2022高考数学一轮复习大题专项练二三角函数与解三角形（含解析）

高考大题专项(二)　三角函数与解三角形

1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.

(1)求f(0)的值;

(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.

2.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,A=.

(1)若B=,求b;

(2)求△ABC面积的最大值.

3.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=,B=45°.

(1)求sin C的值;

(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-,求tan∠DAC的值.

4.(2019全国1,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.

(1)求A;

(2)若a+b=2c,求sin C.

5.(2020山东潍坊一模,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且m∥n.

(1)求C;

(2)若c+3b=3a,求sin A.

6.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=.

(1)证明:A=2C;

(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.

参考答案

高考大题专项(二)　三角函数与

解三角形

1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.

(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.

f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=sin2x+cos2x+1=sin2x++1.

因为x∈,

所以2x+.

所以-1≤sin≤1.

所以1-≤f(x)≤1+.

当2x+=-,即x=-时,f(x)在-上取得最小值1-.

方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.

f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2.

因为x∈,

所以sinx∈.

所以-1≤f(x)≤.

当sinx=-1,即x=-时,f(x)在上取得最小值-1.

2.解(1)由正弦定理得b==2.

(2)因为△ABC的内角和A+B+C=π,A=,所以0<B<.

因为b=sinB=4sinB,所以S△ABC=absinC=4sinBsin-B=4sinBcosB+sinB=6sinBcosB+2sin2B=2sin2B-+.因为0<B<,所以-<2B-.当2B-,即B=时,△ABC面积取得最大值3.

3.解(1)在△ABC中,因为a=3,c=,B=45°,由余弦定理,得b2=9+2-2×3×cos45°=5,所以b=.

在△ABC中,由正弦定理,得,所以sinC=.

(2)在△ADC中,因为cos∠ADC=-,所以∠ADC为钝角,

而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,

所以∠C为锐角.

故cosC=,

则tanC=.

因为cos∠ADC=-,

所以sin∠ADC=,tan∠ADC==-.

从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)

=-

=-.

4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

由余弦定理得cosA=.

因为0°<A<180°,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,

即cosC+sinC=2sinC,

可得cos(C+60°)=-.

由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,

故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.

5.解(1)因为m∥n,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,

由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,

所以a2+b2-c2=ab,

所以cosC=.

因为C∈(0,π),故C=.

(2)由(1)知B=-A,由题设及正弦定理得sinC+3sin=3sinA,

即cosA+sinA=sinA,可得sin.

因为0<A<,所以-<A-,所以cos,故sinA=sinA-=sincos+cossin.

6.(1)证明由sin(B+C)=,即sinA=,得sinA=,

又sinA≠0,∴bc=a2-c2,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA,

又b≠0,∴c=b-2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinC·cosA,

即sinC=sin(A+C)-2sinC·cosA=sin(A-C),

又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.

(2)解∵A=2C,∴B=π-3C,

∴sinB=sin3C,

∵,且b=2,

∴a=,

∴S=ab·sinC=

=,

∵△ABC为锐角三角形,则A∈,B∈,C∈,

即2C∈,π-3C∈,解得C∈,∴tanC∈,

∴S=为增函数,

∴S∈.