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2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
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这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案，共125页。试卷主要包含了函数的定义域； 2，函数的有关概念，2米，求行驶的最大速度．等内容，欢迎下载使用。
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节
函数及其表示
本节主要包括3个知识点：
1.函数的定义域； 2.函数的表示方法；3.分段函数.
突破点(一) 函数的定义域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
[例1] y＝ －log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
[解析] 要使函数有意义，必须
∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
[答案] C
[易错提醒]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
求抽象函数的定义域
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
[例2] 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[解析] 由题意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．
[答案] [0,1)
[易错提醒]
函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．
已知函数定义域求参数
[例3] (2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析] 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0
[答案] D
[方法技巧]
已知函数定义域求参数的思想方法
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．[考点一]函数y＝ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
解析：选B 由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：选D 由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函数的定义域为∪.故选D.
3．[考点一]函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
解析：由题意得解得即0
4．[考点二]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，∴x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．[考点三]若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以解得所以a＋b＝－－3＝－.
答案：－
突破点(二) 函数的表示方法
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2．应用三种方法表示函数的注意事项
(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．
3．函数的三种表示方法的优缺点
优点
缺点
解析法
简明扼要，规范准确
(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；
(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂
列表法
能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系
只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌
图象法
形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质
作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的解析式
求函数解析式的四种方法
[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)(2017·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．
[解析] (1)设该函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
(2)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(3)用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．
[答案] (1)A (2)－x(x＋1) (3)f(x)＝x－＋(x≠0)
[易错提醒]
在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f－1，则f(x)＝________.
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，将f＝2f(x)－1代入f(x)＝2f－1中，求得f(x)＝＋(x>0)．
答案：＋(x>0)
2．函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：由题意知
解得f(x)＝2x.
答案：2x
3．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
5．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
突破点(三) 分段函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
分段函数求值
[例1] (1)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B.
C. D.
(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝则f(1＋log25)的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f＝1－ ＝，故选C.
(2)因为2
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
求参数或自变量的值或范围
[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(4)＝2f(a)，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．2
C．－1 D．－2
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
[解析] (1)f(4)＝log24＝2，因而2f(a)＝2，即f(a)＝1，当a>0时，f(a)＝log2a＝1，因而a＝2，当a≤0时，f(a)＝a2＝1，因而a＝－1，故选A.
(2)当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.
[答案] (1)A (2)(－∞，8]
[方法技巧]
求分段函数自变量的值或范围的方法
求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选C 由题意得f(－1)＝1－2－1＝，则f(f(－1))＝f＝2＝.
2．[考点一]已知f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B f＝f＋1＝sin＋1＝－.
3．[考点一]已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，
解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
则f(x)＝
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
4．[考点二]设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
5．[考点二]已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．
解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.
答案：－1或1
6．[考点二]已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选C ∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A 由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.综上所述，f(6－a)＝－.
4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：选D y＝|f(x)|的图象如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
2．若函数f(x＋1)的定义域为[0,1]，则f(2x－2)的定义域为( )
A．[0,1] B．[log23,2]
C．[1，log23] D．[1,2]
解析：选B ∵f(x＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.∵f(x＋1)与f(2x－2)是同一个对应关系f，∴2x－2与x＋1的取值范围相同，即1≤2x－2≤2，也就是3≤2x≤4，解得log23≤x≤2.∴函数f(2x－2)的定义域为[log23,2]．
3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
4．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
5．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________.
解析：f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
解析：选D 要使函数f(x)有意义，则x须满足即
解得1
A．1 B．2 C．3 D．－2
解析：选C f＝－cos＝cos＝；f＝f＋1＝f＋2＝－cos＋2＝＋2＝.故f＋f＝3.
3．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
解析：选A 令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得f(1)＝2.
4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(a，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：选D 因为组装第a件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4
5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
6．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
二、填空题
7．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1 001)＝，已知f(15)＝1，则f(2 017)＝________.
解析：根据题意，f(2 017)＝f(1 016＋1 001)＝，f(1 016)＝f(15＋1 001)＝，而f(15)＝1，所以f(1 016)＝＝1，则f(2 017)＝＝＝1.
答案：1
8．(2017· 绵阳诊断)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意，舍去．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a的值为－.
答案：－
9．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.
解析：由f＋f＝2，得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，又f＝＝×2＝1，∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7
10．定义函数f(x)＝则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．
解析：①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)·f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案：{x|x<－3或x>1}
三、解答题
11．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.所以f(x)＝
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．
第二节
函数的单调性与最值
本节主要包括2个知识点：
1.函数的单调性；2.函数的最值.
突破点(一) 函数的单调性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
判断函数的单调性
1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
2．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
(2)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
[解析] (1)当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
(2)设t＝x2－2x－3，由t≥0，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
[答案] (1)C (2)B
[易错提醒]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
函数单调性的应用
应用(一) 比较函数值或自变量的大小
[例2] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[解析] 由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，∴b>a>c.
[答案] D
应用(二) 解函数不等式
[例3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8
[方法技巧]
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)
应用(三) 求参数的取值范围
[例4] (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上所述得－≤a≤0.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
[答案] (1)D (2)D
[易错提醒]
(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．
2．[考点二·应用(一)]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln π)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：选C 由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0|a|>|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
解析：由题意，y＝f(x)为奇函数且f＝0，
所以f＝－f＝0，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
于是或
即或解得0
4．[考点二·应用(三)]已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，∴解得≤a＜2，∴a的取值范围是.
答案：
5．[考点一]用定义法讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性．
解：函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1
若00，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0， ]上单调递减．
同理可得，f(x)在[，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ ]上单调递增，在[－，0)上单调递减．故函数f(x)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
突破点(二) 函数的最值
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的最值(值域)
1．利用函数的单调性求解函数最值的步骤
(1)判断或证明函数的单调性；
(2)计算端点处的函数值；
(3)确定最大值和最小值．
2．分段函数的最值
由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
[典例] (1)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)函数y＝的值域为________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析] (1)法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又∵t≥0，∴y≥＋＝1.
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x＝1时y取最小值，即ymin＝1.
(2)y＝＝＝2＋＝2＋.
∵2＋≥，∴2<2＋≤2＋＝.故函数的值域为.
(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
[答案] (1)1 (2) (3)2
[方法技巧] 求函数最值的五种常用方法
方法
步骤
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 016 B．2 018 C．4 032 D．4 034
解析：选D 由题意得f(x)＝＝2 018－.∵y＝2 018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2 018－在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 036－－＝4 034.
2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1
解析：∵y＝x和y＝－log2(x＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
4．(2017·益阳模拟)已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
解析：∵≤f(x)≤，∴≤≤.令t＝，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为.
答案：
5．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：依题意，h(x)＝当02时，h(x)＝3－x是减函数，则h(x)max＝h(2)＝1.
答案：1
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：选A ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔
解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，
∴点(－5,0)，(－3,0)必在f(x)的图象上．
∴
即解得
∴f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)
＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)
＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)
令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，
则y＝－(t＋3)(t－5)
＝－(t2－2t－15)
＝－(t－1)2＋16.
故当t＝1时，f(x)max＝16.
答案：16
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析：选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
解析：选C 二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B y＝|x|(1－x)＝
＝
画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在上单调递增，故选B.
4．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．
解析：因为f(x)＝在[－6，－2]上是减函数，故当x＝－6时，f(x)取最大值－.当x＝－2时，f(x)取最小值－.
答案：－ －
5．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
解析：要使函数f(x)的值域为R，需使
∴∴－1≤a<，即a的取值范围是.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：选B ①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<<1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选B 令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增，即该函数的单调递增区间为.
4．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选C 当x＝1时，loga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立，
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有
即解得≤a＜.
此时，logax是减函数，符合题意．
5．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
6．(2017·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D ∵f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0
7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝
函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
9．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.
答案：2－3
10．(2017·豫南名校联考)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象的草图如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a<2a－x，即x<在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1<，即a<－2.
答案：(－∞，－2)
三、解答题
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．
12．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0
第三节
函数的奇偶性及周期性
本节主要包括3个知识点：
1.函数的奇偶性； 2.函数的周期性；
3.函数性质的综合问题.
突破点(一) 函数的奇偶性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
2.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xlg(x＋)；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝.
[解] (1)∵>|x|≥0，
∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)
＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，
由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
(4)∵解得－2≤x≤2且x≠0，
∴函数的定义域关于原点对称，
∴f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
[方法技巧]
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．
函数奇偶性的应用
[例2] (1)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
[解析] (1)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－F(a)＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
(2)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，结合偶函数图象的特点(图略)，易得b＝0.
[答案] (1)B (2) 0
[方法技巧]
利用奇偶性求值的类型及方法
(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝x2＋cos x
答案：D
2．[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝2x＋ D．f(x)＝x＋ex
解析：选D A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
3．[考点二]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析：选B 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝.
4．[考点二]设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)＝为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，∴a＝－1.
答案：－1
5．[考点二]已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
突破点(二) 函数的周期性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用函数的周期性求值或范围
周期函数y＝f(x)满足：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 016(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝________.
[解析] (1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，
∴f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
所以f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 017)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝1 009.
[答案] (1)C (2)1 009
[方法技巧]
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f＝( )
A．0 B．1 C. D．－1
解析：选D 因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.
2．(2017·沈阳模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.
3．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f得－＋a＝，解得a＝.
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
4．若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x＋2 017)＝－f(x＋2 018)，且f(2 018)＝－2 017，则f(－1)＝________.
解析：由f(x＋2 017)＝－f(x＋2 018)，得f(x＋2 017)＝－f(x＋2 017＋1)，令x＋2 017＝t，即f(t＋1)＝－f(t)，所以f(t＋2)＝f(t)，即函数f(x)的周期是2.令x＝0，得f(2 017)＝－f(2 018)＝2 017，即f(2 017)＝2 017，又f(2 017)＝f(1)＝f(－1)，所以f(－1)＝2 017.
答案：2 017
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值．
解：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)
＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1×＝336.
而f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝1＋2＝3.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.
突破点(三) 函数性质的综合问题
1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．
2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
考点
贯通
抓高考命题的“形”与“神”
奇偶性与单调性的综合问题
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
[例1] 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
[解] ∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
即1－m>m2－1，解得－2
即实数m的取值范围是[－1,1)．
[易错提醒]
解决本题要注意函数的定义域为[－2,2]，即1－m∈[－2,2]且1－m2∈[－2,2]．
奇偶性与周期性的综合问题
[例2] 已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝( )
A.＋1 B.－1 C．－－1 D．－＋1
[解析] 由题可知f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，则f＝－f＝－＋1.
[答案] D
[方法技巧]
奇偶性与周期性综合问题的解题策略
函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
奇偶性、周期性、单调性的综合问题
[例3] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[解析] ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
[答案] D
[方法技巧]
函数三大性质综合问题的解题策略
解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用函数在已知区间上的奇偶性和单调性求解．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ln x2
C．y＝ D．y＝－x2
解析：选D 由函数的奇偶性排除A、C，由函数的单调性排除B，由y＝－x2的图象可知当x>0时此函数为减函数，又该函数为偶函数，故选D.
2．[考点二](2017·广州联考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．2 B．－2 C．－98 D．98
解析：选B 因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
3．[考点一]已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)＝x4，且f(x＋t)≤4f(x)在x∈[1,16]时恒成立，则实数t的最大值是( )
A.－1 B．16(－1)
C.＋1 D．16(＋1)
解析：选A ∵f(x)在x>0时满足f(x)＝x4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在R上单调递增，而f(x＋t)≤4f(x)(x∈[1,16])等价于f(x＋t)≤f(x)(x∈[1,16])，即当x∈[1,16]时，x＋t≤x恒成立，即t≤(－1)x，x∈[1,16]，∴只需t≤－1，故t的最大值为－1.故选A.
4．[考点三]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
解析：选A 由题意知f(x＋2)＝＝f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[0,1]上是增函数，所以f(x)在[2,3]上是增函数．
5．[考点二]已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝，∴＜1，即＜0，解得－1＜a＜4.
答案：(－1,4)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析：由题可知，当－20，f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1
5．(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋，观察函数g(x)＝，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.
答案：2
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2016·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝ex
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x
解析：选D 对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ex－e－x为奇函数，故选D.
3．(2017·江南十校联考)设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：选D 因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，D错误，故选D.
4．奇函数f(x)的周期为4，且x∈[0,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝ln |x|
解析：选B A项，“是偶函数”与“在(0，＋∞)上单调递增”均不满足，故A错误；B项，均满足，B正确；C项，不满足“是偶函数”，故C错误；D项，不满足“在(0，＋∞)上单调递增”．故选B.
2．(2017·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A 设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
解析：选A ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故选A.
4．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选C 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.
5．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D 由题意知当x＞时，f＝f，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.
6．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 B．－4
C．－8 D．－16
解析：选B 由题可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.
二、填空题
7．(2017·揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f＋lg 18＝________.
解析：由函数f(x)是周期为2的奇函数得f＝f＝f＝－f，
又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，
所以f＝－f＝－lg＝lg，
故f＋lg 18＝lg＋lg 18＝lg 10＝1.
答案：1
8．函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x ①，
用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，
因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
所以－h(x)＋g(x)＝e－x－x ②.
由(①＋②)÷2得g(x)＝，
所以g(0)＝＝1.
答案：1
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：
∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)
∴0<|x－1|<16，
解得－15
第四节
本节主要包括2个知识点：
1.幂函数；
2.二次函数.
二次函数与幂函数
突破点(一) 幂函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象
3．五种幂函数的性质
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
幂函数的图象
[例1] 幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
[解析] 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x，则f(x)的图象如选项C中所示．
[答案] C
[方法技巧]
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．
幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1,1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
[例2] (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
(2)若(a＋1)<(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.
(2)不等式(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
[方法技巧]
幂值大小比较的常见类型及解题策略
(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较．
(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较．
(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．3
解析：选B ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m2＋m－3>0，∴m＝2.
2．[考点一]图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是( )
A．－1，，3 B．－1,3，
C.，－1,3 D.，3，－1
解析：选A 根据幂函数图象的规律知，选A.
3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
4．[考点二]若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.
答案：
突破点(二) 二次函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝.
2．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增，在上单调递减
最值
当x＝－时，ymin＝
当x＝－时，ymax＝
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求二次函数的解析式
[例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧]
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
二次函数的图象
确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：
从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
[例2] 下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－ C. D．－或
[解析] ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故f(－1)＝－或.
[答案] D
二次函数的图象与性质的应用
考法(一) 二次函数的单调性
[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
[解] (1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
所以实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．
[方法技巧]
研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆A⊆－，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
考法(二) 二次函数的最值
二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
m
最值
f(x)max＝f(m)，
f(x)min＝f(n)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(n)，
f(x)min＝f(m)
[例4] 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
[解] 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，
∴a＝(舍去)．
当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
[易错提醒]
研究二次函数的性质时要注意二次项系数a的正负及图象对称轴的位置．求最值时，也可考虑先用导数法确定单调性再根据极值与最值关系求解．
考法(三) 二次函数中的恒成立问题
[例5] 已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
[解] ∵f(x)的对称轴方程为x＝a，且f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.
又a≥2，∴2≤a≤3.
故实数a的取值范围是[2,3]．
[方法技巧]
由不等式恒成立求参数的解题思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
解析：选D 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c<0，所以排除B.
2．[考点三·考法(一)]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B．13 C．7 D．5
解析：选B 函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，∵图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝.∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
答案：f(x)＝x2－2x＋1
4．[考点三·考法(二)]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
当－2
即ymin＝a2－2a；
当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，
即ymin＝－1.
综上，g(a)＝
5．[考点三·考法(三)]已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
解：由题可知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当a＝0时，适合；
当a≠0时，x＝0时，有－3<0恒成立；
x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当＝1，即x＝1时，不等式右边取最小值，
所以a<，且a≠0.
综上，实数a的取值范围是.
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 由f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为f(x)＝xα为奇函数，所以α只能取－1.
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A ∵0<<<1，指数函数y＝x在R上单调递减，故<.又由于幂函数y＝x在R上单调递增，故>，∴<<，即b
解析：选D ∵函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，∴－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根，由根与系数的关系可得－2＋1＝，－2×1＝－，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2.∴函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标为(－1,0)和(2,0)．故选D.
4．二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0,3)，所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
答案：y＝x2－2x＋3
5．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．
解析：只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.
答案：(－∞，－3]
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：选B 由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1或m＝2.
2．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．不存在
解析：选B 依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取最大值为4.
3．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是( )
A．f(m)
解析：选A 因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)
A．[－2,2] B．(－2,2] C．[－4,2] D．[－4,4]
解析：选A 由f(x)＝x2＋2|x|，f(2)＝8知，f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得a∈[－2,2]．
5．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝( )
A．56 B．112 C．0 D．38
解析：选B 由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.
6．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：选C 由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0,2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴
解得∴3＜a＜5.
答案：(3,5)
8．已知点P1(x1,2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．
解析：依题意得x1＋x2＝－，则f(x1＋x2)＝f＝a2＋b＋9＝9.
答案：9
9．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为________．
解析：方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x＋a－＝0，也即方程a＝－x在区间[1,5]上有根，而函数y＝－x在区间[1,5]上是减函数，所以－≤y≤1，则－≤a≤1.
答案：
10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．
答案：
三、解答题
11．(2017·杭州模拟)已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数．
(1)求m的值；
(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．
解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，
∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5.
又h(x)为奇函数，∴m＝0.
(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，
令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]，
∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．
第五节
本节主要包括3个知识点：
1.指数幂的运算； 2.指数函数的图象及应用；
3.指数函数的性质及应用.
指数与指数函数
突破点(一) 指数幂的运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数指数幂的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
指数幂的运算
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[典例] 化简下列各式：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷；
(3).
[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(2ab－)
＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝
＝a·b＝.
[易错提醒]
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a写成a时必须认真考查a的取值才能决定，如(－1) ＝＝1，而(－1) ＝无意义．
(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0＝________.
解析：原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
2.÷ ＝________.
解析：原式＝(aa)÷(aa)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1.
答案：1
3.÷×＝________.
解析：原式＝÷×＝a (a－2b)××＝a×a×a＝a2.
答案：a2
4．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x×2－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
5．若x＋x－＝3，则的值为________．
解析：由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x－＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18，所以原式＝＝.
答案：
突破点(二) 指数函数的图象及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
图象
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
与指数函数有关的函数图象辨析
与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
[例1] 函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
[解析] 当a>1时函数单调递增，且函数图象过点，因为0<1－<1，故A，B均不正确；当0
指数函数图象的应用
一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[例2] (1)已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
[解析] (1)函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由a＝b得，a
(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．
[答案] (1)B (2)(0,1)
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
解析：选A ∵f(x)＝21－x＝2·2－x.∴f(x)在R上为减函数，排除C、D；又f(0)＝21＝2>1，排除B，故选A.
2．[考点一]函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
3.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0
解析：令x－1＝0，则x＝1，f(1)＝5，即P点坐标是(1,5)．
答案：(1,5)
5．[考点二]若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0
∴0
答案：
突破点(三) 指数函数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
比较指数式的大小
[例1] (2016·全国丙卷)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b
由函数y＝2x在R上为增函数知，b
由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a
[方法技巧]
比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．
解简单的指数方程或不等式
[例2] (1)(2017·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
[解析] (1)当a<1时，41－a＝21，∴a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)∵f(x)为偶函数，
当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
当f(x－2)＞0时，有或
解得x＞4或x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
[答案] (1) (2){x|x>4或x<0}
[方法技巧]
解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．
与指数函数有关的复合函数问题
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y＝af(x)的值域．
2．与指数函数有关的复合函数的单调性
利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．
(2)若0
一般通过换元法转化为二次函数的问题解决，换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．
[例3] 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝ax2－4x＋3.
由指数函数的性质知，
要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数单调区间的求解步骤
(1)求复合函数的定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；
(3)分层逐一求解函数的单调性；
(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．c
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B 令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
3．[考点三]已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．
解析：函数y＝2是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2在区间上单调递增，在区间上单调递减．又因为函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6.
答案：[6，＋∞)
4．[考点二]不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∵函数y＝2x在R上为增函数，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2，即不等式的解集为{x|－1
5．[考点三](2017·江苏南通调研)函数f(x)＝的值域为________．
解析：令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数y＝x的图象可得0
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
解析：选B 根据各选项知，选项B、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以B正确．
2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
解析：选B f(x)＝易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选B.
3．(2017·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B 由f(1)＝得a2＝，又a>0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
5．求值：(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋(0.01)＝________.
解析：原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A 由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
2.已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝( )
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析：选D 由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝x，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，故选D.
3．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系中一定成立的是( )
A．3c>3a B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
解析：选D 画出f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示，要使cf(a)>f(b)成立，则有c<0，且a>0.由y＝3x的图象可得0<3c<1<3a.∵f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)，∴1－3c>3a－1，即3a＋3c<2.
4．已知函数f(x)＝ex，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，则下列关于f(x)的性质：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，②y＝f(x)不存在反函数，③f(x1)＋f(x2)<2f，④方程f(x)＝x2在(0，＋∞)上没有实数根，其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
解析：选B 因为e>1，所以f(x)＝ex为定义域内的增函数，故①正确；函数f(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x>0)，故②错误；f(x1)＋f(x2)＝ex1＋ex2>2＝2＝2f，故③错误；作出函数f(x)＝ex和y＝x2的图象(图略)可知，两函数图象在(0，＋∞)内无交点，故④正确．结合选项可知，选B.
5．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C 当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以函数y＝x是减函数，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．
6．(2016·河南许昌四校第三次联考)已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[4，＋∞) D.∪(1,4]
解析：选B 当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，即ax>x2－在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，由图象知：当01时，g(－1)≥m(1)，即a－1≥1－＝，此时1
7．已知函数f(x)＝，若f(a)＝－，则f(－a)＝________.
解析：∵f(x)＝，f(a)＝－，∴＝－.∴f(－a)＝＝－＝－＝.
答案：
8．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.
又∵a>1，∴a＝.
当0
答案：
9．(2017·安徽十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
解析：由于f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x<1时，f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案：e
10．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
解析：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1.
答案：(－1，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
所以只需m≤即可．即m的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
第六节
本节主要包括3个知识点：
1.对数的运算； 2.对数函数的图象及应用；
3.对数函数的性质及应用.
对数与对数函数
突破点(一) 对数的运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
对数的概念、性质及运算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
重要公式
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
对数的运算
[典例] 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
(3)原式＝·＝·
＝·＝.
[方法技巧]
解决对数运算问题的四种常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.＋log2＝( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选B ＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B.
2.lg 25＋lg 2－lg－log29×log32的值是________．
解析：原式＝lg 5＋lg 2＋－2＝1＋－2＝－.
答案：－
3.lg－lg＋lg＝________.
解析：原式＝(5lg 2－2lg 7)－××3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝(lg 2＋lg 5)＝.
答案：
4．已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．
解析：∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
答案：2
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析：∵2a＝5b＝m>0，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
答案：
突破点(二) 对数函数的图象及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．对数函数的图象
函数
y＝logax，a>1
y＝logax,0
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
对数函数图象辨析
[例1] 函数f(x)＝lg的大致图象为( )
[解析] f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．
由y＝－lg|x|的图象可知选D.
[答案] D
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0
对数函数图象的应用
[例2] (2017·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0
则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1
因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，
因为10x2－10x1<0，
所以lg(x1x2)<0，
即0
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2
2．[考点一]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象可能是( )
解析：选D 当a>1时，函数f(x)＝xa(x≥0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0
A．a>1，c>1
B．a>1,01
D．0
4．[考点二]当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2
当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1
突破点(三) 对数函数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
对数函数的性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当00
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的定义域
[例1] 函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
[解析] 由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
[答案] C
比较对数式的大小
[例2] 已知a＝log，b＝log，c＝log2，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
[解析] ∵a＝log>1,0b>c.
[答案] A
[方法技巧]
比较对数式大小的三种方法
(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．
(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．
简单对数不等式的求解
[例3] 已知不等式logx(2x2＋1)
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对数函数的综合问题
[例4] 函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
[解析] 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.
[答案] D
[方法技巧]
与对数有关的单调性问题的解题策略
(1)求出函数的定义域．
(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
解析：选D 由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1，即
A．a＝bc
C．ab>c
解析：选B 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
3．[考点四]若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
4．[考点四]设函数f(x)＝|logax|(0
C. D.或
解析：选C 作出y＝|logax|(0
解析：由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国乙卷)若a>b>1,0bc，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a>b>1,0bac，选项B不正确．∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，∴>.又∵0logbc，选项D不正确．
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：选D a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象(图略)，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
3．(2012·新课标全国卷)当0
C．(1，) D．(，2)
解析：选B ∵04x>1，∴0
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
解析：选C 依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.
2．(2017·天津模拟)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
A．5 B．3 C．－1 D.
解析：选A 由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.
4．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：选A 当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求．
5.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.
解析：由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12.
答案：12
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
解析：选B 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.
2．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
解析：选B 因为b＞a＞0，故＞.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，即p＝r＜q.
3．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D ∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)·(b－a)＞0.综上可知，选D.
4．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
解析：选B 因为lg a＋lg b＝0，所以lg ab＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.
5.(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝loga2x＋b－1(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)
解析：选A 由已知得0f(2)．
二、填空题
7．lg＋lg＋20＋52×＝________.
解析：原式＝lg＋1＋5×5＝＋5＝.
答案：
8．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________．
解析：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.
答案：108
9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
10．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，
解得－
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义．
则解得－1
(2)f(x)为奇函数．
证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔>1，解得0
第七节
函数的图象及其应用
本节主要包括2个知识点：
1.函数的图象；2.函数图象的应用问题.
突破点(一) 函数的图象
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.利用描点法画函数图象的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
f(ωx)．
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例1] 作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图中实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．
(3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
(4)因为y＝且函数为偶函数，
先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．
[方法技巧] 函数图象的画法
函数图象的识别
[例2] (1)(2016·广西第一次质量检测)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[解析] (1)易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.且当01时，y>0，故选B.
(2)法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝＝4－x
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.
法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－∈(2,3)，故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路
(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二](2016·滨州模拟)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
解析：选A 函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，又当x→π时，y＝→0，故选A.
2．[考点二]函数f(x)＝ln的图象是( )
解析：选B 自变量x满足x－＝>0，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得－1
解析：选B 由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x<0时，2x<1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.
4．[考点二]如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
解析：选C 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
5．[考点一]作下列函数的图象：
(1)y＝＋1；
(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；
(3)y＝|x－1|，x∈R.
解：(1)可先作出函数y＝的图象，然后将y＝的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到函数y＝＋1的图象，如图(1)所示．
(2)用描点法作出函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]的图象，如图(2)所示．
(3)可先作出y＝x－1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变可得y＝|x－1|的图象．如图(3)中实线部分所示．
突破点(二) 函数图象的应用问题
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用函数图象研究函数的性质
[例1] 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值符号得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
[方法技巧]
利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)由图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)由图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)由图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
利用函数图象解决方程根的问题
[例2] 已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．
[解析] 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x) 的图象，由图象知直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．
[答案] 5
[方法技巧]
利用函数的图象解决方程根问题的思路
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
利用函数图象解不等式
[例3] (1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．
(2)设函数f(x)＝ax＋cos x，x∈[0，π]．设f(x)≤1＋sin x，则a的取值范围为________．
[解析] (1)在上y＝cos x>0，
在上y＝cos x<0.
由f(x)的图象知在上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为∪.
(2)由f(x)≤1＋sin x，
得ax＋cos x≤1＋sin x，
即ax≤sin＋1，构造函数g1(x)＝ax，g2(x)
＝sin＋1，
如图所示，
若使ax≤sin＋1恒成立，
则函数g1(x)＝ax的图象总在函数g2(x)＝sin＋1的图象的下方．
因为x∈[0，π]，A(π，2)，kOA＝，
所以a的取值范围为.
[答案] (1)∪ (2)
[方法技巧]
利用函数图象求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
由y＝lg xy＝lg(x＋1)
y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．
2．[考点三]设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
3．[考点二]已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
4．[考点二]直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
解析：y＝作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1
5．[考点三]设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：选D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，
则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B 当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈时，
f＝f＝1＋，f＝2.
∵2<1＋，
∴f
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C 设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，
则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，
所以有－x＝2－y＋a，
从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，
所以y＝a－log2(－x)，
即f(x)＝a－log2(－x)，
所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，
解得a＝2.故选C.
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，
当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；
当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，
故选B.
5．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B 函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图象为B.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选A 因为f(x)＝，所以f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，排除选项C，D；当00，所以当00，排除选项B，故选A.
2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
解析：选B 由y＝f(x)的图象知，f(x)＝当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝故y＝－f(2－x)＝
3．若变量x，y满足|x|－ln＝0，则y关于x的函数图象大致是( )
解析：选B 由|x|－ln＝0，得y＝＝利用指数函数图象可知选B.
4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )
解析：选D 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如D选项所示．
5.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f＝________.
解析：∵由图象知f(3)＝1，∴＝1.∴f＝f(1)＝2.
答案：2
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
2．下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
解析：选D 因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
3．函数y＝的图象大致是( )
解析：选C 由题意得，x≠0，排除A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，∴>0，排除B；又∵x→＋∞时，→0，∴排除D，故选C.
4.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0.令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a<0.故选C.
5．(2017·绵阳模拟)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则ab＝( )
A．24 B．15 C．6 D．4
解析：选A 由图象知，f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m>0)，其中1
6.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为s＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
解析：选A 当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，QC＝8－2t，则s＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4≤t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，QC＝2t－8，则s＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6≤t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则s＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)·(14－t)×＝(t－4)·(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.
二、填空题
7．(2017·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．
解析：由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3,1)．
答案：(3,1)
8．(2017·银川调研)给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
解析：设g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，则f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的图象向上平移4个单位长度，可得f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
答案：(4,5)
9．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．
解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)∵f(4)＝0，
∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|＝
f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f(x)＝a只有一个实数根，所以a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
12．设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)的对称图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，求b的值，并求出交点的坐标．
解：(1)设曲线C2上的任意一点为P(x，y)，则P关于A(2，1)的对称点P′(4－x,2－y)在C1上，
所以2－y＝4－x＋，
即y＝x－2＋＝，
所以g(x)＝(x≠4)．
(2)由＝b，得(x－3)2＝b(x－4)(x≠4)．
所以x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0(x≠4)(*)有唯一实根．
由Δ＝[－(b＋6)]2－4(4b＋9)＝b2－4b＝0，
得b＝0或b＝4，
把b＝0代入(*)式得x＝3，所以g(3)＝＝0；
把b＝4代入(*)式得x＝5，所以g(5)＝＝4，
所以当b＝0或b＝4时，直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．
第八节
函数与方程
本节主要包括2个知识点：
1.函数的零点问题；
2.函数零点的应用问题.
突破点(一) 函数的零点问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
2
1
0
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数零点所在区间的判断
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
[例1] (1)(2016·赣中南五校联考)在下列区间中，函数f(x)＝x2－3x－18有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,8]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
(2)(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] (1)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0，得x＝6∈[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
(2)∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－0<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴x0∈(2,3)，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[易错提醒]
函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．
函数零点个数的判断
判断函数零点个数的方法
直接法
直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法
零点存在性定理：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法
利用图象交点的个数：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法
利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
[例2] (1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] (1)法一：由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
[答案] (1)B (2)C
[易错提醒]
(1)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
解析：选D ∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
2．[考点一]设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．[考点二]设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C 由f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在区间内有唯一的零点，∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．
4．[考点二]已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．
解析：依题意得由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
答案：3
突破点(二) 函数零点的应用问题
由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
由函数零点存在情况或个数求参数的范围
[例1] (1)(2017·昆明模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，－1)∪
C.
D．(－∞，－1)
(2)(2017·南昌十校联考)若函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0.函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，又因为f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，所以f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(a＋1)<0，解得a<－1或a>，故选B.
(2)当－1
从而f(x)＝－1＝－1，
于是f(x)＝
f(x)－mx－2m＝0⇔f(x)＝m(x＋2)，由图象可知0
[方法技巧]
已知函数零点求参数的范围的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
利用函数零点比较大小
[例2] 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
[解析] f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象可知a<0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象知b>0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.
[答案] B
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选C 由题意知，f(－1)·f(1)<0，
即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.
2．[考点一]函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 函数f(x)在上是单调函数，又f＝3>0，则根据零点存在性定理，应满足f(1)＝4a＋3<0，解得a<－.
3．[考点二]已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0
解析：选C 在同一坐标系下作出函数f(x)＝x，f(x)＝－的图象(图略)，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，x>－；当x∈(x0,0)时，x<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0.
4．[考点一](2017·安庆模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，则k的取值范围是( )
A. B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪
解析：选D 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，即f(x)＝k只有一个解，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈(－∞，0)∪，故选D.
5．[考点一]已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析：关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．
答案：(－1,0)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 由题意知f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0；
x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，
则f(x)的大致图象如图(1)所示．不符合题意，排除A、C.
图(1)
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，
则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，
f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，
则f(x)的大致图象如图(2)所示．不符合题意，排除D.
图(2)
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
2．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
3．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
解析：选C 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．
4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.
5．(2016·天津六校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
解析：依题意知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )
A．(0,1) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
解析：选D 令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内．
2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C 在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，由图象可知，当0
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.
4．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知条件得g(x)＝3－f(2－x)
＝分别画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的草图，观察发现有2个交点．故选A.
5．(2016·山西四校联考)函数f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 函数f(x)＝的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得当函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根时，有a<1，故选C.
6．(2017·湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( )
A．14 B．12
C．10 D．8
解析：选A 由题图可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1；由题图2知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0时，x的值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0.由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－各有2个；f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.由此可得m＋n＝14.故选A.
二、填空题
7．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：要求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，∴或解得x＝1＋或x＝1.∴g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
8．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
9．(2016·湖北优质高中联考)函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：题设可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.
答案：10
10．已知01或k<0时，没有交点，故当0
三、解答题
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，
∴f(2)≤0.
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m≤－.而当m＝－时，f(x)＝0在[0,2]上有两解和2，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，
则∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1
第九节
函数模型及应用
本节主要包括2个知识点：
1.基本初等函数模型；2.两类特殊函数的模型.
突破点(一) 基本初等函数模型
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种基本初等函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
二次函数模型
[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解] 设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不能获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
[易错提醒]
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
指数函数、对数函数模型
[例2] (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5
[解析] (1)由已知条件得，192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
(2)当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝＝2×105，∴PA＝lg nA＝lg 2＋5.
又∵lg 2≈0.3，∴5
[方法技巧]
两种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
解析：选A 隔墙的长为x(0
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
解析：选A 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
3．[考点二]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.
解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s)．
答案：10 15
4．[考点二]调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
答案：4
5．[考点一]A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2
＝x2－500x＋25 000
＝2＋，
所以当x＝时，ymin＝.
故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
突破点(二) 两类特殊函数的模型
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．“y＝x＋”型函数模型
(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
2．分段函数模型
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数y＝x＋(a>0)模型
[例1] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.
分段函数模型
[例2] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设旅行团人数为x人，由题得0
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为单调增函数，
故当x＝30时，S取最大值12 000元，
又x∈(30,75]时，S＝－10(x－60)2＋21 000，此时当x＝60时，取得最大值21 000.
故每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．
2．[考点一]某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C(0)＝＝4，∴k＝1 000，
∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，
当0.2(x＋5)＝，即x＝15时，ymin＝7，
故当x为15平方米时，y取得最小值7万元.
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
A．800米 B．900米 C．1 000米 D．1 200米
解析：选A 设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当x＝，即x＝200时取等号．
4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选C 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.
5．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
解析：选B 选项B中，Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为( )
A．5 B．8 C．9 D．10
解析：选A ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，
所以f(t)＝a·，
设k min后甲桶中的水只有L，
则f(k)＝a·＝，
所以＝，
解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．故选A.
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
解析：选A 依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.
5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：选B 设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
解析：选C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2＋0.1×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－a2＋a2.∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
答案：a2
9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.
答案：
10．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．
答案：3 300
三、解答题
11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计
息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解：设该店月利润余额为L元，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20
(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节
函数及其表示
本节主要包括3个知识点：
1.函数的定义域； 2.函数的表示方法；3.分段函数.
突破点(一) 函数的定义域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
[例1] y＝ －log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
[解析] 要使函数有意义，必须
∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
[答案] C
[易错提醒]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
求抽象函数的定义域
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
[例2] 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[解析] 由题意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．
[答案] [0,1)
[易错提醒]
函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．
已知函数定义域求参数
[例3] (2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析] 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0
[答案] D
[方法技巧]
已知函数定义域求参数的思想方法
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．[考点一]函数y＝ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
解析：选B 由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：选D 由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函数的定义域为∪.故选D.
3．[考点一]函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
解析：由题意得解得即0
4．[考点二]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，∴x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．[考点三]若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以解得所以a＋b＝－－3＝－.
答案：－
突破点(二) 函数的表示方法
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2．应用三种方法表示函数的注意事项
(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．
3．函数的三种表示方法的优缺点
优点
缺点
解析法
简明扼要，规范准确
(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；
(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂
列表法
能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系
只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌
图象法
形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质
作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的解析式
求函数解析式的四种方法
[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)(2017·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．
[解析] (1)设该函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
(2)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(3)用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．
[答案] (1)A (2)－x(x＋1) (3)f(x)＝x－＋(x≠0)
[易错提醒]
在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f－1，则f(x)＝________.
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，将f＝2f(x)－1代入f(x)＝2f－1中，求得f(x)＝＋(x>0)．
答案：＋(x>0)
2．函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：由题意知
解得f(x)＝2x.
答案：2x
3．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
5．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
突破点(三) 分段函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
分段函数求值
[例1] (1)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B.
C. D.
(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝则f(1＋log25)的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f＝1－ ＝，故选C.
(2)因为2
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
求参数或自变量的值或范围
[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(4)＝2f(a)，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．2
C．－1 D．－2
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
[解析] (1)f(4)＝log24＝2，因而2f(a)＝2，即f(a)＝1，当a>0时，f(a)＝log2a＝1，因而a＝2，当a≤0时，f(a)＝a2＝1，因而a＝－1，故选A.
(2)当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.
[答案] (1)A (2)(－∞，8]
[方法技巧]
求分段函数自变量的值或范围的方法
求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选C 由题意得f(－1)＝1－2－1＝，则f(f(－1))＝f＝2＝.
2．[考点一]已知f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B f＝f＋1＝sin＋1＝－.
3．[考点一]已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，
解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
则f(x)＝
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
4．[考点二]设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
5．[考点二]已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．
解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.
答案：－1或1
6．[考点二]已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选C ∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A 由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.综上所述，f(6－a)＝－.
4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：选D y＝|f(x)|的图象如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
2．若函数f(x＋1)的定义域为[0,1]，则f(2x－2)的定义域为( )
A．[0,1] B．[log23,2]
C．[1，log23] D．[1,2]
解析：选B ∵f(x＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.∵f(x＋1)与f(2x－2)是同一个对应关系f，∴2x－2与x＋1的取值范围相同，即1≤2x－2≤2，也就是3≤2x≤4，解得log23≤x≤2.∴函数f(2x－2)的定义域为[log23,2]．
3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
4．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
5．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________.
解析：f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
解析：选D 要使函数f(x)有意义，则x须满足即
解得1
A．1 B．2 C．3 D．－2
解析：选C f＝－cos＝cos＝；f＝f＋1＝f＋2＝－cos＋2＝＋2＝.故f＋f＝3.
3．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
解析：选A 令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得f(1)＝2.
4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(a，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：选D 因为组装第a件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4
5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
6．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
二、填空题
7．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1 001)＝，已知f(15)＝1，则f(2 017)＝________.
解析：根据题意，f(2 017)＝f(1 016＋1 001)＝，f(1 016)＝f(15＋1 001)＝，而f(15)＝1，所以f(1 016)＝＝1，则f(2 017)＝＝＝1.
答案：1
8．(2017· 绵阳诊断)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意，舍去．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a的值为－.
答案：－
9．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.
解析：由f＋f＝2，得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，又f＝＝×2＝1，∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7
10．定义函数f(x)＝则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．
解析：①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)·f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案：{x|x<－3或x>1}
三、解答题
11．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.所以f(x)＝
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．
第二节
函数的单调性与最值
本节主要包括2个知识点：
1.函数的单调性；2.函数的最值.
突破点(一) 函数的单调性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
判断函数的单调性
1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
2．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
(2)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
[解析] (1)当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
(2)设t＝x2－2x－3，由t≥0，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
[答案] (1)C (2)B
[易错提醒]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
函数单调性的应用
应用(一) 比较函数值或自变量的大小
[例2] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[解析] 由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<
[答案] D
应用(二) 解函数不等式
[例3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8
[方法技巧]
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)
应用(三) 求参数的取值范围
[例4] (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上所述得－≤a≤0.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
[答案] (1)D (2)D
[易错提醒]
(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．
2．[考点二·应用(一)]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln π)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：选C 由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0
3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
解析：由题意，y＝f(x)为奇函数且f＝0，
所以f＝－f＝0，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
于是或
即或解得0
4．[考点二·应用(三)]已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，∴解得≤a＜2，∴a的取值范围是.
答案：
5．[考点一]用定义法讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性．
解：函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1
若0
同理可得，f(x)在[，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ ]上单调递增，在[－，0)上单调递减．故函数f(x)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
突破点(二) 函数的最值
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的最值(值域)
1．利用函数的单调性求解函数最值的步骤
(1)判断或证明函数的单调性；
(2)计算端点处的函数值；
(3)确定最大值和最小值．
2．分段函数的最值
由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
[典例] (1)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)函数y＝的值域为________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析] (1)法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又∵t≥0，∴y≥＋＝1.
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x＝1时y取最小值，即ymin＝1.
(2)y＝＝＝2＋＝2＋.
∵2＋≥，∴2<2＋≤2＋＝.故函数的值域为.
(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
[答案] (1)1 (2) (3)2
[方法技巧] 求函数最值的五种常用方法
方法
步骤
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 016 B．2 018 C．4 032 D．4 034
解析：选D 由题意得f(x)＝＝2 018－.∵y＝2 018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2 018－在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 036－－＝4 034.
2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1
解析：∵y＝x和y＝－log2(x＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
4．(2017·益阳模拟)已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
解析：∵≤f(x)≤，∴≤≤.令t＝，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为.
答案：
5．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：依题意，h(x)＝当0
答案：1
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：选A ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔
解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，
∴点(－5,0)，(－3,0)必在f(x)的图象上．
∴
即解得
∴f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)
＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)
＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)
令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，
则y＝－(t＋3)(t－5)
＝－(t2－2t－15)
＝－(t－1)2＋16.
故当t＝1时，f(x)max＝16.
答案：16
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析：选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
解析：选C 二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B y＝|x|(1－x)＝
＝
画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在上单调递增，故选B.
4．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．
解析：因为f(x)＝在[－6，－2]上是减函数，故当x＝－6时，f(x)取最大值－.当x＝－2时，f(x)取最小值－.
答案：－ －
5．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
解析：要使函数f(x)的值域为R，需使
∴∴－1≤a<，即a的取值范围是.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：选B ①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<<1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选B 令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增，即该函数的单调递增区间为.
4．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选C 当x＝1时，loga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立，
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有
即解得≤a＜.
此时，logax是减函数，符合题意．
5．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)
6．(2017·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D ∵f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0
7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－3
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝
函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
9．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.
答案：2－3
10．(2017·豫南名校联考)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象的草图如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a<2a－x，即x<在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1<，即a<－2.
答案：(－∞，－2)
三、解答题
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1
12．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0
第三节
函数的奇偶性及周期性
本节主要包括3个知识点：
1.函数的奇偶性； 2.函数的周期性；
3.函数性质的综合问题.
突破点(一) 函数的奇偶性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
2.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xlg(x＋)；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝.
[解] (1)∵>|x|≥0，
∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)
＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，
由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
(4)∵解得－2≤x≤2且x≠0，
∴函数的定义域关于原点对称，
∴f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
[方法技巧]
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．
函数奇偶性的应用
[例2] (1)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
[解析] (1)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－F(a)＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
(2)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，结合偶函数图象的特点(图略)，易得b＝0.
[答案] (1)B (2) 0
[方法技巧]
利用奇偶性求值的类型及方法
(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝x2＋cos x
答案：D
2．[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝2x＋ D．f(x)＝x＋ex
解析：选D A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
3．[考点二]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析：选B 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝.
4．[考点二]设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)＝为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，∴a＝－1.
答案：－1
5．[考点二]已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
突破点(二) 函数的周期性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用函数的周期性求值或范围
周期函数y＝f(x)满足：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 016(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝________.
[解析] (1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，
∴f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
所以f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 017)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝1 009.
[答案] (1)C (2)1 009
[方法技巧]
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f＝( )
A．0 B．1 C. D．－1
解析：选D 因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.
2．(2017·沈阳模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.
3．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f得－＋a＝，解得a＝.
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
4．若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x＋2 017)＝－f(x＋2 018)，且f(2 018)＝－2 017，则f(－1)＝________.
解析：由f(x＋2 017)＝－f(x＋2 018)，得f(x＋2 017)＝－f(x＋2 017＋1)，令x＋2 017＝t，即f(t＋1)＝－f(t)，所以f(t＋2)＝f(t)，即函数f(x)的周期是2.令x＝0，得f(2 017)＝－f(2 018)＝2 017，即f(2 017)＝2 017，又f(2 017)＝f(1)＝f(－1)，所以f(－1)＝2 017.
答案：2 017
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值．
解：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)
＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1×＝336.
而f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝1＋2＝3.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.
突破点(三) 函数性质的综合问题
1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．
2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
考点
贯通
抓高考命题的“形”与“神”
奇偶性与单调性的综合问题
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
[例1] 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
[解] ∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
即1－m>m2－1，解得－2
即实数m的取值范围是[－1,1)．
[易错提醒]
解决本题要注意函数的定义域为[－2,2]，即1－m∈[－2,2]且1－m2∈[－2,2]．
奇偶性与周期性的综合问题
[例2] 已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝( )
A.＋1 B.－1 C．－－1 D．－＋1
[解析] 由题可知f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，则f＝－f＝－＋1.
[答案] D
[方法技巧]
奇偶性与周期性综合问题的解题策略
函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
奇偶性、周期性、单调性的综合问题
[例3] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[解析] ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
[答案] D
[方法技巧]
函数三大性质综合问题的解题策略
解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用函数在已知区间上的奇偶性和单调性求解．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ln x2
C．y＝ D．y＝－x2
解析：选D 由函数的奇偶性排除A、C，由函数的单调性排除B，由y＝－x2的图象可知当x>0时此函数为减函数，又该函数为偶函数，故选D.
2．[考点二](2017·广州联考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．2 B．－2 C．－98 D．98
解析：选B 因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
3．[考点一]已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)＝x4，且f(x＋t)≤4f(x)在x∈[1,16]时恒成立，则实数t的最大值是( )
A.－1 B．16(－1)
C.＋1 D．16(＋1)
解析：选A ∵f(x)在x>0时满足f(x)＝x4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在R上单调递增，而f(x＋t)≤4f(x)(x∈[1,16])等价于f(x＋t)≤f(x)(x∈[1,16])，即当x∈[1,16]时，x＋t≤x恒成立，即t≤(－1)x，x∈[1,16]，∴只需t≤－1，故t的最大值为－1.故选A.
4．[考点三]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
解析：选A 由题意知f(x＋2)＝＝f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[0,1]上是增函数，所以f(x)在[2,3]上是增函数．
5．[考点二]已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝，∴＜1，即＜0，解得－1＜a＜4.
答案：(－1,4)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析：由题可知，当－2
5．(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋，观察函数g(x)＝，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.
答案：2
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2016·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝ex
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x
解析：选D 对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ex－e－x为奇函数，故选D.
3．(2017·江南十校联考)设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：选D 因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，D错误，故选D.
4．奇函数f(x)的周期为4，且x∈[0,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝ln |x|
解析：选B A项，“是偶函数”与“在(0，＋∞)上单调递增”均不满足，故A错误；B项，均满足，B正确；C项，不满足“是偶函数”，故C错误；D项，不满足“在(0，＋∞)上单调递增”．故选B.
2．(2017·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A 设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
解析：选A ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故选A.
4．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选C 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.
5．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D 由题意知当x＞时，f＝f，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.
6．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 B．－4
C．－8 D．－16
解析：选B 由题可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.
二、填空题
7．(2017·揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f＋lg 18＝________.
解析：由函数f(x)是周期为2的奇函数得f＝f＝f＝－f，
又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，
所以f＝－f＝－lg＝lg，
故f＋lg 18＝lg＋lg 18＝lg 10＝1.
答案：1
8．函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x ①，
用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，
因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
所以－h(x)＋g(x)＝e－x－x ②.
由(①＋②)÷2得g(x)＝，
所以g(0)＝＝1.
答案：1
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：
∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)
∴0<|x－1|<16，
解得－15
第四节
本节主要包括2个知识点：
1.幂函数；
2.二次函数.
二次函数与幂函数
突破点(一) 幂函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象
3．五种幂函数的性质
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
幂函数的图象
[例1] 幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
[解析] 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x，则f(x)的图象如选项C中所示．
[答案] C
[方法技巧]
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．
幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象过定点(1,1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
[例2] (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
(2)若(a＋1)<(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.
(2)不等式(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
[方法技巧]
幂值大小比较的常见类型及解题策略
(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较．
(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较．
(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．3
解析：选B ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m2＋m－3>0，∴m＝2.
2．[考点一]图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是( )
A．－1，，3 B．－1,3，
C.，－1,3 D.，3，－1
解析：选A 根据幂函数图象的规律知，选A.
3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
4．[考点二]若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.
答案：
突破点(二) 二次函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝.
2．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增，在上单调递减
最值
当x＝－时，ymin＝
当x＝－时，ymax＝
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求二次函数的解析式
[例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧]
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
二次函数的图象
确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：
从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
[例2] 下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－ C. D．－或
[解析] ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故f(－1)＝－或.
[答案] D
二次函数的图象与性质的应用
考法(一) 二次函数的单调性
[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
[解] (1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
所以实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．
[方法技巧]
研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆A⊆－，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
考法(二) 二次函数的最值
二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
m
最值
f(x)max＝f(m)，
f(x)min＝f(n)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(n)，
f(x)min＝f(m)
[例4] 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
[解] 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，
∴a＝(舍去)．
当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
[易错提醒]
研究二次函数的性质时要注意二次项系数a的正负及图象对称轴的位置．求最值时，也可考虑先用导数法确定单调性再根据极值与最值关系求解．
考法(三) 二次函数中的恒成立问题
[例5] 已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
[解] ∵f(x)的对称轴方程为x＝a，且f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.
又a≥2，∴2≤a≤3.
故实数a的取值范围是[2,3]．
[方法技巧]
由不等式恒成立求参数的解题思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
解析：选D 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c<0，所以排除B.
2．[考点三·考法(一)]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B．13 C．7 D．5
解析：选B 函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，∵图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝.∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
答案：f(x)＝x2－2x＋1
4．[考点三·考法(二)]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
当－2
即ymin＝a2－2a；
当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，
即ymin＝－1.
综上，g(a)＝
5．[考点三·考法(三)]已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
解：由题可知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当a＝0时，适合；
当a≠0时，x＝0时，有－3<0恒成立；
x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当＝1，即x＝1时，不等式右边取最小值，
所以a<，且a≠0.
综上，实数a的取值范围是.
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 由f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为f(x)＝xα为奇函数，所以α只能取－1.
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A ∵0<<<1，指数函数y＝x在R上单调递减，故<.又由于幂函数y＝x在R上单调递增，故>，∴<<，即b
解析：选D ∵函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，∴－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根，由根与系数的关系可得－2＋1＝，－2×1＝－，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2.∴函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标为(－1,0)和(2,0)．故选D.
4．二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0,3)，所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
答案：y＝x2－2x＋3
5．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．
解析：只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.
答案：(－∞，－3]
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：选B 由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1或m＝2.
2．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．不存在
解析：选B 依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取最大值为4.
3．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是( )
A．f(m)
解析：选A 因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)
A．[－2,2] B．(－2,2] C．[－4,2] D．[－4,4]
解析：选A 由f(x)＝x2＋2|x|，f(2)＝8知，f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得a∈[－2,2]．
5．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝( )
A．56 B．112 C．0 D．38
解析：选B 由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.
6．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：选C 由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0,2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴
解得∴3＜a＜5.
答案：(3,5)
8．已知点P1(x1,2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．
解析：依题意得x1＋x2＝－，则f(x1＋x2)＝f＝a2＋b＋9＝9.
答案：9
9．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为________．
解析：方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x＋a－＝0，也即方程a＝－x在区间[1,5]上有根，而函数y＝－x在区间[1,5]上是减函数，所以－≤y≤1，则－≤a≤1.
答案：
10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．
答案：
三、解答题
11．(2017·杭州模拟)已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数．
(1)求m的值；
(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．
解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，
∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5.
又h(x)为奇函数，∴m＝0.
(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，
令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]，
∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．
第五节
本节主要包括3个知识点：
1.指数幂的运算； 2.指数函数的图象及应用；
3.指数函数的性质及应用.
指数与指数函数
突破点(一) 指数幂的运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数指数幂的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
指数幂的运算
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[典例] 化简下列各式：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷；
(3).
[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(2ab－)
＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝
＝a·b＝.
[易错提醒]
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a写成a时必须认真考查a的取值才能决定，如(－1) ＝＝1，而(－1) ＝无意义．
(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0＝________.
解析：原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
2.÷ ＝________.
解析：原式＝(aa)÷(aa)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1.
答案：1
3.÷×＝________.
解析：原式＝÷×＝a (a－2b)××＝a×a×a＝a2.
答案：a2
4．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x×2－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
5．若x＋x－＝3，则的值为________．
解析：由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x－＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18，所以原式＝＝.
答案：
突破点(二) 指数函数的图象及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
图象
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
与指数函数有关的函数图象辨析
与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
[例1] 函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
[解析] 当a>1时函数单调递增，且函数图象过点，因为0<1－<1，故A，B均不正确；当0
指数函数图象的应用
一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[例2] (1)已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
[解析] (1)函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由a＝b得，a
(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．
[答案] (1)B (2)(0,1)
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
解析：选A ∵f(x)＝21－x＝2·2－x.∴f(x)在R上为减函数，排除C、D；又f(0)＝21＝2>1，排除B，故选A.
2．[考点一]函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
3.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0
D．0
解析：令x－1＝0，则x＝1，f(1)＝5，即P点坐标是(1,5)．
答案：(1,5)
5．[考点二]若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0
∴0
答案：
突破点(三) 指数函数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，0
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
比较指数式的大小
[例1] (2016·全国丙卷)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b
由函数y＝2x在R上为增函数知，b
由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a
[方法技巧]
比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．
解简单的指数方程或不等式
[例2] (1)(2017·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
[解析] (1)当a<1时，41－a＝21，∴a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)∵f(x)为偶函数，
当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
当f(x－2)＞0时，有或
解得x＞4或x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
[答案] (1) (2){x|x>4或x<0}
[方法技巧]
解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0
与指数函数有关的复合函数问题
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y＝af(x)的值域．
2．与指数函数有关的复合函数的单调性
利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．
(2)若0
一般通过换元法转化为二次函数的问题解决，换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．
[例3] 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝ax2－4x＋3.
由指数函数的性质知，
要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数单调区间的求解步骤
(1)求复合函数的定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；
(3)分层逐一求解函数的单调性；
(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．c
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B 令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
3．[考点三]已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．
解析：函数y＝2是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2在区间上单调递增，在区间上单调递减．又因为函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6.
答案：[6，＋∞)
4．[考点二]不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∵函数y＝2x在R上为增函数，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2，即不等式的解集为{x|－1
5．[考点三](2017·江苏南通调研)函数f(x)＝的值域为________．
解析：令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数y＝x的图象可得0
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
解析：选B 根据各选项知，选项B、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以B正确．
2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
解析：选B f(x)＝易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选B.
3．(2017·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B 由f(1)＝得a2＝，又a>0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
5．求值：(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋(0.01)＝________.
解析：原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A 由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
2.已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝( )
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析：选D 由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝x，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，故选D.
3．设f(x)＝|3x－1|，c
A．3c>3a B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
解析：选D 画出f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示，要使c
4．已知函数f(x)＝ex，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，则下列关于f(x)的性质：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，②y＝f(x)不存在反函数，③f(x1)＋f(x2)<2f，④方程f(x)＝x2在(0，＋∞)上没有实数根，其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
解析：选B 因为e>1，所以f(x)＝ex为定义域内的增函数，故①正确；函数f(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x>0)，故②错误；f(x1)＋f(x2)＝ex1＋ex2>2＝2＝2f，故③错误；作出函数f(x)＝ex和y＝x2的图象(图略)可知，两函数图象在(0，＋∞)内无交点，故④正确．结合选项可知，选B.
5．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C 当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以函数y＝x是减函数，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．
6．(2016·河南许昌四校第三次联考)已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[4，＋∞) D.∪(1,4]
解析：选B 当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，即ax>x2－在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，由图象知：当0
7．已知函数f(x)＝，若f(a)＝－，则f(－a)＝________.
解析：∵f(x)＝，f(a)＝－，∴＝－.∴f(－a)＝＝－＝－＝.
答案：
8．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.
又∵a>1，∴a＝.
当0
答案：
9．(2017·安徽十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
解析：由于f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x<1时，f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案：e
10．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
解析：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a
答案：(－1，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
所以只需m≤即可．即m的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
第六节
本节主要包括3个知识点：
1.对数的运算； 2.对数函数的图象及应用；
3.对数函数的性质及应用.
对数与对数函数
突破点(一) 对数的运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
对数的概念、性质及运算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
重要公式
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
对数的运算
[典例] 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
(3)原式＝·＝·
＝·＝.
[方法技巧]
解决对数运算问题的四种常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.＋log2＝( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选B ＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B.
2.lg 25＋lg 2－lg－log29×log32的值是________．
解析：原式＝lg 5＋lg 2＋－2＝1＋－2＝－.
答案：－
3.lg－lg＋lg＝________.
解析：原式＝(5lg 2－2lg 7)－××3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝(lg 2＋lg 5)＝.
答案：
4．已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．
解析：∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
答案：2
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析：∵2a＝5b＝m>0，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
答案：
突破点(二) 对数函数的图象及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．对数函数的图象
函数
y＝logax，a>1
y＝logax,0
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
对数函数图象辨析
[例1] 函数f(x)＝lg的大致图象为( )
[解析] f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．
由y＝－lg|x|的图象可知选D.
[答案] D
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0
对数函数图象的应用
[例2] (2017·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0
则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1
因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，
因为10x2－10x1<0，
所以lg(x1x2)<0，
即0
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2
2．[考点一]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象可能是( )
解析：选D 当a>1时，函数f(x)＝xa(x≥0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0
A．a>1，c>1
B．a>1,0
D．0
4．[考点二]当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2
当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1
突破点(三) 对数函数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
对数函数的性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当0
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求函数的定义域
[例1] 函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
[解析] 由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
[答案] C
比较对数式的大小
[例2] 已知a＝log，b＝log，c＝log2，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
[解析] ∵a＝log>1,0
[答案] A
[方法技巧]
比较对数式大小的三种方法
(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．
(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．
简单对数不等式的求解
[例3] 已知不等式logx(2x2＋1)
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对数函数的综合问题
[例4] 函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
[解析] 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.
[答案] D
[方法技巧]
与对数有关的单调性问题的解题策略
(1)求出函数的定义域．
(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
解析：选D 由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1，即
A．a＝b
C．a
解析：选B 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32
3．[考点四]若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
4．[考点四]设函数f(x)＝|logax|(0
C. D.或
解析：选C 作出y＝|logax|(0
解析：由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国乙卷)若a>b>1,0
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：选D a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象(图略)，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
3．(2012·新课标全国卷)当0
C．(1，) D．(，2)
解析：选B ∵0
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
解析：选C 依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.
2．(2017·天津模拟)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
A．5 B．3 C．－1 D.
解析：选A 由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.
4．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：选A 当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求．
5.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.
解析：由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12.
答案：12
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
解析：选B 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.
2．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
解析：选B 因为b＞a＞0，故＞.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，即p＝r＜q.
3．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D ∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)·(b－a)＞0.综上可知，选D.
4．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
解析：选B 因为lg a＋lg b＝0，所以lg ab＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.
5.(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝loga2x＋b－1(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)
解析：选A 由已知得0
二、填空题
7．lg＋lg＋20＋52×＝________.
解析：原式＝lg＋1＋5×5＝＋5＝.
答案：
8．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________．
解析：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.
答案：108
9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
10．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，
解得－
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义．
则解得－1
(2)f(x)为奇函数．
证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔>1，解得0
第七节
函数的图象及其应用
本节主要包括2个知识点：
1.函数的图象；2.函数图象的应用问题.
突破点(一) 函数的图象
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.利用描点法画函数图象的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
f(ωx)．
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例1] 作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图中实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．
(3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
(4)因为y＝且函数为偶函数，
先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．
[方法技巧] 函数图象的画法
函数图象的识别
[例2] (1)(2016·广西第一次质量检测)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[解析] (1)易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.且当0
(2)法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝＝4－x
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.
法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－∈(2,3)，故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路
(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二](2016·滨州模拟)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
解析：选A 函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，又当x→π时，y＝→0，故选A.
2．[考点二]函数f(x)＝ln的图象是( )
解析：选B 自变量x满足x－＝>0，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得－1
解析：选B 由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x<0时，2x<1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.
4．[考点二]如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
解析：选C 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
5．[考点一]作下列函数的图象：
(1)y＝＋1；
(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；
(3)y＝|x－1|，x∈R.
解：(1)可先作出函数y＝的图象，然后将y＝的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到函数y＝＋1的图象，如图(1)所示．
(2)用描点法作出函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]的图象，如图(2)所示．
(3)可先作出y＝x－1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变可得y＝|x－1|的图象．如图(3)中实线部分所示．
突破点(二) 函数图象的应用问题
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用函数图象研究函数的性质
[例1] 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值符号得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
[方法技巧]
利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)由图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)由图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)由图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
利用函数图象解决方程根的问题
[例2] 已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．
[解析] 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x) 的图象，由图象知直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．
[答案] 5
[方法技巧]
利用函数的图象解决方程根问题的思路
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
利用函数图象解不等式
[例3] (1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．
(2)设函数f(x)＝ax＋cos x，x∈[0，π]．设f(x)≤1＋sin x，则a的取值范围为________．
[解析] (1)在上y＝cos x>0，
在上y＝cos x<0.
由f(x)的图象知在上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为∪.
(2)由f(x)≤1＋sin x，
得ax＋cos x≤1＋sin x，
即ax≤sin＋1，构造函数g1(x)＝ax，g2(x)
＝sin＋1，
如图所示，
若使ax≤sin＋1恒成立，
则函数g1(x)＝ax的图象总在函数g2(x)＝sin＋1的图象的下方．
因为x∈[0，π]，A(π，2)，kOA＝，
所以a的取值范围为.
[答案] (1)∪ (2)
[方法技巧]
利用函数图象求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
由y＝lg xy＝lg(x＋1)
y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．
2．[考点三]设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
3．[考点二]已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
4．[考点二]直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
解析：y＝作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1
5．[考点三]设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：选D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，
则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B 当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈时，
f＝f＝1＋，f＝2.
∵2<1＋，
∴f
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C 设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，
则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，
所以有－x＝2－y＋a，
从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，
所以y＝a－log2(－x)，
即f(x)＝a－log2(－x)，
所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，
解得a＝2.故选C.
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，
当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；
当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，
故选B.
5．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B 函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图象为B.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选A 因为f(x)＝，所以f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，排除选项C，D；当0
2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
解析：选B 由y＝f(x)的图象知，f(x)＝当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝故y＝－f(2－x)＝
3．若变量x，y满足|x|－ln＝0，则y关于x的函数图象大致是( )
解析：选B 由|x|－ln＝0，得y＝＝利用指数函数图象可知选B.
4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )
解析：选D 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如D选项所示．
5.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f＝________.
解析：∵由图象知f(3)＝1，∴＝1.∴f＝f(1)＝2.
答案：2
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
2．下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
解析：选D 因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
3．函数y＝的图象大致是( )
解析：选C 由题意得，x≠0，排除A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，∴>0，排除B；又∵x→＋∞时，→0，∴排除D，故选C.
4.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0.令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a<0.故选C.
5．(2017·绵阳模拟)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则ab＝( )
A．24 B．15 C．6 D．4
解析：选A 由图象知，f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m>0)，其中1
6.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为s＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
解析：选A 当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，QC＝8－2t，则s＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4≤t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，QC＝2t－8，则s＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6≤t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则s＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)·(14－t)×＝(t－4)·(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.
二、填空题
7．(2017·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．
解析：由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3,1)．
答案：(3,1)
8．(2017·银川调研)给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
解析：设g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，则f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的图象向上平移4个单位长度，可得f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
答案：(4,5)
9．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．
解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)∵f(4)＝0，
∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|＝
f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f(x)＝a只有一个实数根，所以a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
12．设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)的对称图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，求b的值，并求出交点的坐标．
解：(1)设曲线C2上的任意一点为P(x，y)，则P关于A(2，1)的对称点P′(4－x,2－y)在C1上，
所以2－y＝4－x＋，
即y＝x－2＋＝，
所以g(x)＝(x≠4)．
(2)由＝b，得(x－3)2＝b(x－4)(x≠4)．
所以x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0(x≠4)(*)有唯一实根．
由Δ＝[－(b＋6)]2－4(4b＋9)＝b2－4b＝0，
得b＝0或b＝4，
把b＝0代入(*)式得x＝3，所以g(3)＝＝0；
把b＝4代入(*)式得x＝5，所以g(5)＝＝4，
所以当b＝0或b＝4时，直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．
第八节
函数与方程
本节主要包括2个知识点：
1.函数的零点问题；
2.函数零点的应用问题.
突破点(一) 函数的零点问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
2
1
0
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数零点所在区间的判断
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
[例1] (1)(2016·赣中南五校联考)在下列区间中，函数f(x)＝x2－3x－18有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,8]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
(2)(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] (1)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0，得x＝6∈[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
(2)∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－0<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴x0∈(2,3)，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[易错提醒]
函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．
函数零点个数的判断
判断函数零点个数的方法
直接法
直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法
零点存在性定理：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法
利用图象交点的个数：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法
利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
[例2] (1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] (1)法一：由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
[答案] (1)B (2)C
[易错提醒]
(1)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
解析：选D ∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
2．[考点一]设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．[考点二]设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C 由f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在区间内有唯一的零点，∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．
4．[考点二]已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为______．
解析：依题意得由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
答案：3
突破点(二) 函数零点的应用问题
由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
由函数零点存在情况或个数求参数的范围
[例1] (1)(2017·昆明模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，－1)∪
C.
D．(－∞，－1)
(2)(2017·南昌十校联考)若函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0.函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，又因为f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，所以f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(a＋1)<0，解得a<－1或a>，故选B.
(2)当－1
从而f(x)＝－1＝－1，
于是f(x)＝
f(x)－mx－2m＝0⇔f(x)＝m(x＋2)，由图象可知0
[方法技巧]
已知函数零点求参数的范围的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
利用函数零点比较大小
[例2] 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
[解析] f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象可知a<0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象知b>0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.
[答案] B
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选C 由题意知，f(－1)·f(1)<0，
即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.
2．[考点一]函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 函数f(x)在上是单调函数，又f＝3>0，则根据零点存在性定理，应满足f(1)＝4a＋3<0，解得a<－.
3．[考点二]已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0
解析：选C 在同一坐标系下作出函数f(x)＝x，f(x)＝－的图象(图略)，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，x>－；当x∈(x0,0)时，x<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0.
4．[考点一](2017·安庆模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，则k的取值范围是( )
A. B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪
解析：选D 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，即f(x)＝k只有一个解，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈(－∞，0)∪，故选D.
5．[考点一]已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析：关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．
答案：(－1,0)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 由题意知f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0；
x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，
则f(x)的大致图象如图(1)所示．不符合题意，排除A、C.
图(1)
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，
则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，
f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，
则f(x)的大致图象如图(2)所示．不符合题意，排除D.
图(2)
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
2．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
3．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
解析：选C 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．
4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.
5．(2016·天津六校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
解析：依题意知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )
A．(0,1) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
解析：选D 令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内．
2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C 在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，由图象可知，当0
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.
4．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知条件得g(x)＝3－f(2－x)
＝分别画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的草图，观察发现有2个交点．故选A.
5．(2016·山西四校联考)函数f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 函数f(x)＝的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得当函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根时，有a<1，故选C.
6．(2017·湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( )
A．14 B．12
C．10 D．8
解析：选A 由题图可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1；由题图2知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0时，x的值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0.由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－各有2个；f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.由此可得m＋n＝14.故选A.
二、填空题
7．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：要求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，∴或解得x＝1＋或x＝1.∴g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
8．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
9．(2016·湖北优质高中联考)函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：题设可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.
答案：10
10．已知0
三、解答题
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，
∴f(2)≤0.
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m≤－.而当m＝－时，f(x)＝0在[0,2]上有两解和2，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，
则∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1
第九节
函数模型及应用
本节主要包括2个知识点：
1.基本初等函数模型；2.两类特殊函数的模型.
突破点(一) 基本初等函数模型
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种基本初等函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
二次函数模型
[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解] 设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不能获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
[易错提醒]
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
指数函数、对数函数模型
[例2] (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5
[解析] (1)由已知条件得，192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
(2)当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝＝2×105，∴PA＝lg nA＝lg 2＋5.
又∵lg 2≈0.3，∴5
[方法技巧]
两种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
解析：选A 隔墙的长为x(0
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
解析：选A 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
3．[考点二]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.
解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s)．
答案：10 15
4．[考点二]调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
答案：4
5．[考点一]A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2
＝x2－500x＋25 000
＝2＋，
所以当x＝时，ymin＝.
故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
突破点(二) 两类特殊函数的模型
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．“y＝x＋”型函数模型
(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
2．分段函数模型
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数y＝x＋(a>0)模型
[例1] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.
分段函数模型
[例2] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设旅行团人数为x人，由题得0
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为单调增函数，
故当x＝30时，S取最大值12 000元，
又x∈(30,75]时，S＝－10(x－60)2＋21 000，此时当x＝60时，取得最大值21 000.
故每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．
2．[考点一]某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C(0)＝＝4，∴k＝1 000，
∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，
当0.2(x＋5)＝，即x＝15时，ymin＝7，
故当x为15平方米时，y取得最小值7万元.
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
A．800米 B．900米 C．1 000米 D．1 200米
解析：选A 设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当x＝，即x＝200时取等号．
4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选C 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.
5．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
解析：选B 选项B中，Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为( )
A．5 B．8 C．9 D．10
解析：选A ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，
所以f(t)＝a·，
设k min后甲桶中的水只有L，
则f(k)＝a·＝，
所以＝，
解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．故选A.
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
解析：选A 依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.
5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：选B 设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
解析：选C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2＋0.1×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－a2＋a2.∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
答案：a2
9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.
答案：
10．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．
答案：3 300
三、解答题
11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计
息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解：设该店月利润余额为L元，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20
(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．
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