高考大题专项训练(二)　三角函数与解三角形

高考大题专项训练(二)　三角函数与解三角形

1.(2019浙江杭州检测)如图是f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图象,A,B,D为函数图象与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2.

(1)求φ的值;

(2)求tan∠DAC的值.

2.(2019天津和平区二模)已知函数f(x)=cos x(sin x-cos x),x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

3.(2019河南郑州模拟)已知函数f(x)=4sin xcos x-4cos2x+m,且f=7.

(1)求m的值;

(2)当x时,不等式c<f(x)<2c+15恒成立,求实数c的取值范围.

4.(2019湖南株洲二模)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin∠BCD=,连接BD,3BD=4BC.

(1)求∠BDC的值;

(2)若BD=,∠AEB=,求△ABE面积的最大值.

5.在△ABC中,AB=6,AC=4

(1)若sin B=,求△ABC的面积;

(2)若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,求BC的长.

6.(2019广东省韶关一模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且bcos A=sin A(acos C+ccos A).

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长.

7.(2019河北石家庄三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

(1)求sin Bsin C;

(2)若10cos Bcos C=-1,a=,求△ABC的周长.

8.(2019上海杨浦区二模)已知函数f(x)=(1+tan x)·sin 2x.

(1)求f(x)的定义域;

(2)求函数F(x)=f(x)-2在区间(0,π)内的零点.

9.如图,在△ABC中,∠B=,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4,∠CED=

(1)求CE的长;

(2)若CD=5,求cos∠DAB的值.

参考答案与解析

1.解(1)由f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图象,A,B,D为函数图象与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,

可得1=2sin φ,所以φ=

(2)如图,由三角函数图形的性质,可知四边形AECD是平行四边形,

可得2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2=|ED|2+|AC|2,解得|ED|=2,所以T=2,则ω=π,

所以f(x)=2sinπx+,

所以B,0,D,0,

kAC=-,kAD=-,

所以tan∠DAC=

2.解(1)由题意,得f(x)=cos xsin x-cos2x=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-

=sin2x--

所以f(x)的最小正周期T==π,其最大值为1-

(2)令z=2x-,

则函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.

由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.

设A=,

B=x-+kπ≤x+kπ,k∈Z,

易知A∩B=.

所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增;在区间上单调递减.

3.解(1)f(x)=4sin xcos x-4cos2x+m=4sin 2x-cos 2x+m-2=4sin2x-+m-2,由f=7,可得4sin+m-2=7,可得m=7.

(2)由(1)可得f(x)=4sin2x-+5,∵x,

∴2x-,

∴-sin,可得3≤f(x)≤2+5,由不等式c<f(x)<2c+15恒成立,可得

解得-5<c<3,

∴实数c的取值范围为(-5,3).

4.解(1)在△BCD中,由正弦定理得,

∴sin∠BDC=

∵3BD=4BC,∴BD>BC,

∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=

(2)在△ABD中,AD=3,BD=,∠ADB=,

∴AB==2

在△ABE中,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BE·cos,

∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号成立,

∴AE·BE≤12,

∴S△ABE=AE·BE·sin12=3,

即△ABE面积的最大值为3

5.解(1)由正弦定理得,

所以sin C=1,∠C=,

所以BC==2,所以S=2×4=4

(2)设DC=x,则BD=2x,由余弦定理可得

=-,

解得x=,所以BD=3DC=5

6.解(1)bcos A=sin A(acos C+ccos A),

∴由正弦定理可得sin Bcos A=sin A(sin Acos C+sin Ccos A)

=sin Asin(A+C)=sin Asin B,

即sin Bcos A=sin Asin B,

∵sin B≠0,∴tan A=,

∵A∈(0,π),∴A=

(2)∵A=,a=2,△ABC的面积为,

bcsin A=bc=,

∴bc=5,∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,

即12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-15,

解得b+c=3,

∴△ABC的周长为a+b+c=2+3=5

7.解(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsin B=,

∴2csin Bsin A=a,

由正弦定理可得2sin Csin Bsin A=sin A,

∵sin A≠0,

∴sin Bsin C=;

(2)∵10cos Bcos C=-1,

∴cos Bcos C=-,

∴cos(B+C)=cos Bcos C-sin Bsin C=-,

∴cos A=,sin A=,

则由bcsin A=,可得bc=,

由b2+c2-a2=2bccos A,

可得b2+c2=,

∴(b+c)2==7,可得b+c=,经检验符合题意,

∴三角形的周长a+b+c=

8.解(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域为xx∈R,x+kπ,k∈Z.

(2)∵f(x)=1+·2sin xcos x=sin 2x+2sin2x=sin 2x-cos 2x+1=sin2x-+1,

∴F(x)=f(x)-2=sin2x--1=0,

解得2x-=2kπ+,或2x-=2kπ+,k∈Z,

即x=kπ+,或x=kπ+,k∈Z,

又x∈(0,π),∴k=0时,x=,或x=,

故F(x)在(0,π)内的零点为x=,或x=

9.解(1)由题意可得∠AEC=π-,在△AEC中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2AE·CEcos∠AEC,∴160=64+CE2+8CE,整理得CE2+8CE-96=0,解得CE=4

(2)在△CDE中,由正弦定理得,即,∴5sin∠CDE=4sin=4=4,

∴sin∠CDE=点D在边BC上,∴∠CDE>∠B=,而,∴∠CDE只能为钝角,

∴cos∠CDE=-,

∴cos∠DAB=cos=cos∠CDEcos+sin∠CDEsin=-