即得解．
【解析】从反面考虑，总数为，不含有编号为3的总数为，
所以含有编号为3的总数为．故答案为30．
2．若，则__________．
【试题来源】江西省南昌三中2020-2021学年高三上学期11月第一次月考（理）24
【答案】
【分析】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，根据二项式展开式的公式得到结果即可．
【解析】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，
由展开式的公式可得到含有的展开项为．故答案为．
3．的展开式的常数项为__________．
【试题来源】云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式，先写出展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果．
【解析】展开式的第项为
，
令解得，因此的展开式的常数项为．
4．展开式中的系数为，则=__________．
【试题来源】广西北海市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】6
【分析】由二项式定理求解即可．
【解析】展开式中的系数为，解得．故答案为．
5．第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名，现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为__________（结果用数值表示）．
【试题来源】上海市五爱高级中学2021届高三上学期期中
【答案】120
【分析】由高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名，且要求高一年级和高二年级的同学都有，故可用总情况数减去5人都是同一个年级的情况数，可得出答案．
【解析】由题意，从9位学生中选取5人，选取方法总共有种，
从报名的学生中选取5人，若5人都是同一个年级的学生，则选取方法有种，
所以要求高一年级和高二年级的同学都有，不同的选取方法种数为．
故答案为120．
6．甲､乙､丙､丁4名学生参加体育锻炼，每人在，，三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选项､乙不选项的概率为__________．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中2020-2021学年高三上学期联合考试（理）
【答案】
【解析】每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，
其中甲､乙的选择方式有种，其余两人仍有种，
故甲不选､乙不选项目的概率为．故答案为．
7．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有__________．（用数字作答）
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考（理）
【答案】
【分析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果．
【解析】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；
若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，
则共有种，故答案为．
【名师点睛】本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题．
8．二项式的展开式中的系数为__________．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果．
【解析】因为展开式的第项为
，令，则，
因此二项式的展开式中的系数为．故答案为．
9．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__________种．
【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考
【答案】36
【分析】可利用分步乘法计数原理，先排，，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可．
【解析】依题意，可分三步，先排，，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得共有种，故答案为36．
10．二项式的二项展开式中的常数项是__________．
【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】15
【解析】因为的展开式的通项是，
当时，r＝2，所以展开式中的常数项是．故答案为15．
11．展开式中含的项的系数为__________．
【试题来源】江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】-100
【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项，合并求得结果．
【解析】展开式的通项公式为，
令，解得，，令，解得，
，展开式中含的项的系数为，故答案为-100．
12．中秋节是中国传统佳节，赏花灯是常见的中秋活动．某社区拟举办庆祝中秋的活动，购买了三种类型的花灯，其中种花灯4个，种花灯5个，种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为__________．
【试题来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺（3）
【答案】70
【分析】由题可得三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可．
【解析】由题意可知，三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：种花灯选2个，种花灯选1个，种花灯选1个：种花灯选1个，种花灯选2个，种花灯选1个．故不同的抽取方法有(种)．故答案为70．
13．在展开式中，含的项的系数是__________．
【试题来源】四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】．
【分析】求出中和的系数，即可得．
【解析】根据二项式定理得的系数为．
14．的展开式中的系数为__________．
【试题来源】广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中
【答案】
【分析】将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可得解．
【解析】，
展开式通项为，
，
令，可得，因此，展开式中的系数为．故答案为．
15．已知，展开式的常数项为15，则__________．
【试题来源】广东省汕头市澄海中学2021届高三上学期第一次段考
【答案】1
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中的常数项为，解得，
又，所以．故答案为1．
16．若，
则__________．
【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】
【分析】先利用二项展开式的通项公式求解，然后利用赋值法求解．
【解析】由题意，由，，
所以，
令，则，所以．
故答案为．
17．的展开式的常数项是__________（用数字作答）．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】
【分析】先写出二项展开式的通项，由赋值法，即可求出结果．
【解析】因为展开式的第项为，
令，则，所以展开式的常数项为．故答案为．
18．设，则__________．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】令可求得的值，写出的展开式通项，可求得，由此可计算得出的值．
【解析】，
，，
所以，的展开式通项为
，
由，可得，所以，，
因此，．故答案为．
【名师点睛】对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
19．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答）
【试题来源】贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考（理）
【答案】6
【分析】首先化简多项式，再根据展开式的通项公式求常数项．
【解析】，通项公式，
当时，，．故答案为6．
20．如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有__________．

【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】
【分析】首先先给染色，再按分类和分步，给染色，计算染色方法．
【解析】首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法．故答案为．
21．的展开式中的系数为__________．
【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】
【分析】本题首先可以写出二项式的通项，然后写出二项式的通项，最后根据两个二项式的通项即可得出结果．
【解析】二项式的通项，
二项式的通项，
故的系数为，故答案为．
【名师点睛】本题考查展开式中特定项的系数的求法，考查二项式定理的应用，二项式的通项为，可通过二项展开式的通项快速找出满足题意的特定项，考查计算能力，是中档题．
22．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是__________．
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】
【分析】首先由二项式系数相等求，再根据通项公式求指定项的系数．
【解析】由条件可知，所以，
所以的通项公式是，
令，解得，所以函数的系数是．故答案为-4．
【名师点睛】本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第项的系数是，这一点容易记错，需注意．
23．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校1人，则有__________种支教方案．
【试题来源】贵阳市2021届高三调研考试
【答案】720
【分析】首先分析题意，得到从三所学校中总共抽调5名教师，且每所学校至少抽调1人，有两种方案抽取，一是三所学校中有一所学校抽调3人，其余两所学校各抽调1人，二是三所学校中有一所学校抽调1人，其余两所学校各抽调2人，之后5人全排，求得结果．
【解析】根据题意可知从三所学校中总共抽调5名教师，且每所学校至少抽调1人，
有两种方案抽取，
一是三所学校中有一所学校抽调3人，其余两所学校各抽调1人，有种选择方案，
二是三所学校中有一所学校抽调1人，其余两所学校各抽调2人，有种选择方案，
之后将5人安排到5所学校支援，共有种支教方案，
故答案为720．
【名师点睛】该题考查的是有关排列组合的综合问题，该题解题思路如下：（1）首先根据题意，找出5人的选取方案；（2）之后往各个学校分配的时候全排即可；（3）解决排列组合的综合问题时，要注意先选后排．
24．学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为__________（用数字作答）．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学2020-2021学年高三上学期阶段二考试（理）
【答案】30；
【分析】根据题意，先由分层抽样方法计算抽取的7人中男、女运动员的人数，再利用组合数公式计算从7人中抽取3人代表学校参加比赛的情况数目，从中排除只有男运动员和只有女运动员的情况数目，即可得答案．
【解析】根据题意，学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，共人，
用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人，
则应抽取男运动员人，女运动员人，
再从7人中抽取3人代表学校参加比赛，有种，
其中只有男运动员的有种，只有女运动员则有种，
则这3人中男、女运动员都有的选法有种；故答案为30．
【名师点睛】处理排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．
25．若的展开式中的系数为，则__________．
【试题来源】上海市黄浦区格致中学2021届高三上学期期中
【答案】
【分析】由题意，二项式展开式的通项为，结合题意，求得，进而得到关于的方程，即可求解．
【解析】求得二项式的展开式的通项为，
当，解得，此时，
所以，解得．故答案为．
【名师点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项的特点，一般需要建立方程求得的值，再将的值代入通项求解，同时注意的取值范围（）．
四、双空题
1．已知的所有项的系数的和为64，则__________，展开式中项的系数为__________．
【试题来源】广东省2021届普通高中学业质量联合测评（11月大联考）高三
【答案】1 15
【分析】令可求得，求出展开式的通项即可得出结果．
【解析】令得，，解得，
的展开式的通项，分别取与，得，，
所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，
所以展开式中项的系数为．故答案为1；15．
【名师点睛】本题考查二项展开式的相关问题，解题的关键是利用赋值法求所有项的系数的和，并求出展开式中含有和的项的系数．
2．若，则的值是_________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________种不同的取法．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】125 35
【分析】先令求出，再令求出，再根据二项式的通项公式求出，即可求出的值；利用插空法即可求出任取不同的三项，三项均不相邻的取法．
【解析】，
令，则，令，则，
，；
在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，
可以利用插空法，从六项所形成的七个空中选取三个空，
则有种．故答案为125；35．
3．在的二项展开式中，的系数为________；所有二项式系数和为________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数，所有二项式系数和利用求解即可．
【解析】的二项展开式的通项公式为，
令，求得，所以的系数为，
所有二项式系数和为．故答案为；．
4．若，则___________，___________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】
【分析】令可求得所有项的系数和，由利用二项展开式通项公式可求得．
【解析】令，则；由于，
从而．故；．
故答案为32；10．
5．的展开式中，常数项是__________，的系数为__________．
【试题来源】浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】根据二项式定理可得展开式通项公式，分别令和，即可求得结果．
【解析】展开式的通项公式为，
令，则，即常数项为；
令，则，则的系数为．
故答案为；．
6．已知，则__________；
__________．
【试题来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期9月教学测试
【答案】0
【分析】将原式改写成，求出展开式的通项，从而求得；再令，求出展开式系数和；
【解析】因为
其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故
令则
故答案为；．
7．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有__________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有__________种．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】根据题意，7科中任选3科，满足即可；以甲、乙所选相同学科是否是物理、历史两科分为两类，每类由排列、组合公式即可求解．
【解析】由题意，7科中任选3科，即．
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有种；
第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则种，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有．
故答案为；．
【名师点睛】本题主要考查排列、组合的应用，属于中档题．常见排列数、组合数的求法为
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．