专题01 三角函数与解三角形-2021年新高考数学大题专项练习

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1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．





（1）求角C；


（2）若D是边BC的中点，，，求的面积．


2．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足





（1）证明：；


（2）若，且，设，当变化时，求四边形面积的最大值.


3．一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．记，





（1）用表示小球从到所用的时间；


（2）当小球从到所用的时间最短时，求的值．


4．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.


（1）求角的值；


（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.


5．已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：


（Ⅰ）和的值；


（Ⅱ）的值.


条件①:,；条件②:,.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.


6．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：


（1）的值；


（2）的面积．


条件①：；


条件②：．


注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．


7．若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：


（1）求的大小；


（2）求和的值.


条件①：；


条件②：；


条件③：；


条件④：.


8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值.


条件①：；条件②：；条件③：.


9．如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米．





（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；


（2）求的最小值．


10．已知向量，.


（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；


（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.


11．已知函数．


（Ⅰ）若，求的值；


（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．


12．已知函数，，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：


（1）的最小正周期；


（2）在区间上的最大值．


条件①：；


条件②：．


13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.


问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.


14．在① ，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．


已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值．


注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．


15．的内角，，的对边分别为，，．已知．


（Ⅰ）求；


（Ⅱ）已知，，且边上有一点满足，求．


参考答案


1．（1）．（2）


【分析】


（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值．


（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．


【详解】


（1），


由正弦定理得，


，


，


，


，，


，.


（2），，，


，


，


设，，，


在中，，


，，


，，，


.


2．（1）证明见解析；（2）.


【分析】


（1）由已知条件化简可得，再由正弦定理可得；


（2）由条件和（1）的结论可得为等边三角形，利用，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值．


【详解】


（1）因为，


所以，


所以，


所以，即，


由正弦定理得；


（2）因为，所以，


所以为等边三角形，


由余弦定理得，


所以


，


因为，所以，


所以当即时，四边形面积取得最大值.


3．（1），；（2）


【分析】


（1）先计算A到E弧长为，确定这一段的用时，再计算EF长度确定此段用时，再相加即得结果；


（2）对函数求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的值.


【详解】


解：（1）依题意，，半径是1，故A到E弧长为，通过A到E弧长所用时间是，过作于，则，，得，则此时所用时间为





所以，；


（2），


记，且，则，


当时，，所以，单调递减，


当时，，所以，单调递增，


所以时，用时最短．


所以，当时，小球从到所用的时间最短．


4．条件选择见解析；（1）；（2）.


【分析】


（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；


（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.


【详解】


解：（1）选①，


由正弦定理得：，


∴，


∵，∴，∴，


∵，∴；


选②，


∴，


∴，


∵，∴，则，


∴；


选③，


得，


∴，


∴，


∵，∴，


∴，∴.


（2）已知为锐角三角形，且，


由正弦定理得：，


∴，，


∴，


∵为锐角三角形，


∴，


∴2A-π6ϵπ6,5π6，∴.


5．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.


【分析】


选择条件①（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据正弦定理求，利用同角三角函数的关系求得其余弦值，再由差角的正弦公式可求得答案；


选择条件②（Ⅰ）由已知得出三角形为等腰三角形，再由三角形的面积公式和余弦定理直接求解得答案；（Ⅱ）根据正弦定理和三角函数同角关系求得，再由正弦的差角公式可求得结果．


【详解】


若选择条件①：


解：（Ⅰ）在中，因为，所以，.


因为，，所以.


由余弦定理，，所以.


（Ⅱ）由正弦定理，可得.


所以，.因为，所以，.


所以.


若选择条件②：


解：（Ⅰ）在中，因为，所以.


因为，所以，.


因为，


所以.


由余弦定理，，所以.


（Ⅱ）由正弦定理得，所以.


因为，所以.


所以.


6．选择见解析；（1）；（2）．


【分析】


选择条件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再运用面积公式可算出的面积.


选择条件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再运用面积公式可算出的面积.


【详解】


解：选条件①：．


（1）在中，因为，所以．


因为，且，，，所以．


化简得，解得或．


当时，，与题意矛盾．


所以，所以．


（2）因为，，所以．


所以．


选条件②：．


（1）在中，因为，所以由得．


因为，且，，，所以．


解得．


（2）由（1）知，所以．


因为，，所以．


所以．


7．选择①②③（1）；（2）；；选择①②④（1）；（2）；.


【分析】


选择①②③


（1）根据，，利用正弦定理得到，再结合，得到求解.


（2）结合（1）由，利用正弦定理得到，然后由求解，再利用正弦定理得到，然后结合求解.


选择①②④


（1）根据，，利用正弦定理得到，再由，得到求解.


（2）由，利用正弦定理得到，由求解；再结合求得b，然后利用正弦定理求解.


【详解】


选择①②③


（1）因为，，


由正弦定理得.


因为，所以.


所以.所以.


（2）在中，，所以.


所以.


因为，所以.


所以





.


所以.


由正弦定理得，即.


因为，所以.


选择①②④


（1）因为，，


由正弦定理得.


在中，，


所以.


所以.


（2）在中，，所以.


所以.


因为，所以.


所以





.


所以.


因为，所以.


由正弦定理得.


8．条件选择见解析；，．


【分析】


(一)选择条件①，条件②，由已知和三角形的面积公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再由余弦定理求得，由正弦定理求得.


(二)选择条件①，条件③. 同角三角函数间的关系求得.再由正弦定理可得.由余弦定理可得.(负值舍去)；


(三)选择条件②，条件③. 同角三角函数间的关系求得.由三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，再由正弦定理可得.


【详解】


解：(一)选择条件①：；条件②：.


因为，，，所以，即.所以.


因为是锐角三角形，所以.


由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，


由正弦定理可得.所以.


所以，.


(二)选择条件①：；条件③：.


因为，所以.


由正弦定理可得.所以.


由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，


所以，.


(三)选择条件②：；条件③：.


因为，所以.


因为，，


所以，即.所以.


由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，


由正弦定理可得.所以.


所以，.


9．（1），，；（2）平方米．


【分析】


（1）由正弦定理求得，利用极限值求得的范围．


（2）求出的面积，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，然后利用正弦函数性质得最小值．


【详解】


解：（1）在PME中，，PE=AE-AP=4米，，，


由正弦定理得，


所以，


同理在PNE中，由正弦定理得，


所以，


当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，


，所以；


（2）PMN的面积S


，


因为，所以当即时，


取得最小值为


所以可视区域PMN面积的最小值为平方米．


10．（1）最大值为，；（2）.


【分析】


（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角变换公式化简得，根据正弦函数的最值可得结果；


（2）根据求出，根据余弦定理得到，从而可求出面积的最大值.


【详解】


（1），





，


∴的最大值为，


此时，即，


∴；


（2）∵，∴，，


∵，∴，


，当且仅当时，等号成立，


所以，∴，


所以面积的最大值.


11．（Ⅰ）；（Ⅱ）.


【分析】


（Ⅰ）先利用辅助角公式对进行化简，再根据，列出方程即可求解.


（Ⅱ）先利用图象变换得到函数的图象，方程在上有解等价于求在上的值域，求解即可.


【详解】


解：（Ⅰ），


又，


，


，


即，


；


（Ⅱ）把图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数的图象，


函数的解析式为，


关于的方程在上有解，


等价于求在上的值域，


，


，


即，


故的取值范围为．


【点睛】


关键点点睛：本题的关键是把方程在上有解，转化为求在上的值域.


12．答案不唯一，具体见解析．


【分析】


若选择条件①，首先利用两角和差的正弦公式和降幂公式，以及辅助角公式化简函数，若选择条件②，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简函数，（1）再求函数的最小正周期，（2）并且利用整体代入法求函数的最大值.


【详解】


选条件①：；


（1）














．


所以的最小正周期是．


（2）因为，


所以．


所以．


所以．


当，即时，有最大值．


选条件②：．


（1）








．


所以的最小正周期是．


（2）因为，


所以．


所以，


当，即时，有最大值1．


13．答案见解析


【分析】


选择条件①：由余弦定理可求出角，再根据条件可求出，即得面积；


选择条件②：由正弦定理可求出角，进而求出，即得面积；


选择条件③：先由二倍角公式化简可得，进而由余弦定理得出，求得可判定三角形不存在.


【详解】


选择条件①：


由余弦定理得，


因为，所以.


结合，，可得，


所以，，


因此.


选择条件②：


由正弦定理得，


所以，


又，所以，所以.


由，解得，，


所以.


选择条件③：


因为，


又，所以，因此.


由余弦定理可得，得，


从而，显然不成立，


因此，不存在满足条件的.


14．条件选择见解析，.


【分析】


选条件①：由正弦定理将化为，结合余弦定理得出，再由基本不等式得出的最大值，最后由三角形面积公式得出面积的最大值；


选择条件②：由正弦定理将化为得出，再由余弦定理以及基本不等式得出的最大值，最后由三角形面积公式得出面积的最大值；


【详解】


选条件①．由和正弦定理得


化简得


所以由余弦定理得


因为是三角形的内角，所以．


又，，所以，当且仅当时等号成立


所以的面积，即面积的最大值为．


选条件②．


由得，


得，即


因为，所以


因为是三角形的内角，所以．


因为，，所以，当且仅当时等号成立，


所以的面积，即面积的最大值为．


15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.


【分析】


（Ⅰ）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；


（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.


【详解】


解：（Ⅰ）由可得：


，，


又，得，


由正弦定理得，


因为，所以，


所以，因为，所以，


所以，即，所以．


（Ⅱ）设，则，


在中，由，及余弦定理可得：，


所以，


因为，可知，


在中，，


即


在中，，


即，


得，．