2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测 （十三）　变化率与导数、导数的运算 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测 （十三）　变化率与导数、导数的运算 word版含答案，试卷主要包含了函数f＝2的导数为，求下列函数的导数等内容，欢迎下载使用。

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选C 曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，
∴f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B f′(x)＝2 016＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.
4．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________.
解析：∵f′(x)＝－eq \f(1,x2)cs x＋eq \f(1,x)(－sin x)，∴f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(1,π)＋eq \f(2,π)·(－1)＝－eq \f(3,π).
答案：－eq \f(3,π)
5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a＞0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋eq \f(ax,x)，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
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1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－eq \f(1,x)，所以y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,x＝1))＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2017·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
解析：选C 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
3．已知f(x)＝ax4＋bcs x＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为( )
A．－6 B．－8
C．6 D．8
解析：选D ∵f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.
∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
＝－4ax3＋bsin x＋7.
∴f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 017)＝6，
∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.
4．(2017·衡水调研)曲线y＝1－eq \f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A ∵y＝1－eq \f(2,x＋2)＝eq \f(x,x＋2)，
∴y′＝eq \f(x＋2－x,x＋22)＝eq \f(2,x＋22)，y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1))＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：选D ∵f′(x)＝eq \f(1,x)，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq \f(1,2)xeq \\al(2,0)＋mx0＋eq \f(7,2)，m<0，
解得m＝－2.
6．(2017·武汉调研)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
7．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．
解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，axeq \\al(2,0)－a)．
则g′(x0)＝2ax0＝1，且axeq \\al(2,0)－a＝x0＋1.
解得x0＝－1，a＝－eq \f(1,2)，切点坐标为(－1,0)．
答案：－eq \f(1,2) (－1,0)
8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3)，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
答案：0
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝tan x＋x·eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)
＝tan x＋eq \f(x,cs2x).
(2)y′＝(x＋1)′＋(x＋1)′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，
∴xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
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1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq \f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
解析：由f(x)＝x3＋ax＋eq \f(1,4)得，
f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝eq \f(1,4)，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－eq \f(1,4)＝ax.
设直线y－eq \f(1,4)＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，
g′(x)＝－eq \f(1,x)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ln x0－\f(1,4)＝ax0， ①,a＝－\f(1,x0). ②))
将②代入①得ln x0＝eq \f(3,4)，
∴x0＝e，
∴a＝－eq \f(1,e)＝－e.
答案：－e
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．