专题18 随机变量及其分布（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题18 随机变量及其分布（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题18 随机变量及其分布（客观题）
一、单选题
1．设，随机变量的分布


0
1
P

a
b
则当a在内增大时，
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理）
【答案】D
【分析】求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断．
【解析】由因为分布列中概率之和为1，可得，
所以，所以当增大时，减小，
又由
可知当在内增大时，减小．故选D．
2．设随机变量，函数没有零点的概率是，则
附：若，则，．
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】B
【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【解析】函数没有零点，二次方程无实根，
，，又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知，，，
，
，，
，选B．
【名师点睛】本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性．
3．两位教师和两位学生排成一排拍合照，记为两位学生中间的教师人数，则
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】C
【分析】根据题意，随机变量的取值为，结合排列组合，求得随机变量的取值对应的概率，利用公式，即可求解．
【解析】根据题意，随机变量的取值为，
可得，
所以期望为．故选C．
【名师点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
（1）理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
（2）求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
（4）若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解．
4．设随机变量的分布列如下

1
2
3
4
5
6







其中构成等差数列，则的
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【试题来源】北京市2021届高三入学定位考试
【答案】B
【分析】根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案．
【解析】，，，
当且仅当时取等，故选B．
【名师点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多．
5．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省新津中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解．
【解析】由题意，可知，
利用条件概率的计算公式，可得，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年高三上学期半期考试（理）
【答案】A
【分析】先求出概率，再求最大值，借助于均值不等式求解．
【解析】设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，事件B：检测6个人确定为“感染高危户”．所以，．
即．设，则
，
所以，
当且仅当即时取等号，即．故选A．
7．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田第二十五中学2021届高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】根据题设分析知芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率．
【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率为；不被选的概率为；而选择芯片领域的人数，
所以服从二项分布，，
那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为．故选A．
【名师点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率．
8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省宁波市宁海中学2020-2021学年高三上学期9月第一次模拟
【答案】C
【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误；
【解析】由题意知设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，
所以爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：（1），
，故A、B正确；
（2），，即，有，故C错误；
（3），即，
有，故D正确；故选C.
9．当使用一仪器去测量一个高度为70单位长的建筑物50次时，所得数据为
测量值
68单位长
69单位长
70单位长
71单位长
72单位长
次数
5
15
10
15
5
根据此数据推测，假如再用此仪器测量该建筑物2次，则2次测得的平均值为71单位长的概率为
A．0.04 B．0.11
C．0.13 D．0.26
【试题来源】广东省佛山市南海区2021届高三上学期8月摸底
【答案】C
【分析】由题意，2次测得的平均值为71单位长事件有{两次测得都为71单位长，一次70单位长另一次72单位长}，根据数据求出测得70、71、72单位长的概率，进而利用古典概型求2次测得的平均值为71单位长的概率即可；
【解析】由题意知2次测得的平均值为71单位长，则事件有{两次测得都为71单位长，一次70单位长另一次72单位长}；
根据数据知P{测得70单位长}=，P{测得71单位长}= ，P{测得72单位长}= ，
所以P{两次测得都为71单位长}= ，P{一次70单位长另一次72单位长}= ，所以2次测得的平均值为71单位长的概率，故选C.
10．已知随机变量服从正态分布，，
A． B．
C． D．
【试题来源】广西桂林、崇左、贺州市2019-2020学年高三下学期第二次联合调研考试（理）
【答案】B
【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果．
【解析】，所以，．故选B．
11．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】A
【分析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可.
【解析】由已知得，，
则，故选A.
12．若随机变量，则
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林油田第十一中学020-2021学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】D
【分析】利用二项分布的期望和方差公式分别求得、，再结合期望的性质可求得所求代数式的值．
【解析】因为随机变量，则，，
因此，．故选D．
13．已知随机变量服从二项分布，且，则
A．10 B．15
C．20 D．30
【试题来源】河南省商丘、周口、驻马店市联考2020-2021年度高三开学考试（一）（理）
【答案】C
【分析】先由和二项分布的期望计算公式求得，再根据二项分布方差计算公式，可得选项．
【解析】因为，所以，故．故选C．
14．在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为
A．0.05 B．0.1
C．0.15 D．0.2
【试题来源】河北省衡水中学2020届高三高考数学（理）二调试题
【答案】B
【分析】根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用在内取值的概率为0.8，即可求得结论．
【解析】服从正态分布，曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.8，在内取值的概率为0.5，
在内取值的概率为．故选．
15．设，离散型随机变量的分布列是如下，则当在内增大时

0
1
2




A．增大 B．减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【试题来源】广东省深圳市宝安区2021届高三上学期期末调研（9月开学考试）
【答案】D
【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性．
【解析】由题意：，
所以，
因为，所以先增后减，故选D．
16．同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币恰有一次正面向上的次数为，则的数学期望是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】D
【分析】先求同时抛掷枚质地均匀的硬币1次，枚硬币恰有一次正面向上的概率，再根据二项分布数学期望公式求结果．
【解析】同时抛掷枚质地均匀的硬币1次，枚硬币恰有一次正面向上的概率为，因为，故选D．
17．口袋里放有大小相等的个红球和个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，，如果为数列的前项和，那么的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】B
【分析】先确定事件含义，再根据独立重复试验概率乘法公式求结果．
【解析】指7次有放回地摸球中，摸出5次红球2次白球，
从个红球和个白球，有放回地每次摸取一个球，取出红球概率为，取出白球概率为，
所以的概率为，故选B.
18．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为20，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试
【答案】A
【分析】先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求的值．
【解析】若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为，，
数学期望为，
由，解得．故选A．
19．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16 B．11
C．2.2 D．2.3
【试题来源】山西省应县第一中学校2021届高三上学期开学考试（高二下学期期末）（理）
【答案】A
【解析】由表格可求，
故，故选A．
20．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省应县第一中学校2021届高三上学期开学考试（高二下学期期末）（理）
【答案】D
【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.01，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的期望公式或概率公式计算即可得到结果．
【解析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.01，
故本题符合独立重复试验，即，．故A，C错；
根据独立重复试验的概率公式得，故选D项．
21．若随机变量，，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研
【答案】A
【分析】根据题意，由随机变量，，且可得，再利用对称性可得结果．
【解析】因为随机变量，，且，
所以，所以 ，故选A．
22．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省常州市溧阳中学2020-2021学年高三上学期期初考试
【答案】B
【解析】事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，．故选B．
23．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省泸县第四中学2019-2020学年高三下学期第二次月考（理）
【答案】D
【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果．
【解析】因为随机变量服从正态分布，，
根据正态分布的特征，可得，解得．故选D．
24．一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省新津中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】D
【解析】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B(4，0.2)，
所以P(ξ≤2)＝ (0.8)4＋ (0.8)3×0.2＋ (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8．故选D.
25．已知随机变量，，则
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
【试题来源】江苏省扬州市高邮市2020-2021学年高三上学期期初学情调研
【答案】A
【分析】由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求；
【解析】由，知随机变量的分布函数图象关于对称，
所以；故选A.
26．设，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
P
a
b

则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得，且，
可得，由，所以，
因为，所以，故选C．
【名师点睛】求解一般的随机变量的期望的基本方法是先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解．
27．下列正确命题的序号有
①若随机变量，且，则．
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则与是互斥事件，也是对立事件．
③一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
④由一组样本数据，，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，中的一个点．
A．②③ B．①②
C．③④ D．①④
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三第一诊断模拟测试（理）
【答案】A
【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断②；计算概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可判断④，进而可得正确答案．
【解析】对于①：因为，且，所以，解得，所以，所以，故①不正确；
对于②：根据互斥事件的定义可得与是互斥事件，
也是对立事件，故②正确；
对于③：表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则，故③正确；对于④：对于回归直线方程，只能确定通过，故④不正确，
所以②③正确．故选A.
28．若随机变量X的分布列如下所示
X
－1
0
1
2
P
0.2
a
b
0.3
且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是
A．0.4，0.1 B．0.1，0.4
C．0.3，0.2 D．0.2，0.3
【试题来源】吉林油田第十一中学020-2021学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】B
【分析】由随机变量X的分布列概率之和为1得到，再结合E(X)＝0.8求解．
【解析】由随机变量X的分布列得，所以，
因为，解得，所以，故选B.
29．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的．年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解．
【解析】由题意，飞机引擎正常运行的概率为，
则飞机能成功飞行的概率为，
飞机能成功飞行的概率为，
令即，解得．
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是．故选C．
30．2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三8月开学考试（理）试卷
【答案】A
【分析】求出，，然后由条件概率公式计算．
【解析】由题意，，，
所以．故选A．
二、多选题
1．下列命题正确的是
A．若随机变量，且，则
B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件
C．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
D．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点
【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】BC
【分析】A．根据二项分布求期望和方差公式，直接求解；B．根据互斥，对立事件的定义直接判断；C．首先理解表示的事件，再求概率；D．样本数据中每个点到回归直线的距离的平方和最小即可，可以一个点都不过．
【解析】A．，，
，则，故A不正确；
B．根据互斥事件的定义可知与是互斥事件，且，也是对立事件，故B正确；
C．由题意可知，表示前两个是白球，第三个是黑球，
则，故C正确；
D．回归直线方程也可以一个点都不经过，故D不正确．故选BC.
2．随机变量的分布列为其中，下列说法正确的是

0
1
2




A． B．
C．随的增大而减小 D．有最大值
【试题来源】江苏省扬州大学附属中学2020-2021学年高三上学期10月检测
【答案】ABD
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
【解析】由题意可知，即，所以正确；
，所以正确；
，，
所以在上函数是增函数，在，上函数是减函数，
所以先增大后减小、有最大值，当时取得最大值，
所以错误；正确；故选ABD．
【名师点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望方差的求法，熟练准确掌握期望与方差的计算公式至关重要．
3．给出下列命题，其中正确命题为
A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为
B．随机变量，若，，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【试题来源】重庆市南开中学校2021届高三上学期第三次质量检测
【答案】ABD
【分析】利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D选项的正误．
【解析】对于A选项，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，
则回归直线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，随机变量，
若，，则，解得，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量服从正态分布，
，则，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，
故越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确．故选ABD．
4．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【试题来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟（二）
【答案】BCD
【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．
【解析】甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选BCD．
5．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是
A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A卷试题
【答案】ACD
【分析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5，然后求出其对应的概率，从而可求出数学期望，进而可得结果
【解析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是
1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；
，，
又X最有可能的取值是4，．故选ACD．
6．若随机变量，，其中，下列等式成立有
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第一次月度检测
【答案】AC
【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【解析】随机变量服从标准正态分布，正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A．，所以该命题正确；
B．，所以错误；
C．，所以该命题正确；
D．或，所以该命题错误．故选．
7．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考
【答案】BC
【解析】选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；选项D：由题中所给的公式可知
，
，
所以由正态分布的性质可知
所以本说法不正确．故选BC．
8．下列判断正确的是
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
【试题来源】江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高三上学期期初检测
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的对称性可判断选项A；由线面垂直可以得线线垂直，， ，与位置关系不确定，无法得到，可判断选项B；根据二项分布均值公式求解可判断选项C；由可得到，但反之不成立，可判断选项D．
【解析】对于A ：随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称，因为，所以，所以，故选项A正确；对于B：若， ，则，因为，所以，若，当时，与位置关系不确定，所以无法得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项B不正确；对于C：因为随机变量服从二项分布，所以，故选项C正确；对于D：由可得到，但，时得不到，故选项D正确．故选ACD．
9．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则
（附：，，，．）
A．该校学生每周平均阅读时间为9小时
B．该校学生每周阅读时间的标准差为4
C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%
D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210
【试题来源】江苏省常州市溧阳中学2020-2021学年高三上学期期初考试
【答案】AD
【分析】根据正态分布及附加数据，结合选项可以判定，由可得，平均数是9，标准差为2．
【解析】因为，，所以平均数是9，标准差为2，A正确，B不正确；
因为，，．
结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占，C不正确；
每周阅读时间在3-5小时的人数占，
，所以D正确；故选AD．
【名师点睛】本题主要考查正态分布，掌握正态曲线的性质是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养．
10．下列说法中正确的是
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【试题来源】辽宁省沈阳市重点高中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】ABD
【分析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C．
【解析】对于选项设随机变量，则，
所以选项A正确；对于选项因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，所以，所以选项B正确；
对于选项，，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，，由一次函数和二次函数的性质知，当时，随着x的增大而减小，随着x的增大而增大，故选项D正确．故选ABD．
三、填空题
1．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量__________次（若，则）．
【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】32
【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可．
【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以．故答案为32．
【名师点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息．
2．随机变量的概率分布满足，则__________．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】
【分析】由可求得，再利用随机变量数学期望公式结合倒序相加法可求得的值．
【解析】由题意可得，
则．
倒序：．
，，，，
故，则．故答案为．
【名师点睛】本题考查数学期望的计算，解题的关键就是利用二项式系数的对称性，结合倒序相加法求出的值，同时也要注意随机变量在所有可能取值下的概率之和为，结合二项式定理求出的值．
3．设随机变量，，若，则__________．
【试题来源】T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】6
【分析】由题意可得，根据公式可得可得答案．
【解析】随机变量，则，
，解得，故答案为6.
4．已知，若，则__________．
【试题来源】吉林油田第十一中学020-2021学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】
【分析】由正态分布的对称性得正态密度曲线的对称轴为，进而根据题意得，故
【解析】因为，所以正态密度曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以，故答案为.
5．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．
【试题来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中（理）
【答案】
【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值．
【解析】离散型随机变量，，
．故答案为．
6．袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球､2个黑球､1个红球．现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束．用表示终止取球时已取球的次数，则随机变量的数学期望__________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】
【分析】根据题意可取，求出对应随机变量的概率，即可得出结果．
【解析】根据题意可取，，
，，
故．故答案为．
7．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次命中的个数，则X的期望是__________．
【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理）
【答案】0.8
【解析】因为，，所以，故答案为.
8．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确实是由感染的．对于难以判断是由或是由感染的，于是假定他是由和感染的概率都是．同样也假定由，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中都是由感染的概率是__________．
【试题来源】辽宁省2020-2021学年高三新高考11月联合调研
【答案】
【解析】在这种假定下，，，中都是由感染的概率为．
故答案为．
9．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则__________．
【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】
【分析】先求得的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得期望值．
【解析】依题意可知的可能取值为，且：，
，，，
所以．故答案为.
10．设随机变量服从正态分布，若，则__________．
【试题来源】山东省潍坊高密市等三县市2020-2021学年高三10月过程性检测
【答案】0.6
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【解析】由题意，所以，
所以．故答案为0.6．
11．一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，记取出的球的颜色有种，则__________．
【试题来源】浙江省湖州市、衢州市、丽水市2020-2021学年高三上学期11月教学质量检测
【答案】
【分析】由随机变量的可能取值为1，2，3，再分别求出每种取值的概率，然后根据期望公式求解．
【解析】随机变量的可能取值为1，2，3，
所以
所以，
故答案为．
12．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．
【试题来源】江苏省扬州市北京新东方扬州外国语学校2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】0.4
【分析】根据随机变量服从正态分布，且，得到，然后由求解．
【解析】因为随机变量服从正态分布，且，
所以，所以
，，故答案为0.4．
13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则__________．
【试题来源】北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试
【答案】
【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解．
【解析】由题意知，结果中没有正面向上的概率为，此时，
而时对应概率为，．故答案为．
14．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．
【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】0.2
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（0＜X＜1）．
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N（1，o2），所以正态曲线的对称轴是x＝1，
因为P（X＜2）＝0.7，所以P（1＜X＜2）＝0.7-0.5=0.2，
所以P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2）＝0.2，故答案为0.2．
【名师点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
15．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝__________．
【试题来源】辽宁省六校协作体2020-2021学年高三第一次联考
【答案】0.4
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合，求得，则可求．
【解析】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，
又，，则．故答案为0.4．
【名师点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
16．六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且．某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为__________．数据参考：若服从正态分布，则，，
【试题来源】安徽省六安市城南中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】160
【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于分对应的概率，从而可求出对应的人数．
【解析】因为成绩近似服从正态分布，且，
所以，
因此该校数学成绩不低于分的人数为．故答案为．
17．已知随机变量，若，则__________．
【试题来源】湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考（一）
【答案】0.8
【分析】先根据正态分布对称性求，再求
【解析】因为随机变量， ，
所以，因此.
18．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的模率为，得0分的概率，（），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为__________．
【试题来源】湖北省随州市第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考
【答案】
【分析】推导出，从而，利用基本不等式能求出的最小值．
【解析】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，
得0分概率为，，他投篮一次得分的期望为2，，
，
当且仅当时取等号，的最小值为．故答案为．
【名师点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．已知随机变量的分布列为

0
1
2




若，则__________．
【试题来源】黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（理）四模试题
【答案】
【分析】根据变量间的关系计算新的均值．
【解析】由概率分布列知．．
【名师点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．
20．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望__________．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九（理）
【答案】
【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值．
【解析】由于离散型随机变量，，因为随机变量，由期望的性质可得．故答案为．
【名师点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
21．已知随机变量，若，则__________．
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期摸底
【答案】0.6
【分析】随机变量知随机变量的均值为4，有随机变量的分布图象关于4对称，根据已知，即可求；
【解析】因为，若，则，
所以．故答案为0.6.
22．若，且，则__________．
【试题来源】湖南省衡阳市衡阳县四中2020-2021学年高三上学期8月月考
【答案】7
【分析】服从二项分布，可求得，利用求解即可．
【解析】，
又，，故答案为．
23．随机变量的分布如下表，则__________．

0
2
4

0.4
0.3
0.3
【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高三上学期9月期初教学质量检测
【答案】13
【分析】根据表格中的数据计算出，然后可得的值．
【解析】因为，
所以，故答案为13．
24．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为__________．
【试题来源】江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高三上学期初检测
【答案】3
【分析】设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为，，，则服从超几何分布，利用公式()，即可求得答案．
【解析】口袋中有白球个，由已知可得取得白球个数的可能取值为，，
则服从超几何分布，，
，，，
，，
，，故答案为．
25．假设苏州肯帝亚球从在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于，其中，且各场比赛互不影响．令表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有场出现输球的概率．已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为__________．
【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试
【答案】
【分析】利用二项分布列出等式，解方程求出，再根据即可求解．
【解析】由题意知，因为，
所以，
化简得，解得，从而．故答案为．
四、双空题
1．小明的投篮命中率为，各次投篮命中与否相互独立．他连续投篮三次，设随机变量X表示三次投篮命中的次数，则__________；__________．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】
【分析】依题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式及期望公式计算可得；
【解析】依题意随机变量，所以，，故答案为；
2．为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是__________；设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为__________．
【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】
【分析】先按照分层抽样计算出A医院的人数和B医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可．
【解析】因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中，
A医院有人，B医院有人，
所以从这5人中选出2人，B医院至少有1人的概率为，
由题意可知X的取值可能为0，1，2，当时，，
当时，，当时，，
则．故答案为，．
【名师点睛】从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人，应该用分类的思想去处理，分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法．
3．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中，又，，则当__________时，随机变量X的方差的最小值为__________．
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未
【答案】
【分析】由分布列的性质，求得，根据期望的公式，求得，结合方差的计算公式，化简得的，利用二次函数的性质，即可求解．
【解析】由，，可得，
所以随机变量的期望为，
则方差为，
所以当时，方差取得最小值，最小值为．故答案为，．
4．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是__________，若表示取到黄球球的个数，则__________．
【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】
【分析】从中任意取出3个，基本事件总数n＝＝10，其中有黄球包含的基本事件个数m＝＝9．由此能求出有黄球的概率；ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．
【解析】一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，
从中任意取出3个，基本事件总数n＝＝10，
其中有黄球包含的基本事件个数m＝＝9．所以有黄球的概率是p＝＝．
ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，
所以E（ξ）＝0×＝．故答案为，．
【名师点睛】先求出基本事件总数，再求出黄球包含的基本事件个数，由古典概型的概率公式运算即可．ξ表示取到黄球的个数可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出E（ξ）．
5．有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为__________（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望__________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】 1
【分析】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，利用列举法得其余四个球的放法，由分步计数原理计算可得答案．分析可得可取的值为0，1，2，3，5，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而利用期望公式可得数学期望．
【解析】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰由1个编号相同，
先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9种，故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种；
若恰由2个编号相同，先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有种，剩下的三个球，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有种；
若恰由3个编号相同，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有种情况，剩下有2个盒子放2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理可知共有种，若恰由5个编号相同（不可能恰有4个相同），有1种方法；
因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有种方法，所以0个编号相同的方法为种，综上，可取的值为0，1，2，3，5，
，，
，故答案为45，1．
【名师点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．