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2021年高考数学二轮复习大题专项练《不等式选讲》四(含答案)
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这是一份2021年高考数学二轮复习大题专项练《不等式选讲》四(含答案)，共7页。试卷主要包含了绝对值不等式的解法等内容，欢迎下载使用。
绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ ，当且仅当 时，等号成立；
(2)性质：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a-c|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔ ；
②|ax＋b|≥c⇔ .
(3)|x-a|＋|x-b|≥c(c>0)和|x-a|＋|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；
(2)若abc≠0，证明：eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)≥1.
已知x，y都是正实数，且x＋y≥2.
(1)求x2＋y2的最小值；
(2)求证：eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2至少有一个成立.
[选修4−5：不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|.
（1）解关于x的不等式f(x)>6；
（2）记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且，
求证：a+2b+3c≥9．
设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
已知函数f(x)=|2x－1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a=1时，解不等式f(x)＜1；
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．
选修45：不等式选讲
设函数f(x)=|x-2|-|x+3|.
（1）求不等式f(x)<3的解集；
（2）若不等式f(x)<3+a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
选修4—5：不等式选讲
若a>0,b>)，且.
(1)求a3+b3的最小值；
(2)是否存在a,b，使得2a+3b=6？并说明理由.
答案解析
答案为：
1.(1)|a|＋|b|，ab≥0；(3)|a-b|＋|b-c|，(a-b)(b-c)≥0．
2.(2)①-c≤ax＋b≤c；②ax＋b≥c或ax＋b≤-c.
解：
(1)易知|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，
因为a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1，
所以|am|＋|bn|＋|cp|≤eq \f(a2＋m2,2)＋eq \f(b2＋n2,2)＋eq \f(c2＋p2,2)=eq \f(a2＋b2＋c2＋m2＋n2＋p2,2)=1，
故|am＋bn＋cp|≤1.
(2)因为a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1，
所以eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m4,a2)＋\f(n4,b2)＋\f(p4,c2)))(a2＋b2＋c2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,a)·a＋\f(n2,b)·b＋\f(p2,c)·c))2=(m2＋n2＋p2)2=1，
所以eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)≥1.
解：
(1)(x2＋y2)－eq \f(x＋y2,2)=eq \f(2x2＋2y2－x＋y2,2)=eq \f(x－y2,2)≥0，
当且仅当x=y时等号成立，
所以x2＋y2≥eq \f(x＋y2,2)≥2，当x=y=1时，x2＋y2取得最小值，最小值为2.
(2)证明：假设eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2都不成立，
则有eq \f(1＋x,y)>2且eq \f(1＋y,x)>2，即1＋x>2y且1＋y>2x，
两式相加，得2＋x＋y>2x＋2y，即x＋y<2，
这与已知矛盾，因此eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2至少有一个成立.
解:
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，
即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．
当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．
解：
(1)当a=1时，f(x)=|2x－1|－|x－1|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤\f(1,2)，,3x－2，\f(1,2)＜x≤1，,x，x＞1，))
当x≤eq \f(1,2)时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤eq \f(1,2)；
当eq \f(1,2)＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴eq \f(1,2)＜x＜1；
当x＞1时，x＜1，无解．
综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，
∵3x＞－3，－x＜1，
∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
解：
解：
绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ ，当且仅当 时，等号成立；
(2)性质：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a-c|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔ ；
②|ax＋b|≥c⇔ .
(3)|x-a|＋|x-b|≥c(c>0)和|x-a|＋|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；
(2)若abc≠0，证明：eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)≥1.
已知x，y都是正实数，且x＋y≥2.
(1)求x2＋y2的最小值；
(2)求证：eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2至少有一个成立.
[选修4−5：不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|.
（1）解关于x的不等式f(x)>6；
（2）记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且，
求证：a+2b+3c≥9．
设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
已知函数f(x)=|2x－1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a=1时，解不等式f(x)＜1；
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．
选修45：不等式选讲
设函数f(x)=|x-2|-|x+3|.
（1）求不等式f(x)<3的解集；
（2）若不等式f(x)<3+a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
选修4—5：不等式选讲
若a>0,b>)，且.
(1)求a3+b3的最小值；
(2)是否存在a,b，使得2a+3b=6？并说明理由.
答案解析
答案为：
1.(1)|a|＋|b|，ab≥0；(3)|a-b|＋|b-c|，(a-b)(b-c)≥0．
2.(2)①-c≤ax＋b≤c；②ax＋b≥c或ax＋b≤-c.
解：
(1)易知|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，
因为a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1，
所以|am|＋|bn|＋|cp|≤eq \f(a2＋m2,2)＋eq \f(b2＋n2,2)＋eq \f(c2＋p2,2)=eq \f(a2＋b2＋c2＋m2＋n2＋p2,2)=1，
故|am＋bn＋cp|≤1.
(2)因为a2＋b2＋c2=1，m2＋n2＋p2=1，
所以eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m4,a2)＋\f(n4,b2)＋\f(p4,c2)))(a2＋b2＋c2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,a)·a＋\f(n2,b)·b＋\f(p2,c)·c))2=(m2＋n2＋p2)2=1，
所以eq \f(m4,a2)＋eq \f(n4,b2)＋eq \f(p4,c2)≥1.
解：
(1)(x2＋y2)－eq \f(x＋y2,2)=eq \f(2x2＋2y2－x＋y2,2)=eq \f(x－y2,2)≥0，
当且仅当x=y时等号成立，
所以x2＋y2≥eq \f(x＋y2,2)≥2，当x=y=1时，x2＋y2取得最小值，最小值为2.
(2)证明：假设eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2都不成立，
则有eq \f(1＋x,y)>2且eq \f(1＋y,x)>2，即1＋x>2y且1＋y>2x，
两式相加，得2＋x＋y>2x＋2y，即x＋y<2，
这与已知矛盾，因此eq \f(1＋x,y)≤2和eq \f(1＋y,x)≤2至少有一个成立.
解:
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，
即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．
当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．
解：
(1)当a=1时，f(x)=|2x－1|－|x－1|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤\f(1,2)，,3x－2，\f(1,2)＜x≤1，,x，x＞1，))
当x≤eq \f(1,2)时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤eq \f(1,2)；
当eq \f(1,2)＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴eq \f(1,2)＜x＜1；
当x＞1时，x＜1，无解．
综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．
(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，
∵3x＞－3，－x＜1，
∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
解：
解：
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