专题18 随机变量及其分布（客观题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题18   随机变量及其分布（客观题）

一、单选题

1．设，随机变量的分布

则当a在内增大时，

A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

2．设随机变量，函数没有零点的概率是，则

附：若，则，．

A．  B．

C．  D．

3．两位教师和两位学生排成一排拍合照，记为两位学生中间的教师人数，则

A．  B．

C．  D．

4．设随机变量的分布列如下

其中构成等差数列，则的

A．最大值为 B．最大值为

C．最小值为 D．最小值为

5．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么

A．  B．

C．  D．

6．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则

A．  B．

C．  D．

7．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为

A．  B．

C．  D．

8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是

A． B．

C． D．

9．当使用一仪器去测量一个高度为70单位长的建筑物50次时，所得数据为

根据此数据推测，假如再用此仪器测量该建筑物2次，则2次测得的平均值为71单位长的概率为

A．0.04  B．0.11

C．0.13  D．0.26

10．已知随机变量服从正态分布，，

A．  B．

C．  D．

11．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则

A．  B．

C．  D．

12．若随机变量，则

A．  B．

C．  D．

13．已知随机变量服从二项分布，且，则

A．10  B．15

C．20  D．30

14．在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为

A．0.05  B．0.1

C．0.15  D．0.2

15．设，离散型随机变量的分布列是如下，则当在内增大时

A．增大 B．减小

C．先减小后增大 D．先增大后减小

16．同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币恰有一次正面向上的次数为，则的数学期望是

A．  B．

C．  D．

17．口袋里放有大小相等的个红球和个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，，如果为数列的前项和，那么的概率为

A．  B．

C．  D．

18．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为20，则的值为

A． B．

C． D．

19．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于

A．16 B．11

C．2.2 D．2.3

20．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是

A．  B．

C．  D．

21．若随机变量，，且，则

A．  B．

C．  D．

22．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则

A．  B．

C．  D．

23．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为

A．  B．

C．  D．

24．一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是

A．  B．

C．  D．

25．已知随机变量，，则

A．0.2  B．0.4

C．0.6  D．0.8

26．设，随机变量X的分布列是

则的取值范围是

A．  B．

C．  D．

27．下列正确命题的序号有

①若随机变量，且，则．

②在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则与是互斥事件，也是对立事件．

③一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于

④由一组样本数据，，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，中的一个点．

A．②③  B．①②

C．③④  D．①④

28．若随机变量X的分布列如下所示

且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是

A．0.4，0.1 B．0.1，0.4

C．0.3，0.2 D．0.2，0.3

29．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的．年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是

A．  B．

C．  D．

30．2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝

A．  B．

C．  D．

二、多选题

1．下列命题正确的是

A．若随机变量，且，则

B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件

C．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于

D．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点

2．随机变量的分布列为其中，下列说法正确的是

A．  B．

C．随的增大而减小 D．有最大值

3．给出下列命题，其中正确命题为

A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为

B．随机变量，若，，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

4．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为

A． B．

C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件

5．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是

A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5

C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是

6．若随机变量，，其中，下列等式成立有

A． B．

C． D．

7．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有

参考数据：①；②；③

A．这次考试标准分超过180分的约有450人

B．这次考试标准分在内的人数约为997

C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为

D．

8．下列判断正确的是

A．若随机变量服从正态分布，，则

B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件

C．若随机变量服从二项分布：，则

D．是的充分不必要条件

9．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则

（附：，，，．）

A．该校学生每周平均阅读时间为9小时

B．该校学生每周阅读时间的标准差为4

C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%

D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210

10．下列说法中正确的是

A．设随机变量X服从二项分布，则

B．已知随机变量X服从正态分布且，则

C．；

D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大

三、填空题

1．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量__________次（若，则）．

2．随机变量的概率分布满足，则__________．

3．设随机变量，，若，则__________．

4．已知，若，则__________．

5．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．

6．袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球､2个黑球､1个红球．现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束．用表示终止取球时已取球的次数，则随机变量的数学期望__________．

7．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次命中的个数，则X的期望是__________．

8．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确实是由感染的．对于难以判断是由或是由感染的，于是假定他是由和感染的概率都是．同样也假定由，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中都是由感染的概率是__________．

9．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则__________．

10．设随机变量服从正态分布，若，则__________．

11．一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，记取出的球的颜色有种，则__________．

12．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．

13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则__________．

14．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．

15．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝__________．

16．六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且．某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为__________．数据参考：若服从正态分布，则，，

17．已知随机变量，若，则__________．

18．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的模率为，得0分的概率，（），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为__________．

19．已知随机变量的分布列为

若，则__________．

20．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．

21．已知随机变量，若，则__________．

22．若，且，则__________．

23．随机变量的分布如下表，则__________．

24．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为__________．

25．假设苏州肯帝亚球从在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于，其中，且各场比赛互不影响．令表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有场出现输球的概率．已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为__________．

四、双空题

1．小明的投篮命中率为，各次投篮命中与否相互独立．他连续投篮三次，设随机变量X表示三次投篮命中的次数，则__________；__________．

2．为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是__________；设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为__________．

3．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中，又，，则当__________时，随机变量X的方差的最小值为__________．

4．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是__________，若表示取到黄球球的个数，则__________．

5．有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为__________（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望__________．