高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：10.2 随机抽样 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：10.2 随机抽样 word版含答案，共10页。

(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．
(3)了解分层抽样和系统抽样方法．
知识点 抽样方法
易误提醒 (1)简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
(2)系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当eq \f(N,n)不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
(3)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即都等于eq \f(样本容量n,总体个数N).
[自测练习]
1．为了了解参加知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，应选A.
答案：A
2．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为( )
A．27 B．30
C．33 D．36
解析：本题考查分层抽样等基础知识．因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×eq \f(3,3＋2)＝30.
答案：B
3．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：每组袋数：d＝eq \f(3 000,150)＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．a61＝11＋60×20＝1 211.
答案：1 211
考点一 简单的随机抽样|
1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( )
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
答案：A
2．(2015·唐山二模)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,100) B.eq \f(1,99)
C.eq \f(1,20) D.eq \f(1,50)
解析：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为eq \f(1,100)，用简单随机抽样方式从该总体中抽取容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率为eq \f(1,100)×5＝eq \f(1,20).
答案：C
一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

考点二 系统抽样|
(2015·黑龙江哈尔滨六中模拟)哈六中2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取eq \f(480,20)＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取eq \f(240,20)＝12人．故选B.
[答案] B
解决系统抽样问题的两个关键步骤
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．


1．(2015·陕西师大附中模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为________．
解析：设n抽到的号码为an，
则an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由750<30n－21≤960，
得25.7所以n的取值为26,27,28,29,30,31,32，共7个，
因此做问卷C的人数为7.
答案：7
考点三 分层抽样|
(1)(2015·高考福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
[解析] 设应抽取的男生人数为x，则eq \f(x,900－400)＝eq \f(45,900)，解得x＝25.
[答案] 25
(2)(2015·郑州二检)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.
①现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
②在①中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．
[解] ①由题意知eq \f(x,500)＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，
因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，
则应抽取教师人数为eq \f(50,500)×20＝2，应抽取学生人数为eq \f(50,500)×40＝4.
②所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，
至少有1名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，
故至少有1名教师被选出的概率P＝eq \f(16,20)＝eq \f(4,5).
进行分层抽样的相关计算时，常用到的关系式
(1)eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数).
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

2．(2016·抚顺模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：四类食品的每一种被抽到的概率为
eq \f(20,40＋10＋30＋20)＝eq \f(1,5)，
∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×eq \f(1,5)＝6.
答案：C
26.系统抽样中的易错点
【典例】 某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．
[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为eq \f(36,n)，分层抽样的抽样比是eq \f(n,36)，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×eq \f(n,36)＝eq \f(n,6)，篮球运动员人数为12×eq \f(n,36)＝eq \f(n,3)，足球运动员人数为18×eq \f(n,36)＝eq \f(n,2)，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为eq \f(35,n＋1)，因为eq \f(35,n＋1)必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.
[答案] 6
[易错点评] 解题易忽视系统抽样的抽样距必须是整数导致失误．
[防范措施] 系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当eq \f(N,n)不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
[跟踪练习] 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )
A．5 B．7
C．11 D．13
解析：间隔数k＝eq \f(800,50)＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.
答案：B
A组 考点能力演练
1．(2016·兰州质检)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则( )
A．p1＝p2C．p1＝p3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3，故选D.
答案：D
2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
解析：从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取，故选D.
答案：D
3．(2016·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( )
A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54
解析：系统抽样是等间隔抽样，只有B选项符合．
答案：B
4．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54 B．90
C．45 D．126
解析：依题意得eq \f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
答案：B
5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
因为eq \f(a＋b＋c,3)＝b，所以第二车间抽取的产品数占抽样产品数的eq \f(1,3).根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的eq \f(1,3)，即为eq \f(1,3)×3 600＝1 200.
答案：C
6．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
解析：本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以eq \f(160,3 200)＝eq \f(160－150,x)，所以x＝200.
答案：200
7．(2016·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
解析：设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋b，∴8×(16－1)＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.
答案：6
8．(2016·潍坊模拟)某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq \f(2,5).为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．
解析：根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×eq \f(3,5)＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq \f(3,2＋3＋5)＝36.
答案：36
9．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．
小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．
(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？
(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．
解：(1)得60分的人数为40×10%＝4.
设抽取x张选择题得60分的试卷，则eq \f(20,40)＝eq \f(x,4)，
则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．
(2)设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
10．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如图所示的部分频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题．
(1)求分数在[120,130)内的频率；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
解：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.
(2)估计平均分为
eq \x\t(x)＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
(3)由题意，得[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)，[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，分别记为a，b，c，d.
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种，其中事件A包含9种．∴P(A)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).即至多有1人在分数段[120,130)内的概率为eq \f(3,5).
B组 高考题型专练
1．(2015·高考北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A.90 B．100
C．180 D．300
解析：设样本中的老年教师人数为x，则eq \f(320,1 600)＝eq \f(x,900)，解得x＝180，选C.
答案：C
2．(2015·高考四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．
答案：C
3．(2014·高考天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：设应从一年级本科生中抽取x名学生，则eq \f(x,300)＝eq \f(4,4＋5＋5＋6)，解得x＝60.
答案：60
4．(2014·高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．
答案：1 800
类别
各自特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随机抽样
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体中的个体数较少
抽样过
程中每
个个体
被抽到
的可能
性相等
系统抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
赞成改革
不赞成改革
无所谓
教师
120
y
40
学生
x
z
130
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
得分(分)
40
45
50
55
60
百分率
15%
10%
25%
40%
10%
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300