2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 word版含答案，试卷主要包含了函数与映射的概念，函数的有关概念，分段函数，已知具有性质，函数f，g分别由下表给出等内容，欢迎下载使用。

第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示




1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)
A．y＝　　　　　　　　 B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案：D
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案：B
3．函数f(x)＝的定义域是________________．
答案：
1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；
若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.
答案：±1
2．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.
∴f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)





1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪
B．
C．，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A． B．
C．(1,2 017] D．
解析：选B　令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为，可知1≤t≤2 017.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 017，解得0≤x≤2 016，故函数f(x＋1)的定义域为．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或1＜x≤2 016.故函数g(x)的定义域为．
4．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．
解析：由⇒⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]

函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x∈时的值域．



(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
∴f(x)的解析式是f(x)＝.

求函数解析式的4种方法



1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二：(配凑法)∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.


高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．
常见的命题角度有：
(1)分段函数的函数求值问题；
(2)分段函数的自变量求值问题；
(3)分段函数与方程、不等式问题．　　　

角度一：分段函数的函数求值问题
1．(2017·西安质检)已知函数f(x)＝则f的值是________．
解析：由题意可得f＝log2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
答案：

角度二：分段函数的自变量求值问题
2．已知f(x)＝，若f(a)＝，则a＝________.
解析：若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝；
若a<0，则|sin a|＝，a∈，
解得a＝－.综上可知，a＝或－.
答案：或－

角度三：分段函数与方程、不等式问题
3．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1 答案：(－1,3)

1．分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

1．(2017·唐山统考)已知函数f(x)＝且f(a)＝－2，则f(7－a)＝(　　)
A．－log37　　　　　　　 B．－
C．－ D．－
解析：选D　当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a>0时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－.
2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D． B．(0,1]
C． D．．
∴原函数的定义域为(0,1]．
4．已知函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A.∪ B． D．
解析：选B　由可得0≤x<1，选B.
5．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①②　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①
解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
6．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

x
1
2
3
f(x)
1
3
1
　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1

则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：∵g(1)＝3，f(3)＝1，
∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1　2
7．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________.
解析：由f(1)＝，可得a＝，
所以f(3)＝2＝.
答案：
8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为，
∴x∈，x2－1∈，
∴y＝f(x)的定义域为．
答案：
9．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．
解析：设点M(x，y)为函数y＝g(x)图象上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M关于直线x＝2的对称点，则
又y′＝2x′＋1，
∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x，
即g(x)＝9－2x.
答案：g(x)＝9－2x
10．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求△AOC的面积．
解：(1)因为B(1,4)在反比例函数y＝上，所以m＝4，
又因为A(n，－2)在反比例函数y＝＝的图象上，所以n＝－2，
又因为A(－2，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b上的点，联立方程组解得
所以y＝，y＝2x＋2.
(2)因为y＝2x＋2，令x＝0，得y＝2，所以C(0,2)，所以△AOC的面积为：S＝×2×2＝2.
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1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)
A．－ B．－
C．－或－ D.或－
解析：选B　当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，所以a的值为－，故选B.
2．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.
解析：由f＋f＝2，
得f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
又f＝＝×2＝1，
∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7

3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的
车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．

第二节函数的单调性与最值




1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值


1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
答案：B
2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．
解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
3．若函数f(x)＝在区间上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝在上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．


1．设定义在上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：，
2．函数f(x)＝在上的最大值与最小值之差为________．
解析：易知f(x)在上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.
答案：





1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一(定义法)：
设－1 f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二(导数法)：
f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上递增．
3．判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．
解：法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 则y1－y2＝－
＝.
∵x1>－1，x2>－1，
∴x1＋1>0，x2＋1>0，
又x10，
∴>0，即y1－y2>0.
∴y1>y2，
∴函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：y＝＝1＋.
∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数，
∴y＝1＋在(－1，＋∞)上是减函数．
即函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．

判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤
(1)定义法，其基本步骤：
取值
(2)导数法，其基本步骤：



求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log (x2－3x＋2)．
解：(1)由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和，单调递减区间为和
确定函数的单调区间的3种方法

　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．


1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　　 B.
C．
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．
常见的命题角度有：
(1)求函数的值域或最值；
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(3)解函数不等式；
(4)利用单调性求参数的取值范围或值．　　　 　

角度一：求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2

角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．(2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b　　　　　　　　 B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选D　因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，
∴b>a>c.

角度三：解函数不等式
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C　由f(x)为R上的减函数且f ∴－1
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：要使函数f(x)在R上单调递增，
则有即
解得2 即实数a的取值范围是(2,3]．
答案：(2,3]

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)求函数最值(五种常用方法)
方法
步骤
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

(2)比较大小
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(3)解不等式
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数
视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
　①若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．
解析：选A　法一：由一次函数的图象可知选A.
法二：设∀x1，x2∈R且x1 ∵f(x)＝kx＋b在R上是增函数，
∴(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，即k(x1－x2)2>0，
∵(x1－x2)2>0，∴k>0，故选A.
3．(2017·北京东城期中)已知函数y＝，那么(　　)
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A　函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.
4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.
答案：
5．函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为________．
解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B． D．∪上单调递减，在 B.
C. D．(0,2]
解析：选C　因为loga＝－log2 a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(loga)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在的最大值等于(　　)
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1 ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
4．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B.
C．(0,2) D.
解析：选B　因为函数为递减函数，则
解得a≤，故选B.
5．(2017·安徽皖江名校联考)定义在上的函数f(x)满足(x1－x2)>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．>0，x1≠x2，∴函数在上单调递增，∴
∴∴0≤a<1，故选C.
6．函数f(x)＝在区间上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在上为减函数，
∴即∴
∴a＋b＝6.
答案：6
7．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．

解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a]和上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪∪上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0 答案：
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1) ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1 f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，
设00，x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，
则a 任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1 h(x1)－h(x2)＝(x1－x2).
因为11，所以2－>0，
所以h(x1) 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)，即a≤3，
所以实数a的取值范围是(－∞，3]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)
A．
C． D．
解析：选D　因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间上单调递减，故“缓增区间”I为．
2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数．
(2)若f(3)＝－1，求f(x)在上的最小值．
解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以f(x)在上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，
所以f(9)＝－2.
所以f(x)在上的最小值为－2.

第三节函数的奇偶性及周期性




1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．


1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝cos x
C．y＝ex D．y＝ln |x|
答案：D
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
答案：－2
3．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
2．下列函数中，为奇函数的是(　　)
A．y＝3x＋ B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sin x D．y＝
解析：选D　由函数奇偶性定义易知函数y＝3x＋和y＝x·sin x都是偶函数，排除A和C；函数y＝x，x∈{0,1}的定义域不关于坐标原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，排除B；由奇函数的定义知y＝是奇函数，故选D.





判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)(易错题)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．


判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
　(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．



设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.

1．判断函数周期性的2个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性3个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a，
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于(　　)
A．－1　　　 B．1　　　　C．－2　　　　D．2
解析：选A　由f(x)是R上周期为5的奇函数，知
f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－1，故选A.
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)
＝504＋f(504×4＋1)
＝504＋1
＝1 345.
答案：1 345

　
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)奇偶性的应用；
(2)单调性与奇偶性结合；
(3)周期性与奇偶性结合；
(4)单调性、奇偶性与周期性结合．　　　

角度一：奇偶性的应用
1．(2017·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　　 B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C　x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.

角度二：单调性与奇偶性结合
2．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
解析：选C　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.

角度三：周期性与奇偶性结合
3．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,4) B．(－2,1)
C．(－1,2) D．(－1,0)
解析：选A　因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，
化简得(a－4)(a＋1)<0，
解得－1 角度四：单调性、奇偶性与周期性结合
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间上是增函数，则(　　)
A．f(－25) B．f(80) C．f(11) D．f(－25) 解析：选D　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间上是增函数，
所以f(－1)
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

1．(2017·广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)
A．2 B．－2
C．－98 D．98
解析：选B　因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
2．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(0) B．f(－6.5) C．f(－1) D．f(－1) 解析：选A　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间上是单调递增的，∴f(0) 3．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间上，f(x)＝则f(2 018)＝________.
解析：设0 答案：0

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　 B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝|x|
解析：选B　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)
A．－3 B．－
C. D．3
解析：选A　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．2
解析：选B　由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则f＝f＝f＝＋1＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2016·山西考前质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x
解析：选B　对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减，故选B.
2．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.
3．(2017·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间(a A．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选B　法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.

法二：当x∈时，－x∈，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，即在区间上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.
5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)
A．f C．f 解析：选C　由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f＝f，f＝f，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以f 6．(2017·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________.
解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.
答案：－1
7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，
∴f(x)>0时，x>或－ 即满足f(x)>0的x的集合为
.
答案：
8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，
得f(－x)－g(－x)＝2x，
由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
因此得－f(x)－g(x)＝2x.
联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，
于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，
故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<－.
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)，－x>0，
又因为当x>0时，f(x)＝，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)
＝－＝.
(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，
所以<－，所以>，所以3x－1<8，
解得x<2，所以x∈(0,2)．
当x<0时，即<－，所以>－，
所以3－x>32，所以x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
解析：∵当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，
∴n≤f(x)min且m≥f(x)max，
∴m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈时，函数的最值与x∈时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在上递减，在上递增，且f(1)>f(3)，
∴f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.
答案：1
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
解：(1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝
－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
第四节函数的图象



1．描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．
(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．
(3)描点，连线．
2．图象变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象
y＝logax(a>0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象
y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象
y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．


1．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称　　　　　　 B．直线y＝－x对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案：C
2.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是(　　)


答案：D
3．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案：C

1．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x－.
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f(|x|)的图象属于自身对称，而y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称是两个函数．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)．
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数________的图象．
答案：y＝f(－x＋1)
3．把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位得到函数y＝f(2x－3)的图象．
答案：




分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
　
(3)y＝图象如图3.



画图的3种常用方法



1．若对任意的x∈R，y＝均有意义，则函数y＝loga的大致图象是(　　)

解析：选B　由题意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0 2．(2015·安徽高考)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C　函数定义域为{x|x≠－c}，
结合图象知－c＞0，∴c＜0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a<0.
故选C.

识图3种常用的方法


1．函数y＝xsin x在上的图象是(　　)

解析：选A　容易判断函数y＝xsin x为偶函数，排除D.当00，当x＝π时，y＝0，排除B、C，故选A.
2.图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)

解析：选B　由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.



函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．

常见的命题角度有：
(1)研究函数的性质；
(2)求参数的值或取值范围；
(3)求不等式的解集；
(4)确定方程根(零点)的个数．(本章第八节讲)　　　

角度一：研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

角度二：求参数的值或取值范围
2．(2015·安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.

答案：－

角度三：求不等式的解集
3.(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1 B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1 D．{x|－1 解析：选C　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

1．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选B　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
2．(2017·广州五校联考)已知函数f(x)＝若f(3－a2) 解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)2a，解得－3
答案：(－3,1)

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数y＝的图象大致是(　　)

解析：选B　当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
2．函数y＝的图象可能是(　　)

解析：选B　易知函数y＝为奇函数，故排除A、C，当x>0时，y＝ln x，只有B项符合，故选B.
3．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
解析：选A　y＝2xy＝2x－3
y＝2x－3－1.
4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，
由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x
令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
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1．(2016·桂林一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是(　　)

解析：选B　由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当01时，y>0，故选B.
2．下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是(　　)

解析：选D　因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)


解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
4．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)


解析：选D　先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．综上所述，选D.
5．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1)　　　　　 B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A　x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0 f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x>0时，f(x)是周期函数，
如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
6．若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________．
解析：法一：函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．
故y＝f(x)的图象经过点(4,4)．
法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图象必经过点(4,4)．
答案：(4,4)
7.如图，定义在时，设y＝kx＋b，
由图象得解得
∴y＝x＋1；
当x∈(0，＋∞)时，设y＝a(x－2)2－1，
由图象得0＝a·(4－2)2－1，解得a＝，
∴y＝(x－2)2－1.
综上可知，f(x)＝
答案：f(x)＝
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是，．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
10．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，

G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0 (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
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1．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B　因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
由y＝lg x
y＝lg(x＋1)

y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．
2．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是

命题点二　函数的基本性质
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1.(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析：选D　A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
2．(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C　用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.
3．(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：选A　由得－1 则函数的定义域为(－1,1)．
又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
f′(x)＝＋，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,1)上为增函数．
4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：选A　∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔ 6．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________.
解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.
答案：－2

命题点三　函数的图象
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2014·福建高考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为的图象大致为(　　)

解析：选D　∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
4．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B　∵f(x)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
解析：∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
答案：－2












第五节二次函数与幂函数




1．五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象





定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)

2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a>0
a<0
图象


定义域
R

值域


单调性
在上递减，在上递增
在上递增，在上递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：


1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________________．
答案：f(x)＝x(x≥0)
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为，则y＝f(x)的值域为________．
答案：

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．


1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
答案：
2．给出下列命题：
①函数y＝2x是幂函数；
②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
③当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈的最值一定是.
其中正确的是________(填序号)．
答案：②




1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)

解析：选C　令f(x)＝xα，则4α＝2，
∴α＝，∴f(x)＝x.
2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．1或2 D．3
解析：选A　∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
3．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为
幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.



已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

求二次函数解析式的方法


已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.


高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数中恒成立问题．　　　 　

角度一：二次函数的单调性问题
1．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，
∴f(x)＝
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴
解得－4≤a≤0，即实数a的取值范围是．
答案：
角度二：二次函数的最值问题
2．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间(m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是(　　)
A．　　　　　　　 B．(0,1]
C．(0,2] D．(m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.

角度三：二次函数中恒成立问题
3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C．
1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键
(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.

已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪　　　　　　　 B．(－∞，5]
C．，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.

6．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．
解析：由题意可得
解得－4＜a＜4.
答案：(－4,4)
7．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，∴f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.
答案：时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
由g(x)的图象知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，
∴所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈)的图象如图所示，结合图象可知，当x∈时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈)的图象有两个交点．
答案：
2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈)，求函数g(x)的最小值．
解：(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x>0，则－x<0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1 当a＋1>2，即a>1时，g(2)＝2－4a为最小值．
综上，g(x)min＝

第六节指数与指数函数




1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：
a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：
a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0 图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；
x<0时，0 当x>0时，01
在区间(－∞，＋∞)上是增函数
在区间(－∞，＋∞)上是减函数


1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案：C
2．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
答案：
3．(教材习题改编)已知0.2m<0.2n，则m______n(填“>”或“<”)．
答案：>
4．(教材习题改编)(1)2××＝________.
(2)÷＝________.
答案：(1)6　(2)4a

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．若函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(1,2)




化简与求值：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(易错题)a·b－2·÷；
(3).
解：(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)
＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝
＝a·b＝.

指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．




1.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0
C．00 D．0 解析：选D　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
解析：①当0
②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图b，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以a的取值范围是.
答案：

指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A.
2若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．
解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．


　
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)简单指数方程或不等式的应用；
(3)探究指数型函数的性质．　　　

角度一：比较指数式的大小
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 解析：选C　因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b 0．6>0，
所以1.50.6>1.50＝1，
即c>1.综上，b
角度二：简单指数方程或不等式的应用
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C　当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3
角度三：探究指数型函数的性质
3．函数y＝x－x＋1在区间上的值域是____．
解析：因为x∈，
所以令t＝x，则t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
答案：
4．函数f(x)＝的单调减区间为________．
解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]

应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
题型
求解策略
比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
　在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数y＝2x与y＝2－x的图象关系是(　　)
A．关于x轴对称　　　　　 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选B　作出y＝2x与y＝2－x＝x的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
2．设a＝22.5，b＝2.50，c＝2.5，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．c>a>b
C．b>a>c D．a>b>c
解析：选D　a>1，b＝1,0b>c.
3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)
A． B．
C． D．上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故f(x)的值域为．
4．不等式2>x＋4的解集为________．
解析：不等式2>x＋4可化为>x＋4，等价于x2－2x 解得－1 答案：{x|－1 5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则实数a＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.又∵a>1，∴a＝.
当0 又∵f(0)＝0≠2，∴0 综上可知，a＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．化简4a·b÷的结果为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C　原式＝4÷ab
＝－6ab－1＝－，故选C.
2．(2017·贵州适应性考试)函数y＝ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是(　　)
A．(0,0) B．(0，－1)
C．(－2,0) D．(－2，－1)
解析：选C　法一：因为函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a>0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．
法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．
3．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)


解析：选B　由函数y＝kx＋a的图象可得k<0,0－1，所以－1 4．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　依题意，a应满足
解得 5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)
A．偶函数，在时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：原不等式变形为m2－m＜x，
因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
答案：(－1,2)
9．化简下列各式：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2) ÷ .
解：(1)原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝ ÷
＝ ÷
＝a÷a＝a＝a.
10．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间时，函数y＝x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·22≥a2，即1 当0
2．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，
得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当t∈时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈，∴－(22t＋1)∈，
故实数m的取值范围是
1．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________．
答案：(－1，－2)
2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案：
3．(教材习题改编)计算：
(1)log35－log315＝______；
(2)log23·log32＝______.
答案：(1)－1　(2)1

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．

1．函数y＝的定义域为______．
答案：
2．函数f(x)＝log(x＋1)(2x－1)的单调递增区间是______．
答案：





1．(易错题)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：选B　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb.
2．计算：(1)4＝________.
(2)log225·log34·log59＝________.
解析：(1)4＝2＝2＝9
(2)原式＝··＝··＝8.
答案：(1)9　(2)8
3．计算÷100＝______.
解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
4.lg－lg＋lg＝________.
解析：lg －lg＋lg
＝(5lg 2－2lg 7)－··3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝(lg 2＋lg 5)＝.
答案：


对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．



(2017·成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a A．a＋b>0　　　　　　　 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
解析：选A　作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，
即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，
∴a＋b＋4>0.∴a＋b>0.故选A.

应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)

解析：选B　当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系

是(　　)
A．0 B．0 C．0 D．0 解析：选A　由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1


高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
常见的命题角度有：
(1)比较对数值的大小；
(2)简单对数不等式的解法；
(3)对数函数的综合问题．　　　 　

角度一：比较对数值的大小
1．(2017·郑州模拟)已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则(　　)
A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选B　a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x是增函数，且2>3>，
所以b>a>c.

角度二：简单对数不等式的解法
2．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)时，x的取值范围是__________．
解析：当g(lg x)>g(1)时，f(|lg x|)>f(1)，
由f(x)为增函数得|lg x|>1，
从而lg x>1或lg x<－1，
解得010.
答案：∪(10，＋∞)

角度三：对数函数的综合问题
3．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当0 解：令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3 所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3 (1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，则t在(－3,3)上是增函数，
当0 所以f(x)＝loga(0 即函数f(x)的单调递减区间是(－3,3)．

1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

2．比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．


1．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析：由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.　　　　　　 B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
解析：选C　由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
6．计算：lg 0.001＋ln＋2＝________.
解析：原式＝lg 10－3＋ln e＋2log2＝－3＋＋＝－1.
答案：－1
7．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．


解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)

8．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－ 即不等式的解集为(－，)．
10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是
f(1)＝log24＝2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　当0 函数f(x)在区间上是减函数，
所以loga>0，
即0<－a<1，
解得 当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)>0，
即1－a>1，解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈时，求函数h(x)＝·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈，所以log2x∈，
故函数h(x)的值域为．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈，所以t＝log2x∈，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
第八节函数与方程




1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0

图象




与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点

零点个数
2
1
0



1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案：B
2．(教材习题改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是______．
答案：1
3．函数f(x)＝kx＋1在上有零点，则k的取值范围是________．
答案：

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．


1．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为______．
答案：－，，1,2
2．给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
答案：③④




1．已知实数a>1,0 A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B　∵a>1,0 ∴f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.

3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈，x＝－3∉，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间上存在零点．
答案：存在

确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．


1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示：

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A　由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1，
由f(－2)＝f＝－1
得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f＋1的零点的个数是4，故选A.

判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有______个．
解析：∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数在区间(0,1)上有且只有一个零点．
答案：1




(2017·安庆摸底考试)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈有零点，
∴方程4x－2x－a＝0在上有解，
即方程a＝4x－2x在上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，
∵x∈，∴2x∈，
∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.
答案：

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解


1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3)　　　　　　 B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0.所以0 2．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)
A．∪(1，＋∞) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C　函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，如图所示，观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．



一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx　　　　 B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析：选B　函数y＝logx在定义域上是减函数，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
2．(2017·豫南十校联考)函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选A　因为f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6

则函数y＝f(x)在区间上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B　依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间上的零点至少有3个．
4．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
5．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是______．
解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)<0，即4＋2m－6<0，解得m<1.
答案：(－∞，1)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C　∵y＝ln x与y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝－4，f(2)＝ln 2－2 f(3)＝ln 3>0.
∴零点在区间(2,3)上，故选C.
2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选B　法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．

3．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在上的交点个数为3，所以函数f(x)在上的零点个数为3，故选C.
4．(2016·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．，所以－a∈(0,1]，即a∈上有零点，求a的取值范围．
解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，即0 ∴无解．
②当－1<－<0，即a>时，
须使即
解得a≥1，
∴a的取值范围是
1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)

答案：B
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案：200


1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．


1.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案：D
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)





某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．
设抛物线方程为y＝a2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，
方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)
将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.
即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.
(2)将点A(2,3)代入y＝a2＋4，得ah2＝－1.
由题意，方程a2＋4＝0在区间内有一解．
令f(x)＝a2＋4＝－2＋4，
则解得1≤h≤.
故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.

二次函数模型问题的3个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)由题意知x的取值范围为．
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋，
所以当x＝时，ymin＝.
故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．


为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2 －10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．

应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．

“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C(0)＝＝4，∴k＝1 000，
∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，
当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，
∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．




(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年　　　　　　　 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：选B　法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞，又≈＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.

指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．

某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．

解：(1)由题图，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(　　)
A．8元/件　　　　　　　 B．10元/件
C．12元/件 D．14元/件
解析：选B　设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20
＝－10x2＋80x＋180
＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．
∴当x＝4时，ymax＝340.
即单价为10元/件，利润最大，故选B.
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是(　　)


解析：选A　从题图看出，在时间段，内水面高度是匀速上升的，在上升慢，在上升快，故选A.
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．
解析：设这个广场的长为x米，
则宽为米．
所以其周长为l＝2≥800，
当且仅当x＝200时取等号．
答案：800
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)

A．10元 B．20元
C．30元 D.元
解析：选A　依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元．选A.
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件(　　)
A．100元 B．110元
C．150元 D．190元
解析：选C　设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(100＋x)－80×1 000＝－5x2＋500x＋20 000＝－5(x－50)2＋32 500，故当x＝50时，ymax＝32 500，此时售价为每件150元．
3．(2016·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0 A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0 因为x∈N*，所以x的最大值为16.
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
解析：选C　设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D　根据题意知＝e5n，
令a＝aent，即＝ent，
因为＝e5n，故＝e15n，
比较知t＝15，m＝15－5＝10.
6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，
又当v＝10时，k×102＝6，
解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，当且仅当0.6v＝，
即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案：40
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．

解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值为180.
答案：180
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．
解析：依题意得
即解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
9.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，

所以PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
10．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
解：(1)当0＜x≤100时，p＝60；
当100＜x≤600时，
p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
所以p＝
(2)设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；
当100＜x≤600时，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
所以y＝
当0＜x≤100时，y＝20x是单调递增函数，当x＝100时，y最大，此时ymax＝20×100＝2 000；
当100＜x≤600时，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
所以当x＝550时，y最大，此时ymax＝6 050.
显然6 050＞2 000.
所以当一次订购550件时，该厂获得利润最大，最大利润为6 050元．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________．
(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．
解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴t＝－＝＝120，
代入数据解得
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，
最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
答案：(1)120　(2)80
2．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
解：(1)由题意知k＝3，∴k＝1.
(2)因为k＝4，
所以y＝
当0≤x≤4时，由－4≥4，解得－4≤x<8，
所以0≤x≤4.
当4 综上可知，当y≥4时，0≤x≤12，
所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．
(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为
2×＋1×＝5(克/升)，又5>4，
所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．


命题点一　基本初等函数(Ⅰ)
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x　　　　　　　　 B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D　函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2016·全国丙卷)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b C．b 解析：选A　因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b 3．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：选D　a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
4．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

解析：选D　当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选C　因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则>3，即－3>0，即>0，故不等式可化为<0，即1<2x<2，解得0 6．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．c 解析：选C　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c 7．(2014·安徽高考)－＋log3＋log3＝______.
解析：原式＝－＋log3＝－3＝.
答案：
8．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
9．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则a＋b＝________.
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0 答案：－
10．(2015·天津高考)已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
解析：由于a>0，b>0，ab＝8，所以b＝.
所以log2a·log2(2b)＝log2a·log2＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，
当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.
答案：4

命题点二　函数与方程
命题指数：☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x≥0 时， f(x)＝x2－3x. 则函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
解析：选D　当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．选D.
2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C　因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
3.其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.
答案：(3，＋∞)
4．(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
解析：f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2.
设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．

答案：2

命题点三　函数模型及其应用
命题指数：☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D　根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
答案：24
第十节变化率与导数、导数的运算


1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .

(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

3．导数的运算法则
(1)′＝f′(x)±g′(x)；
(2)′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．

1．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0

1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．


1．函数y＝的导函数为________________．
答案：y′＝
2．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，
∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2





求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.


求函数导数的3种原则



导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值(范围)．　　　 　

角度一：求切线方程
1．（2016·云南一检）函数f(x)= 的图象在点（1，-2）处的切线方程为（ ）A.2x-y-4=0 B.2x+y=0
C.x-y-3=0 D. x+y+1=0
解析：选C f′(x)= ,则f′(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.
角度二：求切点坐标
2．(2016·郑州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.

角度三：求参数的值(范围)
3．若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝(　　)
A．e　　　 B．2e　　　　
C．e　　　　 D．2e
解析：选B　依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，a＝＝2e，选B.

与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.

1．(2017·郑州质量预测)函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选C　依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为f′(x)＝excos x－exsin x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，故选C.
2．曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
解析：∵y＝aln x，∴y′＝，
∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，
故切点为(1,0)，
∴切线方程为y＝a(x－1)．
令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.
∴三角形面积S＝×a×1＝4，
∴a＝8.
答案：8


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2)　　　　　　　 B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C　∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选C　曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，
∴f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B　f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.
4．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.
解析：∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
答案：－
5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a＞0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C　由于y′＝e－，所以y′＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2017·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
解析：选C　对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为(　　)
A．－6 B．－8
C．6 D．8
解析：选D　∵f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.
∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
＝－4ax3＋bsin x＋7.
∴f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 017)＝6，
∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.
4．(2017·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A　∵y＝1－＝，
∴y′＝＝，y′＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：选D　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
解得m＝－2.
6．(2017·武汉调研)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
7．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．
解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．
则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．
答案：－　(－1,0)
8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：0
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′＋(x＋1)′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
解析：由f(x)＝x3＋ax＋得，
f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，
g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，
∴a＝－＝－e.
答案：－e
2．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是∪(1,3)∪上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．


1．(教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为________．
答案：(－∞，0)
2．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．
答案：
3．已知f(x)＝x3－ax在
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　　 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析：选D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0.
∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
2．函数y＝2x3－2x2在区间上的最大值是________．
解析：y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，
f＝－，f(2)＝8.
∴最大值为8.
答案：8
第一课时　导数与函数的单调性






(2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．
当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a＞0时，由f′(x)＝0，有x＝ .
此时，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

导数法判断或证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤
(1)一求．求f′(x)；
(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)三结论．f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．
　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(2)若f＜－，求实数x的取值范围．
解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f(x)＝ln x－，
∴f′(x)＝－＝.
∵x＞0，∴4x2＋3x＋1＞0，x(1＋2x)2＞0.
∴当x＞0时，f′(x)＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)∵f(x)＝ln x－，
∴f(1)＝ln 1－＝－.
由f＜－得f＜f(1)．
由(1)得
解得－＜x＜0或＜x＜1.
∴实数x的取值范围为∪.



(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
解：由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
(1)当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞或x＜－；
令f′(x)＜0，得－＜x＜.
所以f(x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.

求函数的单调区间的2方法
法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

已知函数f(x)＝ln x－bx＋c，f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋4＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)f′(x)＝－b，∴f′(1)＝1－b，
又f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，
故1－b＝－1，b＝2.
将(1，f(1))代入方程x＋y＋4＝0，得1＋f(1)＋4＝0，f(1)＝－5，∴f(1)＝－b＋c＝－5，将b＝2代入，得c＝－3，故f(x)＝ln x－2x－3.
(2)依题意知x＞0，f′(x)＝－2.
令f′(x)＞0，得0＜x＜，再令f′(x)＜0，得x>，
故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.



设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a 当且仅当x＝即x＝－时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，2)．　　

根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
　f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

在本例中，(1)若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？
(2)若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值．
(3)若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围．
解：(1)∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，
∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，
∴即解得a≤－3.
即实数a的取值范围为(－∞，－3]．
(2)∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，
∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，
∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
(3)由(1)知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的取值范围是(－∞，－3]．
若g(x)在(－2，－1)上为增函数，可知a≥x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋的值域为(－3，－2)，
∴a的范围是∪
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
解析：选D　由f(x)＝x2－aln x，得f′(x)＝2x－，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴2x－≥0，
即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，
∵2x2>2，∴a≤2.故选D.
4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
5．函数f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．
解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．
答案：单调递增
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　)

解析：选A　设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．
2．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
解析：选D　设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．
3．函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≤0 B．a<0
C．a≥0 D．a>0
解析：选B　函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a<0.故选B.
4．(2017·湖北襄阳模拟)函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：选B　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B.
5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．g(a)<0 C．0 解析：选A　因为函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，
所以g(a)<0.由g(2)＝ln 2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，
所以f(b)>0.综上可知，g(a)<0 6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．
解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
答案：(2，＋∞)
7．函数f(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2x－a，
∵f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴2x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即a≤2x，∴a≤2.
答案：(－∞，2]
8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
解析：设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．
10．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋在上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在上恒成立．
令h(x)＝4x－，
则h(x)在上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，又a>0，
所以0 答案：∪，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈恒成立，由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；
由g′(3)＞0，即m＞－.
所以－＜m＜－9.
即实数m的取值范围是.

第二课时　导数与函数的极值、最值






函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．
常见的命题角度有：
(1)知图判断函数极值；
(2)已知函数求极值；
(3)已知函数极值情况求参数值(范围)．　　　 　

角度一：知图判断函数极值
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)　
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D　由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

角度二：已知函数求极值
2．(2016·石家庄一模)已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R)，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 3)
ln 3
(ln 3，＋∞)
f(x)
－
0
＋
f(x)

极小值


故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3]，单调递增区间是
1．利用导数研究函数极值问题的一般流程

2．已知函数极值点或极值求参数的2个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－　　　　　　 B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析：选A　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
即
解得或经检验满足题意，故＝－.
2．设函数f(x)＝－kln x，k>0，求f(x)的单调区间和极值．
解：由f(x)＝－kln x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)



所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．


(2017·云南统测)已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.
∴当0 当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2，无极大值．
(2)∵f′(x)＝，
∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，
∴f(x)在上单调递增；
由f′(x)<0得，0 ∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2×.
根据题意得f＝aln＋2×≥－a，即a≥0.
∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0，
∴实数a的取值范围是
求函数f(x)在上的最大值和最小值的3步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

(2017·湖北七市(州)协作体联考)设n∈N*，a，b∈R，函数f(x)＝＋b，已知曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
(1)求a，b；
(2)求f(x)的最大值．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
∴f′(1)＝a，又切线斜率为1，故a＝1.
由曲线y＝f(x)过点(1,0)，有f(1)＝b＝0.
故a＝1，b＝0.
(2)由(1)知f(x)＝，f′(x)＝.
令f′(x)＝0，即1－nln x＝0，解得x＝e.
当00，得f(x)在上是增函数；
当x>e时，有f′(x)<0，得f(x)在(e，＋∞)上是减函数．
故f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝.



某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

利用导数解决生活中的优化问题的4步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．

时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式为y＝＋4(x－6)2，其中2 (1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
解：(1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝＋4(x－6)2，
得＋16＝21，解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润为
f(x)＝(x－2)
＝10＋4(x－6)2(x－2)
＝4x3－56x2＋240x－278(2 从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2 令f′(x)＝0，得x＝，且在上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．



(2017·兰州诊断)设函数f(x)＝＋2ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)如果对所有的x≥1，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
所以当0时，f′(x)>0，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
(2)当x≥1时，f(x)≤ax⇔a≥＋，
令h(x)＝＋(x≥1)，
则h′(x)＝－＝，
令m(x)＝x－xln x－1(x≥1)，则m′(x)＝－ln x，
当x≥1时，m′(x)≤0，所以m(x)在
利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

已知f(x)＝(1－x)ex－1.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设g(x)＝，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1.
解：(1)f′(x)＝－xex.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)的最大值为f(0)＝0.
(2)证明：由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1.
当－1x.
设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.
当x∈(－1,0)时，0<－x<1,0 则0<－xex<1，
从而当x∈(－1,0)时，h′(x)<0，h(x)在(－1,0)上单调递减．
当－1h(0)＝0，即g(x)<1.
综上，总有g(x)<1.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)
A．y＝x3　　　　　　　 B．y＝ln (－x)
C．y＝xe－x D．y＝x＋
解析：选D　由题可知，B、C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
3．函数f(x)＝x3－4x＋m在上的最大值为4，则m的值为(　　)
A．7 B.
C．3 D．4
解析：选D　f′(x)＝x2－4，x∈，
当x∈时，f′(x)＞0，
∴f(x)在上是增函数．
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.
∴在上，f(x)max＝f(0)＝4，
∴m＝4，故选D.
4．函数y＝xln x有极________(填大或小)值为________．
解析：y′＝ln x＋1(x>0)，
当y′＝0时，x＝e－1；
当y′<0时，解得0 当y′>0时，解得x>e－1.
∴y＝xln x在(0，e－1)上是减函数，在(e－1，＋∞)上是增函数．
∴y＝xln x有极小值yx＝e－1＝－.
答案：小　－
5．函数f(x)＝－x3＋12x＋6，x∈的零点个数是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋12，x∈.
当x∈时，f′(x)＞0，
当x∈(2,3]时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上是增函数，在(2,3]上是减函数．
故f(x)极大值＝f(2)＝22.
由于f>0，f(3)>0，
所以有0个零点．
答案：0
二保高考，全练题型做到高考达标
1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D　∵f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝－＋(x>0)，由f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
∴x＝2为f(x)的极小值点．
2．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
解析：选C　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当00；
当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选D　由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
设f(t)＝t2－ln t(t>0)，则f′(t)＝2t－，
令f′(t)＝0，得t＝，
当0 ∴当t＝时，f(t)取得最小值．
4．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B． D．．故选A.
5．(2017·河北三市二联)若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)
A．2b－ B.b－
C．0 D．b2－b3
解析：选A　f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b 6．f(x)＝的极小值为________．
解析：f′(x)＝＝.
令f′(x)<0，得x<－2或x>1.
令f′(x)>0，得－2 ∴f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数，
∴f(x)极小值＝f(－2)＝－.
答案：－
7．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，
则x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．
答案：144
8．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，
－)
－
(－，
)

(，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值


从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
答案：(－1,1)
9．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解：(1)由于f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则解得
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3.
于是有f(1)＝－.又f′(1)＝－3，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
则g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，
当x≤0或x≥3时，g′(x)≤0，
当0≤x≤3时，g′(x)≥0，于是函数g(x)在(－∞，0]上单调递减，在上单调递增，在．
(2)当a＝1时，g(x)＝x＋－(ln x)2，g(x)的定义域是(0，＋∞)．
g′(x)＝1－－2ln x·＝，
令h(x)＝x2－2xln x－1，h′(x)＝2(x－ln x－1)，
由(1)知，h′(x)的最小值是h′(1)＝0，∴h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝2.
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1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：
①f(0)f(1)＞0; ②f(0)f(1)＜0；
③f(0)f(3)＞0; ④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是________．
解析：∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)＜0，得1＜x＜3，由f′(x)＞0，
得x＜1或x＞3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a＜b＜c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，
∴y极大值＝f(1)＝4－abc＞0，y极小值＝f(3)＝－abc＜0.
∴0＜abc＜4.
∴a，b，c均大于零，或者a＜0，b＜0，c＞0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．

∴f(0)＜0.∴f(0)f(1)＜0，f(0)f(3)＞0.∴正确结论的序号是②③.
答案：②③
2．(2016·兰州实战考试)已知函数f(x)＝＋ax，x>1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；
(3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋a，由题意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤－＝2－.
∵x∈(1，＋∞)，∴ln x∈(0，＋∞)，
∴当－＝0时，函数t＝2－的最小值为－，
∴a≤－，故实数a的取值范围为.
(2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得2ln2x＋ln x－1＝0，
解得ln x＝或ln x＝－1(舍)，即x＝e.
当1e时，f′(x)>0，
∴f(x)的极小值为f(e)＝＋2e＝4e.
(3)将方程(2x－m)ln x＋x＝0两边同除以ln x得(2x－m)＋＝0，整理得＋2x＝m，
即函数g(x)＝＋2x的图象与函数y＝m的图象在(1，e]上有两个不同的交点．
由(2)可知，g(x)在上单调递减，在(e，e]上单调递增，
g(e)＝4e，g(e)＝3e，当x→1时，→＋∞，
∴4e 故实数m的取值范围为(4e，3e]．


命题点一　导数的运算及几何意义
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
2．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，
y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
答案：8

命题点二　导数的应用


命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题、解答题
1.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]　　　　　　 B．(－∞，－1]
C． B.
C. D.
解析：选C　f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2x＋acos x＋，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈，则－t2＋at＋≥0在上恒成立，即4t2－3at－5≤0在上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则解得－≤a≤，故选C.
3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选A　设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，


∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0 当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
5．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0.
设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
6．(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
7．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
②设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，
在(ln(－2a)，1)上单调递减．
若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，
在(1，ln(－2a))上单调递减．
(2)①设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln ，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点．
②设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．
③设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．